之前由于去做數(shù)值/系統(tǒng)策劃的實(shí)習(xí)了，因此專欄斷更了比較久，現(xiàn)在打算重新開始寫起來！把之前的英雄聯(lián)盟數(shù)值拆解系列補(bǔ)完~中間會穿插一些其他內(nèi)容的文章。

今天是回歸后的第一篇專欄，打算分享一道數(shù)值策劃筆試題，包括題目、思路、解答過程和一些簡單拓展。答案和方法也許有優(yōu)化的空間，歡迎大家一起討論~解答過程也供自己日后參考。

2023.09.20 暴擊擊敗丘丘人問題

丘丘人的生命值為100。你每次攻擊時有50%的概率暴擊，造成2點(diǎn)傷害；未暴擊時造成1點(diǎn)傷害。

（I）求擊敗丘丘人的次數(shù)期望（使丘丘人生命值≤0即為擊敗，要求計(jì)算精確值）。

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（II）在Rougelike模式中，丘丘人的生命值增長到了200。玩家有兩次選buff的機(jī)會，第一次提供三類buff（注意有的是數(shù)值型數(shù)字，有的是百分比型數(shù)字哦~）：

a.暴擊時傷害提升X1；

b.不論是否暴擊，傷害提升X2；

c.每進(jìn)行1次攻擊，傷害提升X3。（注：當(dāng)次攻擊也享受當(dāng)次的傷害加成）

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第二次提供兩類buff：

A.你的最終傷害提升Y1%。（注：來自其他BUFF的增傷也會受此最終傷害提升影響）

B.如果攻擊后目標(biāo)的血量值小于等于Y2，則目標(biāo)立即被擊敗；

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請?jiān)O(shè)計(jì)X1、X2、X3、Y1、Y2的值，滿足以下要求：

（1）X1、X2、X3、Y1、Y2單個buff互相近似平衡；

（2）要求玩家在選擇最優(yōu)的情況下，擊敗丘丘人的期望次數(shù)近似等于第（I）問中的50%。

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（III）在第（II）問第二次選BUFF中，B選項(xiàng)的描述為“如果攻擊后目標(biāo)的血量值低于Y2，則目標(biāo)立即被擊敗”，如果修改為“使目標(biāo)的最大生命值降低Y2”；僅對本題而言，在數(shù)值計(jì)算和玩家體驗(yàn)上是否有區(qū)別？試簡述之。

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以下是解答過程：

（I）思路：

這是一個馬爾可夫鏈，利用馬爾可夫鏈的性質(zhì)，求平均吸收時間；結(jié)合數(shù)列的遞推公式即可求解。

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解答：

設(shè)表示丘丘人血量為n時，擊敗丘丘人的期望次數(shù)。

顯然當(dāng)n=0時，目標(biāo)已經(jīng)達(dá)成，即；

當(dāng)n=1時，下一次攻擊目標(biāo)必定達(dá)成，即；

當(dāng)n≥2時，結(jié)合n=0與n=1的情況，可得遞推公式（馬爾可夫鏈的平均吸收時間）：

現(xiàn)在考慮將遞推公式轉(zhuǎn)化為通項(xiàng)公式，利用待定系數(shù)法構(gòu)造等差數(shù)列，設(shè)

比較待定系數(shù)式和原式，可得

即

由等差數(shù)列首項(xiàng)和公差確定，可得

再次使用待定系數(shù)法構(gòu)造等比數(shù)列，即

解得A、B，利用等比數(shù)列性質(zhì)可得

代入n=100的情況，可得結(jié)果為

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（II）思路：

首先要對5個buff進(jìn)行數(shù)值平衡計(jì)算，計(jì)算后能得到5個變量的關(guān)系式。

兩組buff實(shí)際上有6種選擇方式，即aA，aB，bA，bB，cA，cB，本小題只要求結(jié)果近似相同，因此在計(jì)算時可以利用近似值計(jì)算。

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解答：

（A）近似數(shù)值平衡

不妨設(shè)X2=x，則此時單次攻擊的期望傷害變?yōu)?img type="latex" class="latex" src="http://api.bilibili.com/x/web-frontend/mathjax/tex?formula=f_1%20(x)%3D1.5%2Bx" alt="f_1%20(x)%3D1.5%2Bx">

由第（I）問可知，擊敗次數(shù)期望的真實(shí)值近似等于丘丘人總生命值/單次攻擊期望傷害，在下列數(shù)值平衡中應(yīng)用此規(guī)律，攻擊的期望次數(shù)近似為：

對X1：要求

可解得

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對X3：第n次攻擊的傷害應(yīng)為

于是可得前n次攻擊的傷害應(yīng)為

此處取

令上式等于丘丘人的血量200，即

解得

對Y1：要求

解得

對Y2：按照次數(shù)近似有

解得

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（B）Buff疊加計(jì)算

若第二組buff中選擇了A：對a、b、c而言是擴(kuò)大了相同倍數(shù)的傷害，因此可以認(rèn)為近似

相同，以組合bA為例，此時若要使期望次數(shù)大致為（I）中的50%，buff下的單次期望傷害應(yīng)為原來的4倍（BOSS的生命值增加了100%），即

解得x=1.5。

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若第二組buff中選擇了B：由于第一組中c這一Buff的成長性，因此當(dāng)怪物能夠被提前擊

敗時，其表現(xiàn)不如aB和bB，因此不妨考慮組合aB（aB和bB近似相同）。

此時若要使期望次數(shù)大致為（I）中的50%，此時的x應(yīng)該滿足

其中的100/3為滿足題意時的近似期望次數(shù)，也解得x=1.5

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因此最終取x=1.5，于是5個數(shù)值的設(shè)計(jì)值為

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拓展：如果（II）中對數(shù)值設(shè)計(jì)的要求（2）修改為“要求玩家無論如何選擇，擊敗丘丘人

的期望次數(shù)都至少近似于第（I）問中的50%?！边@時應(yīng)當(dāng)如何設(shè)計(jì)？

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（III）答案：

對本題而言，在數(shù)值計(jì)算上二者并無差異；但在玩家體驗(yàn)上我認(rèn)為“如果攻擊后目標(biāo)的血量值低于Y2，則目標(biāo)立即被擊敗”的方式更好，原因是：

（1）低于閾值后秒殺對方的行為通常稱為“處決”或“斬殺”，這一行為能給玩家?guī)眍~外的快感。

（2）相比于BOSS被削弱，通過玩家變強(qiáng)的方式擊敗BOSS能帶來更大的成就感。

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拓展：本題言之成理即可，核心是要注重玩家的數(shù)值感受。