【菲赫金哥爾茨微積分學教程精讀筆記Ep62】實數完備性第二波定理互推
我們在Ep61聊了實數完備性第三個定理——
閉區(qū)間套定理——
閉區(qū)間套的無限序列——In=[an，bn]，n為正整數，滿足：I1包含I2包含……包含In包含In+1包含……；
lim（bn-an）=0，n趨向于無窮大時——
則這些區(qū)間的公共部分為唯一的一點/一個數。
同時，我們介紹了如何從“單調有界原理”推導出“閉區(qū)間套定理”——
我們先證明了“單調有界原理”的一個推論作為“閉區(qū)間套定理”的引理：對數列{xn}和{yn}，如果滿足以下條件——
數列{xn}單調遞增，數列{yn}單調遞減；
xn<yn；
lim（yn-xn）=0，n趨向于無窮大時——
則數列{xn}和{yn}有公共極限c，即c=lim xn=lim yn。
然后結合“閉區(qū)間套”的定義證明了“閉區(qū)間套定理”——
這個閉區(qū)間套的無限序列中，所有區(qū)間的左端點，構成一個單調遞增數列a1<=a2<=……<=an<=an+1……，右端點構成一個單調遞減數列，b1>=b2>=……>=bn>=bn+1……；
由閉區(qū)間的定義可知，an<bn；
已知：lim（an-bn）=0，n趨向于無窮大時；
綜合1、2、3和我們剛剛聊過的引理，存在數c使得c=lim an=lim bn，證畢。
今天我們就反過來，給出，由“閉區(qū)間套定理”反推“單調有界原理”的證明，即——
已知：
閉區(qū)間套的無限序列——In=[an，bn]，n為正整數，滿足：I1包含I2包含……包含In包含In+1包含……；
lim（bn-an）=0，n趨向于無窮大時——
則這些區(qū)間的公共部分為唯一的一點/一個數。
求證：單增有上界（單減有下界）數列必有極限。
提示：所有用到“閉區(qū)間套”定理的證明的關鍵步驟難點都在于構造一個閉區(qū)間套，也就是闡述清楚一個閉區(qū)間無限序列相鄰兩個閉區(qū)間之間的關系，而且往往用反證法。
分析——
先找到一個數x——
首先明確已知條件，“閉區(qū)間套定理”是要用到的工具，一個單增有上界的數列是對象，證明的目的是找到一個數，這個數恰好是這個數列的極限，用構造“閉區(qū)間套無限序列”的方法；
已知數列{xn}，對于任意n，滿足xn<xn+1，且存在實數b，使得xn<b；
我們取正整數k，令a1=xk=a，b1=b，得到第一個閉區(qū)間[a1，b1]；
將[a1，b1]等分成兩個閉區(qū)間，[a1，（a1+b1）/2]和[（a1+b1）/2，b1]——
如果（a1+b1）/2是{xn}的上界，那么令a2=a1，b2=（a1+b1）/2，
如果（a1+b1）/2不是{xn}的上界，那么令a2=（a1+b1）/2，b2=b1，
得到第二個閉區(qū)間[a2，b2]；
依次重復上述步驟……
將[ak，bk]等分成兩個閉區(qū)間，[ak，（ak+bk）/2]和[（ak+bk）/2，bk]——
如果（ak+bk）/2是{xn}的上界，那么令ak+1=ak，bk+1=（ak+bk）/2，
如果（ak+bk）/2不是{xn}的上界，那么令ak+1=（ak+bk）/2，bk+1=bk，
得到第k+1個閉區(qū)間[ak+1，bk+1]；
……
將上述步驟無限進行下去，即得到一個閉區(qū)間套無限序列Im=[am，bm]，他們的擁有唯一公共點x。
再證明x=lim?an=lim bn——反證法——
假如x不是{an}的極限，即，存在E>0，對任意自然數n，|an-x|>=E；
由x的構造可知，對于任意自然數n，an<=x<=bn；
由1,2可知，存在E>0，對任意自然數n，|bn-an|>=|an-x|>=E；
又lim|bn-an|=0，即對于任意小數ε>0，存在自然數N，當n>N時，|bn-an|<ε；
導出3,4矛盾，即x是{an}的極限；
同理，x是{bn}的極限，x=lim?an=lim bn得證。
下面要證明x即為數列{xn}的極限，即：對于任意小數ε>0，存在自然數N，當n>N時，|xn-x|<ε——
由閉區(qū)間的定義，對于任意m，有am<bm，取右邊極限，令m趨向于無窮，有am<=lim bm=x；
由閉區(qū)間的構造可知，對于任意自然數m，bm是{xn}的上界，即，對于任意m、n，xn<bm，取右邊極限，令m趨向于無窮，有xn<=lim?bm=x；——（我們取遍所有的n值，都有xn<=lim?bm=x，所以這個不等式恒成立）；
由于數列{xn}單調遞增，所以對于任意m，存在N'，使得使得n>N'時，xn>xN'>=am；
結合10、11，有對于任意m，存在N'，使得n>N'時，x>=xn>xN'>=am；
又x=lim?am，即，對于任意小數ε>0，存在自然數N"，當m>N"時，|?am-x|<ε，即x-ε<am<x+ε；
結合12、13，有對于任意小數ε>0，存在自然數N=max{N'，N"}，當m>N，n>N時，x+ε>x>=xn>xN'>=am>x-ε，即|xn-x|<ε，即x為數列{xn}的極限，證畢。
注意：在證明題中，“存在”是一個相對于“任意”更加寬泛的限制條件，我們只要能夠找到一種方式，使題設條件成立即可。類似的，去思考這樣一個問題，我們隨機取一箱橘子，這箱橘子里面“任意取出一個都是壞的”和“存在一個壞橘子”哪一個在現(xiàn)實中發(fā)生的概率更大？“任意”和“存在”大概就是類似的關系。
今天就到這里。
