談起古代數(shù)學(xué)，很多人都知道古希臘曾在幾何學(xué)中獲得了偉大成就，但我們對中國古代數(shù)學(xué)曾經(jīng)的歷史卻沒那么了解。實際上，我國古代對于數(shù)學(xué)的研究也是非常深刻并且很輝煌的，對于中華民族乃至人類文明的發(fā)展都做出了很大貢獻(xiàn)。下面，我們就把中國古代數(shù)學(xué)的發(fā)展分為五個時期，為大家簡單介紹一下我們自己的數(shù)學(xué)發(fā)展歷史。

數(shù)學(xué)的萌芽

我們的先民在從野蠻走向文明的漫長歷程中，逐漸認(rèn)識了數(shù)與形的概念。出土的新石器時期的陶器大多為圓形或其他規(guī)則形狀，陶器上有各種幾何圖案，通常還有三個著地點，都是幾何知識的萌芽。先秦典籍中有“隸首作數(shù)”、“結(jié)繩記事”、“刻木記事”的記載，說明人們從辨別事物的多寡中逐漸認(rèn)識了數(shù)，并創(chuàng)造了記數(shù)的符號。殷商甲骨文(公元前14—前11世紀(jì))中已有13個記數(shù)單字，最大的數(shù)是“三萬”，最小的是“一”。一、十、百、千、萬，各有專名。其中已經(jīng)蘊含有十進(jìn)位置值制萌芽。人們丈量土地面積，測算山高谷深，計算產(chǎn)量多少，粟米交換，制定歷法，都需要數(shù)學(xué)知識?！吨荀滤憬?jīng)》載商高答周公問，提到用矩測望高深廣遠(yuǎn)。相傳西周初年周公(公元前11世紀(jì))制禮，數(shù)學(xué)成為貴族子弟教育中六門必修課程——六藝之一。不過當(dāng)時學(xué)在官府，數(shù)學(xué)的發(fā)展是相當(dāng)緩慢的。

春秋時期，隨著鐵器的出現(xiàn)，生產(chǎn)力的提高，中國開始了由奴隸制向封建制的過渡。新的生產(chǎn)關(guān)系促進(jìn)了科學(xué)技術(shù)的發(fā)展與進(jìn)步。此時王權(quán)衰微，疇人四散，私學(xué)開始出現(xiàn)。最晚在春秋末年人們已經(jīng)掌握了完備的十進(jìn)位置值制記數(shù)法，普遍使用了算籌這種先進(jìn)的計算工具。人們已諳熟九九乘法表、整數(shù)四則運算，并使用了分?jǐn)?shù)。

框架的確立

戰(zhàn)國時期，各諸侯國相繼完成了向封建制度的過渡。思想界、學(xué)術(shù)界諸子林立，百家爭鳴，異?；钴S，為數(shù)學(xué)和科學(xué)技術(shù)的發(fā)展創(chuàng)造了良好的條件。盡管沒有一部先秦的數(shù)學(xué)著作留傳到后世，但是，人們通過田地及國土面積的測量，粟米的交換，收獲及戰(zhàn)利品的分配，城池的修建，水利工程的設(shè)計，賦稅的合理負(fù)擔(dān)，產(chǎn)量的計算，以及測高望遠(yuǎn)等生產(chǎn)生活實踐，積累了大量的數(shù)學(xué)知識。據(jù)東漢初鄭眾記載，當(dāng)時的數(shù)學(xué)知識分成了方田、粟米、差分、少廣、商功、均輸、方程、贏不足、旁要九個部分，稱為“九數(shù)”。九數(shù)確立了《九章算術(shù)》的基本框架。

劉邦利用推翻暴秦的農(nóng)民起義，統(tǒng)一了中國，建立了漢朝，史稱西漢。西漢政府與民生息，社會生產(chǎn)力得到恢復(fù)、發(fā)展，給數(shù)學(xué)和科學(xué)技術(shù)的發(fā)展帶來新的活力，人們提出了若干算術(shù)難題，并創(chuàng)造了解勾股形、重差等新的數(shù)學(xué)方法。同時，人們注重先秦文化典籍的收集、整理。作為數(shù)學(xué)新發(fā)展及先秦典籍的搶救工作的結(jié)晶，便是《九章算術(shù)》的成書。《九章算術(shù)》(省稱《九章》)是中國最重要的數(shù)學(xué)經(jīng)典，它之于中國和東方數(shù)學(xué)，大體相當(dāng)于《幾何原本》之于希臘和歐洲數(shù)學(xué)。在世界古代數(shù)學(xué)史上，《九章》與《原本》像兩顆璀燦的明珠，東西輝映。

《九章》之前還有一部《周髀算經(jīng)》，它本是一部以數(shù)學(xué)方法闡述蓋天說的天文著作，一般認(rèn)為于公元前1世紀(jì)成書。卷上記載了商高答周公問，陳子答榮方問。前者有勾股定理的特例3^2+4^2=5^2，后者有用勾股定理及比例算法測太陽高遠(yuǎn)及直徑的內(nèi)容?！毒耪隆芳惹氐轿鳚h數(shù)學(xué)知識之大成。據(jù)東漢末大學(xué)者鄭玄(公元127—200年)引東漢初鄭眾(?—公元83年)說，西漢在先秦九數(shù)基礎(chǔ)上又發(fā)展出勾股、重差兩類數(shù)學(xué)方法。魏劉徽說：《九章》是由九數(shù)發(fā)展而來的，由于秦朝焚書而散壞。西漢張蒼(?—公元前152年)、耿壽昌(公元前1世紀(jì))收集秦火遺殘，加以整理刪補，便成為《九章算術(shù)》。方田章提出了完整的分?jǐn)?shù)運算法則，各種多邊形、圓、弓形等的面積公式;粟米章提出了比例算法;衰[cui崔]分章提出了比例分配法則;少廣章給出了完整的開平方、開立方程序;商功章討論各種立體體積公式及工程分配方法;均輸章解決賦役中的合理負(fù)擔(dān)，也是比例分配問題，還有若干結(jié)合西漢社會實際的算術(shù)雜題;盈不足章解決盈虧問題及可以用盈不足術(shù)解決的一般算術(shù)問題;方程章是線性方程組解法，并給出了正負(fù)數(shù)加減法則;勾股章由旁要發(fā)展而成，提出了勾股定理、解勾股形及若干測望問題的方法。全書以計算為中心，有90余條抽象性算法、公式，246道例題及其解法，基本上采取算法統(tǒng)率應(yīng)用問題的形式。它的許多成就居世界領(lǐng)先地位，奠定了此后中國數(shù)學(xué)居世界前列千余年的基礎(chǔ)?！毒耪隆贩诸惒簧鹾侠?，沒有任何定義和推導(dǎo)，少數(shù)公式不準(zhǔn)確，個別公式有錯誤，則是不容諱言的缺點?！毒耪隆返目蚣?、形式、風(fēng)格和特點深刻影響了中國和東方的數(shù)學(xué)。

《九章算術(shù)》成書后，注家蜂起?！稘h書·藝文志》所載《許商算術(shù)》、《杜忠算術(shù)》(公元前1世紀(jì))估計為研究《九章》的作品。東漢馬續(xù)、張衡、劉洪、鄭玄、徐岳、王粲等通曉《九章算術(shù)》，或為之作注。這些著作都未傳世，從后來劉徽(今山東鄒平人，生卒不詳)《九章算術(shù)注》所反映的信息看，這些研究基本上停留在歸納驗證《九章算術(shù)》的正確性方面，理論上未能在《九章》基礎(chǔ)上作出長足進(jìn)步。

體系的建立

《九章算術(shù)》之后，中國的數(shù)學(xué)著述基本上采取兩種方式：一是為《九章算術(shù)》作注;二是以《九章算術(shù)》為楷模編纂新的著作。經(jīng)過兩漢社會經(jīng)濟(jì)和科學(xué)技術(shù)的大發(fā)展，到魏晉，中國封建社會進(jìn)入一個新的階段，莊園農(nóng)奴制和門閥士族占據(jù)了經(jīng)濟(jì)政治舞臺的中心。思想文化領(lǐng)域中，儒家的統(tǒng)治地位被削弱，讖緯迷信和繁瑣的經(jīng)學(xué)退出歷史舞臺，代之以談三玄——《周易》、《老子》、《莊子》為主的辯難之風(fēng)。學(xué)者們通過析理，探討思維規(guī)律，思想界出現(xiàn)了戰(zhàn)國的百家爭鳴以來所未有過的生動局面。與此相適應(yīng)，數(shù)學(xué)家重視理論研究，力圖把自先秦到兩漢積累起來的數(shù)學(xué)知識建立在必然的可靠的基礎(chǔ)之上。劉徽和他的《九章算術(shù)注》便是這個時代造就的最偉大的數(shù)學(xué)家和最杰出的數(shù)學(xué)著作。大約與劉徽同時或稍前，有趙爽(又名嬰，字君卿，生卒不詳，估計是三國吳人)的《周髀算經(jīng)注》，其可觀者為“勾股圓方圖”，用600余字概括了兩漢以來勾股算術(shù)的成果。

劉徽《九章算術(shù)注》作于魏景元四年(公元263年)，原十卷。前九卷全面論證了《九章》的公式、解法，發(fā)展了出入相補原理、截面積原理、齊同原理和率的概念，在圓面積公式和錐體體積公式的證明中引入了無窮小分割和極限思想，首創(chuàng)了求圓周率的正確方法，指出并糾正了《九章》的某些不精確的或錯誤的公式，探索出解決球體積的正確途徑，創(chuàng)造了解線性方程組的互乘相消法與方程新術(shù)，用十進(jìn)分?jǐn)?shù)逼近無理根的近似值等，使用了大量類比、歸納推理及演繹推理，并且以后者為主。第十卷原名重差，為劉徽自撰自注，發(fā)展完善了重差理論，此卷后來單行，因第一問為測望一海島的高遠(yuǎn)，名之曰《海島算經(jīng)》。他還著有《九章重差圖》一卷，已佚。劉徽生活在辯難之風(fēng)興起而尚未流入清談的魏晉之交，受思想界“析理”的影響，對《九章算術(shù)》“析理以辭，解體用圖”(《九章算術(shù)注·序》)，并對各種算法進(jìn)行總結(jié)分析，認(rèn)為數(shù)學(xué)像一株枝條雖分而同本干的大樹，發(fā)自一端，形成了一個完整的理論體系。劉徽博覽群書，諳熟諸子百家，他不迷信古人，敢于創(chuàng)新，實事求是。對他未能解決的牟合方蓋，坦誠直書，表示“以俟能言者”(《九章算術(shù)·少廣章注》)，表現(xiàn)了一位偉大學(xué)者寄希望于后學(xué)的坦蕩胸懷。

《孫子算經(jīng)》三卷，常被誤認(rèn)為春秋軍事家孫武所著，實際上是公元400年前后的作品，作者不詳。這是一部數(shù)學(xué)入門讀物，給出了籌算記數(shù)制度及乘除法則等預(yù)備知識，其河上蕩杯、雞兔同籠等問題后來在民間廣泛流傳，“物不知數(shù)”題則開一次同余式解法之先河。張丘建(今山東人，生平不詳)著的《張丘建算經(jīng)》三卷，成書于北魏(5世紀(jì)下半葉)。此書補充了等差級數(shù)的若干公式，其百雞問題是著名的不定方程問題，后世十分重視。

《綴術(shù)》包含了祖沖之(公元429—500年)和兒子祖暅之(一作祖暅，生平不詳)的數(shù)學(xué)貢獻(xiàn)。由于其內(nèi)容深奧，隋唐算學(xué)館學(xué)官讀不懂，遂失傳。據(jù)認(rèn)為，將圓周率精確到八位有效數(shù)字、球體積的解決及含有負(fù)系數(shù)的二次、三次方程皆是其中的內(nèi)容。祖沖之，字文遠(yuǎn)，祖籍范陽逎(今河北省淶水縣)人。劉宋大明六年(公元462年)造大明歷，使用歲差，改革閏制。他的改革遭到守舊派官僚戴法興的反對，祖沖之不畏權(quán)勢，據(jù)理駁斥，堅持了反對讖緯迷信，不虛推古人，實事求是的科學(xué)精神。他對機(jī)械深有研究，制造過水碓、水磨、指南車、千里船、漏壺等，并著《安邊論》、《述異記》等。祖暅之，字景爍。從小愛好數(shù)學(xué)，巧思入神，極其精微。專心致志之時，雷霆不能入。有一次走路時思考問題，仆射徐勉迎面而來竟然沒有發(fā)現(xiàn)，頭撞到徐勉身上，徐勉喚他，他才知道撞了人。其父的《大明歷》經(jīng)他的努力在梁朝頒行。

北周甄鸞(今河北無極人，生卒不詳)有三部數(shù)學(xué)著作傳世，即《五曹算經(jīng)》、《五經(jīng)算術(shù)》、《數(shù)術(shù)記遺》。前二部內(nèi)容淺近，無足道者。《數(shù)術(shù)記遺》一卷，傳本題(東)漢徐岳撰、北周甄鸞注，近人多以為系甄鸞自撰自注，假托徐岳。書中記載了三種大數(shù)進(jìn)位制及14種算法，其中珠算雖不同于元明的珠算盤，然開后者之先河，似無可疑。

隋唐是中國封建社會經(jīng)濟(jì)政治文化的鼎盛時期，然而數(shù)學(xué)上除天文歷法研究中劉焯(公元544—610年)創(chuàng)造等間距內(nèi)插公式(7世紀(jì)初)和僧一行(公元683—727年)創(chuàng)造不等間距內(nèi)插公式(8世紀(jì))外，幾無創(chuàng)造，數(shù)學(xué)成就及理論水平遠(yuǎn)遠(yuǎn)低于魏晉南北朝。唐初王孝通(生卒不詳)撰《緝古算經(jīng)》一卷，解決了若干復(fù)雜的土方工程及勾股問題，且都用三次或四次方程解決，是為現(xiàn)存記載三次、四次方程的最早著作。

隋唐統(tǒng)治者在國子監(jiān)設(shè)算學(xué)館，置算學(xué)博士、助教指導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)。唐李淳風(fēng)等奉敕于顯慶元年(公元656年)為《周髀算經(jīng)》、《九章算術(shù)》、《海島算經(jīng)》、《孫子算經(jīng)》、《夏侯陽算經(jīng)》、《綴術(shù)》、《張丘建算經(jīng)》、《五曹算經(jīng)》、《五經(jīng)算術(shù)》、《緝古算經(jīng)》等十部算經(jīng)作注，作為算學(xué)館教材，這就是著名的《算經(jīng)十書》，該書是中國古代數(shù)學(xué)奠基時期的總結(jié)。李淳風(fēng)等注釋保存了許多寶貴資料，但注釋水平并不高。由于種種原因，算學(xué)館實際未培養(yǎng)出像樣的數(shù)學(xué)家。

數(shù)學(xué)的高潮

經(jīng)過盛唐的大發(fā)展，唐中葉之后，生產(chǎn)關(guān)系和社會各方面逐漸產(chǎn)生新的實質(zhì)性變革，到10世紀(jì)下半葉，趙匡胤建立宋朝，統(tǒng)一中國，中國封建社會進(jìn)入了另一個新的階段，土地所有制以國有為主變?yōu)樗接袨橹?，租佃農(nóng)民取代了魏唐的具有農(nóng)奴身份的部曲、徒附。農(nóng)業(yè)、手工業(yè)、商業(yè)和科學(xué)技術(shù)得到更大發(fā)展。中國古代四大發(fā)明，有三項——印刷術(shù)之廣泛應(yīng)用及活字印刷，火藥用于戰(zhàn)爭，指南針用于航海——完成于唐中葉至北宋。宋秘書省于元豐七年(公元1084年)首次刊刻了《九章算術(shù)》等十部算經(jīng)(時《夏侯陽算經(jīng)》、《綴術(shù)》已失傳，因8世紀(jì)下半葉一部韓延《算術(shù)》開頭有“夏侯陽曰”云云而誤認(rèn)為是前者而刻入，后者只好付之闕如)，是世界上首次出現(xiàn)的印刷本數(shù)學(xué)著作。后來南宋數(shù)學(xué)家鮑澣之翻刻了這些刻本，有《九章算術(shù)》(半部)、《周髀算經(jīng)》、《孫子算經(jīng)》、《五曹算經(jīng)》、《張丘建算經(jīng)》五種及《數(shù)術(shù)記遺》等孤本流傳到現(xiàn)在，是世界上傳世最早的印刷本數(shù)學(xué)著作。宋元數(shù)學(xué)家賈憲、李冶、楊輝、朱世杰的著作，大都在成書后不久即刊刻。數(shù)學(xué)著作借助印刷術(shù)得以空前廣泛的流傳，對傳播普及數(shù)學(xué)知識，其意義尤為深遠(yuǎn)。

宋元數(shù)學(xué)高潮早在唐中葉已見端倪。隨著商業(yè)貿(mào)易的蓬勃發(fā)展，人們改進(jìn)籌算乘除法，新、舊《唐書》記載了大量這類書籍，可惜絕大多數(shù)失傳，只有韓延(生平不詳)《算術(shù)》(8世紀(jì))以《夏侯陽算經(jīng)》的名義流傳下來，該書提出了若干化乘除為加減的捷算法，并在運算中使用了十進(jìn)小數(shù)，極可寶貴。

11世紀(jì)上半葉賈憲(生平不詳)撰《黃帝九章算經(jīng)細(xì)草》，是為北宋最重要的數(shù)學(xué)著作。賈憲曾任左班殿直(低級武官)，是當(dāng)時著名天文學(xué)家、數(shù)學(xué)家楚衍的學(xué)生。還著有《算法??古集》二卷，已佚。他將《九章算術(shù)》未離開題設(shè)具體對象甚至數(shù)值的術(shù)文大都抽象成一般性術(shù)文，提高了《九章算術(shù)》的理論水平;他對某些類型的數(shù)學(xué)問題進(jìn)行概括，比如提出開方作法本源即賈憲三角，作為他提出的立成釋鎖(即開方)法的算表，這是開方問題的綱;他提出了若干新的重要方法，其中最突出的是創(chuàng)造增乘開方法，并提出了開四次方的程序。賈憲的思想與方法對宋元數(shù)學(xué)影響極大，是宋元數(shù)學(xué)的主要推動者之一?！饵S帝九章算經(jīng)細(xì)草》因被楊輝《詳解九章算法》抄錄而大部分保存了下來(闕卷一、二及卷三上半部，卷五的一部分)。

大科學(xué)家沈括(公元1031—1095年)對數(shù)學(xué)有獨到的貢獻(xiàn)。在《夢溪筆談》中首創(chuàng)隙積術(shù)，開高階等差級數(shù)求和問題之先河，又提出會圓術(shù)，首次提出求弓形弧長的近似公式。

12世紀(jì)北宋劉益(生平不詳)撰《議古根源》，亦失傳。楊輝《田畝比類乘除捷法》引用了它的若干題目與方法?！毒Y術(shù)》失傳之后，開方式的系數(shù)仍皆為正數(shù)，劉益突破了這個限制，首先引入負(fù)系數(shù)方程，并創(chuàng)造了益積開方術(shù)與減從開方術(shù)求其正根，楊輝譽之為“實冠前古”。

1127年金朝入主中原，趙宋南遷，史稱南宋。1234年，蒙古貴族滅金，后來建立元朝。1279年元滅南宋，占領(lǐng)中國。13世紀(jì)中葉至14世紀(jì)初，是宋元數(shù)學(xué)高潮的集中體現(xiàn)，也是中國歷史上留下重要數(shù)學(xué)著作最多的半個世紀(jì)，并形成了南宋統(tǒng)治下的長江中下游與金元統(tǒng)治下的太行山兩側(cè)兩個數(shù)學(xué)中心。

南方中心以秦九韶、楊輝為代表，以高次方程數(shù)值解法、同余式解法及改進(jìn)乘除捷算法的研究為主。北方中心則以李冶為代表，以列高次方程的天元術(shù)及其解法為主。元統(tǒng)一中國后的朱世杰，則集南北兩個數(shù)學(xué)中心之大成，達(dá)到了中國籌算的最高水平。

1247年秦九韶撰成《數(shù)書九章》18卷。秦九韶，字道古，自稱魯郡(今山東省)人，約1202年生于普州安岳縣(今四川省)。他天資聰明好學(xué)，對數(shù)學(xué)、天文、土木建筑、詩詞、音律、弓馬等都十分精通。他多次呼吁統(tǒng)治者施仁政，并把數(shù)學(xué)知識看成開源節(jié)流、施仁政、利國利民的有力工具?！稊?shù)書九章》分大衍、天時、田域、測望、賦役、錢谷、營建、軍旅、市易九類81題，其成就之大，題設(shè)之復(fù)雜都超過以往算經(jīng)，有的問題有88個條件，有的答案多達(dá)180條，軍事問題之多也是空前的，反映了秦氏對抗元戰(zhàn)爭的關(guān)注。大衍總數(shù)術(shù)系統(tǒng)解決了一次同余式組解法;正負(fù)開方術(shù)把以增乘開方法為主導(dǎo)的求高次方程正根的方法發(fā)展到十分完備的程度，有的方程高達(dá)十次;線性方程組解法完全以互乘相消法取代直除法;提出了與海倫公式等價的三斜求積公式;使用了完整的十進(jìn)小數(shù)表示法，等等，都是其杰出成就。

楊輝共撰五部數(shù)學(xué)著作，傳世的有四部，居元以前數(shù)學(xué)家之冠。楊輝，字謙光，錢塘(今杭州市)人，生平不詳，只知在今江浙一帶管錢糧，為政清廉。與其他大家比較，他的著作偏重于教育與普及。1261年，楊輝在劉徽注、李淳風(fēng)等注釋、賈憲細(xì)草的《九章算術(shù)》基礎(chǔ)上作解題、比類，并補充了圖、乘除、纂類三卷，是為《詳解九章算法》，今圖、乘除、方田、粟米、衰分上半部、商功之一部分已佚。商功章的比類中的垛積術(shù)發(fā)展了沈括的隙積術(shù);“纂類”則打破了《九章算術(shù)》的分類格局，按方法分成乘除、互換、合率、分率、衰分、疊積、盈不足、方程、勾股九類。1262年又撰《日用算法》，著重于改進(jìn)乘除捷算法，只有少量題目保存下來。1274年撰《乘除通變本末》三卷。卷上的“習(xí)算綱目”是一個從啟蒙到《九章》主要方法的數(shù)學(xué)教學(xué)計劃。本書還總結(jié)了九歸等乘除捷算法及其口訣。次年編纂《田畝比類乘除捷法》二卷，引用了劉益的方法與題目，批評了《五曹算經(jīng)》四不等田求法的錯誤。同年，編纂《續(xù)古摘奇算法》二卷，對縱橫圖即幻方研究頗有貢獻(xiàn)。后三部書又常合稱為《楊輝算法》。

十二、十三世紀(jì)，北方出現(xiàn)了許多天元術(shù)著作，大都失傳，流傳至今的最早的以天元術(shù)為主要方法的著作是李冶的《測圓海鏡》12卷(公元1248年)、《益古演段》三卷(公元1259年)。李冶(公元1192—1279年)，字仁卿，號敬齋，真定欒城(今河北省)人，生于大興(今北京市)。其父為官清廉正直，李冶自幼受到良好的教養(yǎng)，且愛好數(shù)學(xué)，青年時便成為名重中原的學(xué)者，金詞賦科進(jìn)士。入元，遂隱居于忻、崞〔guo郭〕(今山西省北部)一帶，在極為艱苦的條件下研究數(shù)學(xué)及各種學(xué)問，常粥??〔zhan氈〕不繼，而聚書環(huán)堵。他一生文史著述頗多，僅存《敬齋古今黈》?！稖y圓海鏡》在洞淵九容基礎(chǔ)上考慮了勾股形與圓的10種基本關(guān)系，在卷二一十二中就15個勾股形與圓的關(guān)系提出了170個求圓徑長的問題，答案當(dāng)然都相同。這些問題大都要用天元術(shù)列出方程。卷一是全書的理論基礎(chǔ)，包括圓城圖式、識別雜記等部分。圓城圖式以天、地、乾、坤等漢字表示點，是個創(chuàng)舉。識別雜記提出692條公式，除八條外都是正確的，集歷代勾股形與圓的關(guān)系研究之大成?！兑婀叛荻巍?4問，這是一部用天元術(shù)闡釋蔣周(可能是北宋人)《益古集》的方程列法的著作。其中保存了《益古集》的若干題目和舊術(shù)(方法)。

朱世杰有兩部重要著作《算學(xué)啟蒙》(公元1299年)、《四元玉鑒》(公元1303年)傳世。朱世杰，字漢卿，號松庭，燕山(今北京市)人，生平不詳。他在13世紀(jì)末以數(shù)學(xué)名家周游全國20余年，向他學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的人很多。《算學(xué)啟蒙》20門，259問，包括了從乘除及其捷算法到增乘開方法、天元術(shù)等當(dāng)時數(shù)學(xué)各方面的內(nèi)容，形成了一個較完整的體系?！端脑耔b》24門，288問，卷首給出古法七乘方圖(改進(jìn)了的賈憲三角)等四種五幅圖，以及天元術(shù)、二元術(shù)、三元術(shù)、四元術(shù)的解法范例。創(chuàng)造四元消法，解決了多元高次方程組問題，以及高階等差級數(shù)求和問題，高次招差法問題，是本書最大的貢獻(xiàn)。此書是中國古代水平最高的數(shù)學(xué)著作。

楊輝、朱世杰等人對籌算乘除捷算法的改進(jìn)、總結(jié)，導(dǎo)致了珠算盤與珠算術(shù)的產(chǎn)生(大約在元中葉)，完成了我國計算工具和計算技術(shù)的改革。元中后期，又出現(xiàn)了《丁巨算法》、賈亨《算法全能集》、何平子《詳明算法》等改進(jìn)乘除捷算法的著作。

艱難的復(fù)興

元中葉之后，中國數(shù)學(xué)急劇衰落，元末的幾部著作只是對乘除捷算法有所改進(jìn)。明永樂年間(公元1403—1425年)修《永樂大典》，將前此的中國數(shù)學(xué)著作按起源、各種數(shù)學(xué)方法及音義、纂類等分類抄錄。漢唐宋元數(shù)學(xué)著作在明代大都散佚，清中葉修《四庫全書》，中國古算書多賴此重新面世。

明代八股取士，思想禁錮嚴(yán)重，學(xué)者們很少留心數(shù)學(xué)。顧應(yīng)祥、唐順之是明代數(shù)學(xué)大家，全然不懂天元術(shù)和增乘開方法。景泰元年(公元1450年)吳敬撰《九章算法比類大全》十卷，收集歷代應(yīng)用題，亦拋棄了增乘開方法和天元術(shù)。元明之后，隨著籌算捷算法的完備，珠算術(shù)產(chǎn)生并得到普及，明朝出現(xiàn)了一批有關(guān)珠算的著作。其最著者為程大位的《算法統(tǒng)宗》(公元1592年)，凡17卷，595問。此書適應(yīng)商業(yè)發(fā)展的需要，以珠算為主要計算工具，并載有珠算開方法。此書在以后二、三百年問被多次翻刻、改編，流傳之廣是罕見的。程大位，字汝思，號渠賓，休寧(今黃山市屯溪區(qū))人，曾在長江中下游地區(qū)經(jīng)商，注意收集算經(jīng)和數(shù)學(xué)問題，晚年撰成此書。

16世紀(jì)末，利瑪竇等歐洲傳教士來華，與徐光啟等一起翻譯《幾何原本》等著作。后來，傳教士們又引入了三角學(xué)、對數(shù)等西方初等數(shù)學(xué)，從此，中國數(shù)學(xué)開始了中西會通的階段。清朝260余年，留下數(shù)學(xué)著作極多，都在不同程度上融會中西數(shù)學(xué)。

清宣城梅文鼎(公元1633—1721年)潛心于中西數(shù)學(xué)研究，著述甚多，其孫梅瑴成將他的著作編輯成《梅氏叢書輯要》60卷，其中數(shù)學(xué)著作13種40卷，內(nèi)容遍及當(dāng)時中國數(shù)學(xué)的各個門類，對清朝數(shù)學(xué)影響極大。

康熙皇帝愛好數(shù)學(xué)，他御定由梅瑴成、何國宗、明安圖、陳厚耀等編纂的《數(shù)理精蘊》53卷，全面系統(tǒng)地介紹了當(dāng)時傳入的西方數(shù)學(xué)知識。上編立綱明體，為數(shù)理本源、幾何原本、算術(shù)原本等五卷;下編分條致用，為實用數(shù)學(xué)和借根方比例，以及對數(shù)、三角函數(shù)等40卷，表4種8卷，同樣對清朝數(shù)學(xué)產(chǎn)生了巨大影響。此書于雍正元年(公元1723年)印行。

1723年，雍正帝即位，認(rèn)為傳教士不利于自己的統(tǒng)治，除少數(shù)供職于欽天監(jiān)者外，將傳教士悉數(shù)趕到澳門。此后，西學(xué)的傳入遂告一段落，中國數(shù)學(xué)家一方面消化前此傳入的數(shù)學(xué)知識，一方面忙于整理中國古典數(shù)學(xué)著作。

1773年乾隆帝決定修《四庫全書》，戴震(公元1724—1777年)從《永樂大典》中輯出《周髀算經(jīng)》、《九章算術(shù)》、《海島算經(jīng)》、《孫子算經(jīng)》、《五曹算經(jīng)》、《五經(jīng)算術(shù)》以及贗本《夏侯陽算經(jīng)》等七部漢唐算經(jīng)，并加?？?，《數(shù)書九章》、《測圓海鏡》、《四元玉鑒》等久佚的宋元算書也陸續(xù)輯出或發(fā)現(xiàn)，從此掀起了乾嘉時期(公元1736—1820年)研究整理中國古典數(shù)學(xué)的熱潮。古書注釋以李潢(?—公元1812年)《九章算術(shù)細(xì)草圖說》、羅士琳(公元1789—1853年)《四元玉鑒細(xì)草》影響較大。而開創(chuàng)性的研究則以焦循(公元1763—1820年)《里堂學(xué)算記》、汪萊(公元1768—1813年)《衡齋算學(xué)》、李銳(公元1768—1817年)《李氏算學(xué)遺書》最為有名。

18世紀(jì)初，法人杜德美(公元1668—1720年)傳入牛頓、格雷果里創(chuàng)造的三個三角函數(shù)的級數(shù)展開式。后來，三角函數(shù)和對數(shù)函數(shù)展開式的研究成為中國數(shù)學(xué)家的重要課題。明安圖(17世紀(jì)末至18世紀(jì)60年代)、董祐誠(公元1791—1823年)、項名達(dá)(公元1789—1850年)、戴煦(公元1805—1860年)等都作出了杰出貢獻(xiàn)。李善蘭(公元1811—1882年)的《方圓闡幽》、《弧矢啟秘》、《對數(shù)探源》(公元1845年)在三角函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的研究上取得了更大的成就。他創(chuàng)造的尖錐術(shù)提出了幾個相當(dāng)于定積分的公式，在接觸西方微積分思想之前獨立地接近了微積分學(xué)。李善蘭，字壬叔，號秋紉，浙江海寧人。幼年即嗜好數(shù)學(xué)，30余歲即獲創(chuàng)造性成果。

1840年，列強(qiáng)用大炮轟開了清朝閉關(guān)自守的大門，西方數(shù)學(xué)以前所未有的規(guī)模大量傳入。1852年李善蘭到上海，與英國傳教士偉烈亞力(公元1815—1887年)合譯《幾何原本》后九卷、《代數(shù)學(xué)》13卷、《代微積拾級》18卷等許多西方數(shù)學(xué)著作，后者是中國第一部微積分學(xué)譯著。后來，華衡芳(公元1833—1902年)與英人傅蘭雅合譯了《代數(shù)術(shù)》、《微積溯源》、《三角數(shù)理》、《決疑數(shù)學(xué)》等書，后者是中國第一部概率論譯著。他們創(chuàng)造的許多術(shù)語至今還在使用。李善蘭還融會中西，著述頗豐。《橢圓正術(shù)解》等四種是關(guān)于圓錐曲線的研究，《級數(shù)回求》等是關(guān)于冪級數(shù)的研究，而《垛積比類》則在朱世杰基礎(chǔ)上系統(tǒng)解決了高階等差級數(shù)求和問題，并提出了著名的李善蘭恒等式。1872年撰《考數(shù)根法》，證明了費爾馬小定理，提出了素數(shù)判定法則。他的著作匯集為《則古昔齋算學(xué)》，包括14種科學(xué)著作。李善蘭是開展現(xiàn)代數(shù)學(xué)研究的第一位中國數(shù)學(xué)家。然而，總的說來，時處清末，經(jīng)濟(jì)衰落，社會動蕩，有志于現(xiàn)代數(shù)學(xué)的人沒有與現(xiàn)代工程技術(shù)結(jié)合的條件，不可能有大量可觀的成果，而士大夫階層更多的人抱有西學(xué)為我中華所固有的偏見，不求甚解。此后不久，尤其是維新變法和新文化運動之后，中國古代數(shù)學(xué)傳統(tǒng)基本中斷，中國數(shù)學(xué)研究納入了統(tǒng)一的現(xiàn)代數(shù)學(xué)。

中國古代數(shù)學(xué)曾經(jīng)非常輝煌，雖然有些典籍已經(jīng)遺失。但現(xiàn)存的著作依舊讓我們不禁感嘆古代數(shù)學(xué)家的聰明才智。20世紀(jì)是中國數(shù)學(xué)復(fù)興的世紀(jì)，人們期待，在下個世紀(jì)中國將重新取得數(shù)學(xué)大國的地位。