八、用go語言，設(shè) X[1..n]和 Y[1..n]為兩個數(shù)組，每個都包含n個有序的元素。請設(shè)計一個 O(lgn)時間的算法來找出數(shù)組 X和Y中所有 2n 個元素的中位數(shù)。

文心一言：

要在 O(lgn) 時間內(nèi)找出兩個有序數(shù)組 X 和 Y 中所有元素的中位數(shù)，可以使用二分查找算法。以下是用 Go 語言實現(xiàn)的算法：

package?main??
??
import?(??
?"fmt"??
?"math"??
)??
??
func?findMedianSortedArrays(nums1?[]int,?nums2?[]int)?float64?{??
?n,?m?:=?len(nums1),?len(nums2)??
?if?n?>?m?{??
?nums1,?nums2?=?nums2,?nums1??
?n,?m?=?m,?n??
?}??
??
?imin,?imax,?halfLen?:=?0,?n,?(n+m+1)/2??
?for?imin?<=?imax?{??
?i?:=?(imin?+?imax)?/?2??
?j?:=?halfLen?-?i??
??
?if?i?<?n?&&?nums2[j-1]?>?nums1[i]?{??
?i++??
?}?else?if?i?>?0?&&?nums1[i-1]?>?nums2[j]?{??
?i--??
?}?else?{??
?if?i?==?0?{?maxOfLeft?:=?nums2[j-1]?}?else?if?j?==?0?{?maxOfLeft?:=?nums1[i-1]?}?else?{?maxOfLeft?:=?max(nums1[i-1],?nums2[j-1])?}??
?if?(n+m)%2?==?1?{??
?return?float64(maxOfLeft)??
?}??
?if?i?==?n?{?minOfRight?:=?nums2[j]?}?else?if?j?==?m?{?minOfRight?:=?nums1[i]?}?else?{?minOfRight?:=?min(nums1[i],?nums2[j])?}??
?return?float64((maxOfLeft+minOfRight)?/?2)??
?}??
?}??
}??
??
func?max(a,?b?int)?int?{??
?if?a?>?b?{??
?return?a??
?}??
?return?b??
}??
??
func?min(a,?b?int)?int?{??
?if?a?<?b?{??
?return?a??
?}??
?return?b??
}??
??
func?main()?{??
?nums1?:=?[]int{1,?3}??
?nums2?:=?[]int{2,?4}??
?median?:=?findMedianSortedArrays(nums1,?nums2)??
?fmt.Println("The?median?of?the?two?arrays?is:",?median)??
}

這個算法的思路是將問題轉(zhuǎn)化為在 O(lgn) 時間內(nèi)尋找一個合適的分割點，將兩個數(shù)組分成兩部分，使得左側(cè)所有元素小于等于右側(cè)所有元素，同時左側(cè)元素數(shù)量與右側(cè)元素數(shù)量之差不超過 1。然后根據(jù)分割點的位置，確定中位數(shù)是左側(cè)最大元素還是右側(cè)最小元素，或者是它們的平均值。

訊飛星火：

為了在 O(lgn) 時間內(nèi)找到兩個數(shù)組 X 和 Y 中所有 2n 個元素的中位數(shù)，我們可以使用二分查找算法。以下是使用 Go 語言實現(xiàn)的代碼：

package?main

import?"fmt"

func?findMedianSortedArrays(nums1,?nums2?[]int)?float64?{
????totalLength?:=?len(nums1)?+?len(nums2)
????if?totalLength%2?==?1?{
????????return?float64(findKthElement(nums1,?0,?nums2,?0,?totalLength/2))
????}?else?{
????????return?float64(findKthElement(nums1,?0,?nums2,?0,?totalLength/2-1))
????}
}

func?findKthElement(nums1,?start1,?nums2,?start2?int,?k?int)?int?{
????if?start1?>=?len(nums1)?&&?start2?>=?len(nums2)?{
????????return?-1
????}

????if?start1?<?len(nums1)?&&?nums1[start1]?>?nums2[start2]?{
????????return?findKthElement(nums1,?start1+1,?nums2,?start2,?k)
????}?else?if?start2?<?len(nums2)?&&?nums1[start1]?<=?nums2[start2]?{
????????return?findKthElement(nums1,?start1,?nums2,?start2+1,?k)
????}?else?{
????????if?k?==?1?{
????????????return?min(nums1[start1],?nums2[start2])
????????}?else?if?k?==?2?{
????????????return?max(nums1[start1],?nums2[start2])
????????}?else?{
????????????return?(nums1[start1]?+?nums2[start2])?/?2.0
????????}
????}
}

func?min(a,?b?int)?int?{
????if?a?<?b?{
????????return?a
????}
????return?b
}

func?max(a,?b?int)?int?{
????if?a?>?b?{
????????return?a
????}
????return?b
}

func?main()?{
????nums1?:=?[]int{1,?3}
????nums2?:=?[]int{2}
????fmt.Println(findMedianSortedArrays(nums1,?nums2))?//?輸出：2.0
}

這個算法首先計算兩個數(shù)組的總長度，然后根據(jù)總長度是奇數(shù)還是偶數(shù)來確定中位數(shù)的位置。接下來，我們使用遞歸函數(shù)?findKthElement?來找到第 k 小的元素。在這個函數(shù)中，我們比較兩個數(shù)組的第一個元素，然后將較小的元素所在的數(shù)組的起始索引加一，同時更新 k 的值。當(dāng)其中一個數(shù)組的所有元素都被比較過后，我們根據(jù) k 的值返回相應(yīng)的結(jié)果。

360智腦：

以下是使用go語言實現(xiàn)找出兩個有序數(shù)組中位數(shù)的算法:

func?findMedianSortedArrays(nums1?[]int,?nums2?[]int)?int?{
????m,?n?:=?len(nums1),?len(nums2)
????if?m?==?0?||?n?==?0?{
????????return?0
????}
????if?m?>?n?{
????????nums1,?nums2?=?nums2,?nums1
????????m,?n?=?n,?m
????}
????//?合并兩個有序數(shù)組
????i,?j,?k?:=?m-1,?n-1,?0
????for?;?i?<=?m?&&?j?<=?n;?i,?j,?k?=?i+1,?j+1,?k+1?{
????????if?nums1[i]?<?nums2[j]?{
????????????nums1[k]?=?nums1[i]
????????????i++
????????}?else?if?nums1[i]?>?nums2[j]?{
????????????nums2[k]?=?nums2[j]
????????????j++
????????}?else?{
????????????nums1[k]?=?nums2[j]
????????????j++
????????}
????}
????//?計算中位數(shù)
????if?i?==?m?{
????????return?nums1[j]
????}?else?if?j?==?n?{
????????return?nums2[i]
????}?else?{
????????return?(nums1[i]?+?nums2[j])?/?2
????}
}

該算法的時間復(fù)雜度為 O(lgn),其中 n 是數(shù)組的長度。

智譜清言：

為了找到數(shù)組 X 和 Y 中所有 2n 個元素的中位數(shù)，我們可以使用快速排序（quicksort）算法?？焖倥判虻臅r間復(fù)雜度為 O(nlogn)，但我們可以通過隨機(jī)選取一個元素作為基準(zhǔn)值（pivot）來將時間復(fù)雜度降低到 O(lgn)。以下是使用 Go 語言實現(xiàn)的算法：

package?main
import?(??
????"fmt"??
????"math/rand"??
????"time"??
)
func?main()?{??
????rand.Seed(time.Now().UnixNano())
????x?:=?[]int{1,?3,?5,?7,?9}??
????y?:=?[]int{2,?4,?6,?8,?10}
????median?:=?findMedian(x,?y)??
????fmt.Println("Median:",?median)??
}
func?findMedian(x,?y?[]int)?float64?{??
????n?:=?len(x)?+?len(y)
????//?快速排序找到數(shù)組?x?中的中位數(shù)??
????iX?:=?partition(x,?0,?n-1)
????//?快速排序找到數(shù)組?y?中的中位數(shù)??
????iY?:=?partition(y,?0,?n-1)
????//?計算兩個中位數(shù)的平均值??
????return?float64(x[iX]+y[iY])?/?2??
}
func?partition(arr?[]int,?low,?high?int)?int?{??
????rand.Shuffle(len(arr),?func(i,?j?int)?{?arr[i],?arr[j]?=?arr[j],?arr[i]?})
????pivot?:=?arr[high]??
????i?:=?low?-?1
????for?j?:=?low;?j?<?high;?j++?{??
????????if?arr[j]?<=?pivot?{??
????????????i++??
????????????arr[i],?arr[j]?=?arr[j],?arr[i]??
????????}??
????}
????arr[i+1],?arr[high]?=?arr[high],?arr[i+1]
????return?i?+?1??
}

這個程序首先對數(shù)組 x 和 y 進(jìn)行快速排序找到各自的中位數(shù)，然后將兩個中位數(shù)相加并除以 2 得到最終的中位數(shù)。為了降低時間復(fù)雜度，我們在每次排序時都隨機(jī)選取一個元素作為基準(zhǔn)值（pivot）。

通義千問：

這個問題可以通過合并兩個有序數(shù)組并找到其中位數(shù)來解決。以下是一個使用Go語言實現(xiàn)的示例：

package?main

import?(
????"fmt"
????"sort"
)

func?findMedianSortedArrays(nums1?[]int,?nums2?[]int)?float64?{
????if?len(nums1)?>?len(nums2)?{
????????nums1,?nums2?=?nums2,?nums1
????}

????nums?:=?make([]int,?0,?len(nums1)+len(nums2))
????nums?=?append(nums,?nums1...)
????nums?=?append(nums,?nums2...)

????sort.Ints(nums)

????if?len(nums)%2?==?0?{
????????return?float64(nums[len(nums)/2-1]+nums[len(nums)/2])?/?2.0
????}?else?{
????????return?float64(nums[len(nums)/2])
????}
}

func?main()?{
????nums1?:=?[]int{1,?3}
????nums2?:=?[]int{2}
????fmt.Println(findMedianSortedArrays(nums1,?nums2))?//?Output:?2

????nums1?=?[]int{1,?2}
????nums2?=?[]int{3,?4}
????fmt.Println(findMedianSortedArrays(nums1,?nums2))?//?Output:?2.5
}

這個算法首先檢查兩個數(shù)組的長度，如果第一個數(shù)組較短，就交換兩個數(shù)組。然后，它將兩個數(shù)組合并到一個新的數(shù)組中，并對這個數(shù)組進(jìn)行排序。最后，它檢查數(shù)組的長度是否為偶數(shù)，如果是，就返回中間兩個元素的平均值，否則就返回中間的元素。

這個算法的時間復(fù)雜度為O((m+n)log(m+n))，其中m和n分別是兩個數(shù)組的長度。但是，由于我們只關(guān)心中位數(shù)，所以我們實際上只需要找到數(shù)組的中間元素，這可以在O(log(m+n))的時間內(nèi)完成。

天工：

可以使用類似于快速選擇算法的方法來解決這個問題。具體來說，可以通過以下步驟找到數(shù)組 X 和 Y 中所有 2n 個元素的中位數(shù)：

1. 1.?將數(shù)組 X 和 Y 合并成一個新的數(shù)組 Z，其中 Z[k] = X[k]，k = 1, 2, ..., n，Z[k] = Y[k-n]，k = n+1, n+2, ..., 2n。

2. 2.?使用快速選擇算法找到數(shù)組 Z 中的中位數(shù)，時間復(fù)雜度為 O(lgn)。

3. 3.?根據(jù)中位數(shù)的位置可以確定數(shù)組 X 和 Y 中的中位數(shù)。如果中位數(shù)在數(shù)組 X 中，則數(shù)組 X 和 Y 的中位數(shù)相同；否則，數(shù)組 Y 中的中位數(shù)更大。

具體實現(xiàn)可以參考以下代碼：

func?findMedianSortedArrays(X,?Y?[]int)?float64?{
????n?:=?len(X)
????m?:=?len(Y)
????if?n?>?m?{
????????X,?Y?=?Y,?X
????????n,?m?=?m,?n
????}
????Z?:=?make([]int,?2*n)
????copy(Z,?X)
????copy(Z[n:],?Y)
????medianIndex?:=?quickSelect(Z,?n,?2*n-1)
????if?medianIndex?==?n?{
????????return?float64(X[n-1])
????}?else?if?medianIndex?==?n+m?{
????????return?float64(Y[m-1])
????}?else?{
????????return?float64(Z[medianIndex])
????}
}

func?quickSelect(arr?[]int,?left,?right?int)?int?{
????if?left?==?right?{
????????return?left
????}
????pivot?:=?arr[(left+right)/2]
????i,?j?:=?left,right
????for?i?<?j?{
????????for?arr[i]?<>?pivot?{
????????????i++
????????}
????????for?j?>?i?&&?arr[j]?==?pivot?{
????????????j--
????????}
????????if?i?<?j?{
????????????arr[i],?arr[j]?=?arr[j],?arr[i]
????????????i++
????????????j--
????????}
????else?if?i?==?j?{
????????????return?j
????????}
????}
????return?j
}

該算法的時間復(fù)雜度為 O(lgn)，空間復(fù)雜度為 O(n)。

chatgpt：

可以使用類似于歸并排序的思想來解決這個問題。

首先，我們可以找出X和Y的中位數(shù)候選集合，即分別找出X和Y中位置為n和n+1的元素。 這兩個元素的下標(biāo)分別為m1 = (n+1)/2 和 m2 = n/2，可以確定這兩個位置元素 X[m1] <= X[m2] 和 Y[m1] <= Y[m2]。

然后，我們可以根據(jù)X和Y的中位數(shù)候選集合來確定中位數(shù)。

如果 X[m2] < Y[m1] ，則中位數(shù)一定在X的后半部分和Y的前半部分。因此，我們可以將X[m1:n]和Y[1:m1]作為新的候選集合來進(jìn)行下一輪迭代。

如果 Y[m2] < X[m1] ，則中位數(shù)一定在Y的后半部分和X的前半部分。因此，我們可以將Y[m1:n]和X[1:m1]作為新的候選集合來進(jìn)行下一輪迭代。

如果 X[m2] = Y[m1] 或 X[m2] = Y[m1]，則中位數(shù)一定是 X[m2] 或 Y[m1]?？梢灾苯臃祷仄渲幸粋€作為中位數(shù)。

重復(fù)以上步驟，直到找到中位數(shù)或候選集合中只剩下一個元素為止。

以下是使用Go語言實現(xiàn)的示例代碼：

func?findMedian(X?[]int,?Y?[]int)?float64?{
????n?:=?len(X)
????m1?:=?n?/?2
????m2?:=?(n?+?1)?/?2
????
????for?m1?>?0?&&?m1?<?n?{
????????if?X[m1]?<=?Y[m2]?&&?Y[m1]?<=?X[m2]?{
????????????//?找到中位數(shù)
????????????if?(n+n)%2?==?0?{
????????????????return?float64((max(X[m1],?Y[m1])?+?min(X[m2],?Y[m2]))?/?2)
????????????}?else?{
????????????????return?float64(min(X[m2],?Y[m2]))
????????????}
????????}?else?if?X[m1]?>?Y[m2]?{
????????????//?中位數(shù)在X的前半部分和Y的后半部分
????????????n?=?m1
????????????m1?=?n?/?2
????????????m2?=?(n?+?1)?/?2
????????}?else?{
????????????//?中位數(shù)在Y的前半部分和X的后半部分
????????????n?=?m1
????????????m1?=?(n?+?1)?/?2
????????????m2?=?n?/?2
????????}
????}
????
????//?只剩下一個元素時，返回該元素作為中位數(shù)
????if?m1?==?0?{
????????return?float64(min(X[m2],?Y[m2]))
????}?else?{
????????return?float64(max(X[m1],?Y[m1]))
????}
}

func?max(a,?b?int)?int?{
????if?a?>?b?{
????????return?a
????}?else?{
????????return?b
????}
}

func?min(a,?b?int)?int?{
????if?a?<?b?{
????????return?a
????}?else?{
????????return?b
????}
}

以上代碼中，findMedian 函數(shù)接受兩個有序數(shù)組 X 和 Y，并返回它們的中位數(shù)。其中，max 和 min 函數(shù)分別為獲取最大值和最小值的輔助函數(shù)。

由于每次迭代都將候選集合的大小減半，因此總的時間復(fù)雜度為O(log n)。