一元三次方程一般形式的解法

ax3+bx2+cx+d=0 ……?

(a,b,c,d皆為常數(shù)且a≠0)

令B=b/a,C=c/a,D=d/a

原方程為 x3+Bx2+Cx+D=0

令x=y+t (y為參變量 t為常數(shù)) 即有

y3+t3+3y2t+3yt2+B(y2+2yt+t2)+C(y+t)+D=0

整理得 y3+(3t+B)y2+(3t2+2Bt+C)y+(t3+Bt3+Ct+D)=0 ……①

因t為引入的輔助常數(shù),故可以令t=-B/3消去①中二次項(xiàng),結(jié)果不影響求解原方程.

再令①中一次項(xiàng)系數(shù)為p,常數(shù)項(xiàng)為q,即有

y3+py+q=0 ……②

②方程等價(jià)于原方程,且沒(méi)了二次項(xiàng)的干擾.

在②中,令y=u+v

則②為 (u+v)3+p(u+v)+q=0

展開(kāi)，整理可得 (u3+v3+q)+(3uv+p)(u+v)=0 ……③

在③中,我們不能確定(u+v)的值(即y的值)為何數(shù),但由于u、v是我們?yōu)榱私鉀Q②方程引入的參數(shù),所以我們可以巧妙令取u、v的值,使它們能解決③方程.

令 u3+v3+q=0 ……④

3uv+p=0 ……⑤ ,滿足③方程成立.

在④、⑤中移項(xiàng),系數(shù)化一,可得

u3+v3=-q ……⑥

uv=-p/3 ……?

將?方程左右兩邊同時(shí)立方,聯(lián)立⑥,得方程組(1)

u3+v3=-q

u3v3=-p3/27 ……⑦ (1)

在(1)中觀察到,若將u3、v3視為一個(gè)整體,則(1)中⑥、⑦兩方程剛好為兩數(shù)之和與兩數(shù)之積,由韋達(dá)定理可知,u3、v3剛好為方程X2+qX-p3/27=0 的兩根X?與X? .

不妨令u3=X? , v3=X?

則由一元二次方程求根公式得

u3=X?=[-q+√(q2+4p3/27)]/2

v3=X?=[-q-√(q2+4p3/27)]/2 ,因其形式過(guò)于繁瑣,以下姑且使用X? , X?來(lái)標(biāo)記u3與v3 .

考慮到方程

w3-1=0 ……⑧

因式分解⑧左邊多項(xiàng)式得

(w-1)(w2+w+1)=0 ……⑨

易知⑨方程三根為w?=1 , w?=[-1+(√3)i]/2 , w?=[-1-(√3)i]/2 ,其中i2=-1 .以下使用φ?和φ?分別代替w?和w? .

回過(guò)頭來(lái)看u3與v3,由⑧方程可解得u與v,即

u?=3√X? v?=3√X?

u?=φ?(3√X?) v?=φ?(3√X?)

u?=φ?(3√X?) v?=φ?(3√X?)

故y?=u?+v?=3√X?+3√X?

y?=u?+v?=φ?(3√X?)+φ?(3√X?)

y?=u?+v?=φ?(3√X?)+φ?(3√X?)

以下姑且使用y? , y? , y?代替其對(duì)應(yīng)的值.

換元復(fù)原,則有方程?的通解

x?=y?+t

x?=y?+t

x?=y?+t .