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- 線性定常系統(tǒng)微分方程是指形如下面的微分方程：

$$\frac{d^n}{dt^n}y(t) + a_{n-1}\frac{d^{n-1}}{dt^{n-1}}y(t) + \cdots + a_1\fracs0sssss00s{dt}y(t) + a_0y(t) = b_m\frac{d^m}{dt^m}x(t) + \cdots + b_1\fracs0sssss00s{dt}x(t) + b_0x(t)$$

- 其中 $y(t)$ 是系統(tǒng)的響應(yīng)（輸出），$x(t)$ 是系統(tǒng)的激勵（輸入），$a_i$ 和 $b_i$ 是常數(shù)系數(shù)，$n$ 和 $m$ 分別是響應(yīng)和激勵的階數(shù)。

- 這個方程描述了一個線性定常系統(tǒng)，它的響應(yīng) $y(t)$ 取決于激勵 $x(t)$，并且系統(tǒng)的性質(zhì)不隨時間改變（即系統(tǒng)是定常的）。線性意味著系統(tǒng)響應(yīng)的形式是輸入信號形式的線性組合，即如果 $x_1(t)$ 和 $x_2(t)$ 分別是兩個激勵信號，則系統(tǒng)對它們的響應(yīng)分別為 $y_1(t)$ 和 $y_2(t)$，那么對于任意實數(shù) $c_1$ 和 $c_2$，$c_1 y_1(t) + c_2 y_2(t)$ 也是系統(tǒng)對于 $c_1 x_1(t) + c_2 x_2(t)$ 的響應(yīng)。

- 這種類型的微分方程可以通過多種方法求解，包括拉普拉斯變換、Z 變換、頻域分析等。求解結(jié)果可以用來預(yù)測系統(tǒng)響應(yīng)對于不同的輸入信號，以及系統(tǒng)對于特定輸入信號的頻率響應(yīng)等。

- 構(gòu)建自動控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型是自動控制原理中非常重要的一部分。下面是一些構(gòu)建數(shù)學(xué)模型的基本步驟：

1. 定義系統(tǒng)：明確所要研究的系統(tǒng)的物理特性和控制目標(biāo)。

2. 確定系統(tǒng)的輸入和輸出：輸入是控制器提供給系統(tǒng)的信號，輸出是系統(tǒng)的反饋信號。

3. 建立系統(tǒng)的動力學(xué)模型：根據(jù)系統(tǒng)的物理特性和控制目標(biāo)，利用物理規(guī)律或?qū)嶒灁?shù)據(jù)建立系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，通常使用微分方程或差分方程描述系統(tǒng)的動態(tài)響應(yīng)。

4. 確定系統(tǒng)的傳遞函數(shù)：將系統(tǒng)的動力學(xué)模型轉(zhuǎn)化為傳遞函數(shù)形式，以便進(jìn)行頻率域分析和控制器設(shè)計。

5. 進(jìn)行模型驗證和參數(shù)估計：通過實驗或仿真驗證模型的準(zhǔn)確性，并對模型參數(shù)進(jìn)行估計和校正。

6. 設(shè)計控制器：利用控制理論設(shè)計合適的控制器，以滿足控制目標(biāo)并保證系統(tǒng)的穩(wěn)定性和魯棒性。

7. 進(jìn)行系統(tǒng)仿真和實驗：使用數(shù)值仿真或?qū)嶒炂脚_驗證控制器的性能和系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

- 需要注意的是，構(gòu)建數(shù)學(xué)模型是一個 iterative 的過程，需要不斷地驗證和修正模型，以提高模型的準(zhǔn)確性和可靠性。

-?

- 解析法是一種常用的建立系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的方法，它利用系統(tǒng)的物理特性和運動方程式，通過數(shù)學(xué)分析和推導(dǎo)得到系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。下面是建立系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的解析法步驟

1.?確定系統(tǒng)的輸入和輸出信號：系統(tǒng)的輸入是控制器提供給系統(tǒng)的信號，輸出是系統(tǒng)的反饋信號。

2.?定義系統(tǒng)的物理特性：明確系統(tǒng)的物理特性，包括質(zhì)量、慣性、摩擦等參數(shù)。

3.?建立系統(tǒng)的運動方程式：利用牛頓運動定律等物理定律，建立系統(tǒng)的微分方程或差分方程模型，通常包括系統(tǒng)的動態(tài)方程、靜態(tài)方程和代數(shù)方程。

4.?對系統(tǒng)方程進(jìn)行變換：對系統(tǒng)方程進(jìn)行拉普拉斯變換或者傅里葉變換，得到系統(tǒng)的傳遞函數(shù)模型。

5.?進(jìn)行模型驗證和參數(shù)估計：通過實驗或仿真驗證模型的準(zhǔn)確性，并對模型參數(shù)進(jìn)行估計和校正。

6.?設(shè)計控制器：利用控制理論設(shè)計合適的控制器，以滿足控制目標(biāo)并保證系統(tǒng)的穩(wěn)定性和魯棒性。

7.?進(jìn)行系統(tǒng)仿真和實驗：使用數(shù)值仿真或?qū)嶒炂脚_驗證控制器的性能和系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

- 需要注意的是，解析法建立的數(shù)學(xué)模型通常具有較高的準(zhǔn)確性和可解析性，但對于復(fù)雜的非線性系統(tǒng)，建立解析模型可能會比較困難。此時，可以采用數(shù)值模擬等方法來建立模型。

-?

- 當(dāng)判斷一個微分方程是否是線性定常微分方程時，需要分別考慮以下兩個方面：

1.?**線性性**：微分方程中所有未知函數(shù)和它們的導(dǎo)數(shù)的系數(shù)都是常數(shù)，而且這些系數(shù)不依賴于未知函數(shù)自身或自變量的取值。如果微分方程滿足這個條件，則稱其為線性微分方程。

???

2.?**定常性**：微分方程中的系數(shù)是不隨時間變化而變化的，即它們是常數(shù)。如果微分方程滿足這個條件，則稱其為定常微分方程。

???

綜合上述兩個條件，如果微分方程同時滿足線性性和定常性，則稱其為線性定常微分方程。

例如，下面的微分方程是一個線性定常微分方程：

$$ \frac{d^2 y}{dx^2} + 2\frac{dy}{dx} + 3y = \sin(x) $$`

這個微分方程是線性的，因為它只包含 $y$ 及其導(dǎo)數(shù)的線性組合，并且系數(shù) 2 和 3 是常數(shù)。它也是定常的，因為它的系數(shù) 2 和 3 不隨時間 $x$ 的變化而變化。因此，這個微分方程是一個線性定常微分方程。

總之，判斷一個微分方程是否是線性定常微分方程需要檢查其線性性和定常性兩個條件是否同時成立。

拉普拉斯變換是一種重要的數(shù)學(xué)工具，常被用于求解微分方程和信號處理等問題。下面舉一個簡單的例子來說明拉普拉斯變換的概念和使用方法。

假設(shè)我們有一個時間域上的連續(xù)函數(shù) $f(t)$，它表示某個物理過程的變化規(guī)律。我們希望通過拉普拉斯變換，將 $f(t)$ 轉(zhuǎn)換到復(fù)平面上的頻率域函數(shù) $F(s)$，以便更好地研究和處理這個函數(shù)。

在拉普拉斯變換中，我們需要用一個復(fù)數(shù)變量 $s$ 來表示頻率域，$s$ 可以看做是一個復(fù)平面上的點，具有實部和虛部兩個部分。具體地，拉普拉斯變換定義為：

$$F(s) = \mathcal{L}{f(t)} = \int_{0}^{\infty} e^{-st} f(t) dt$$

其中，$e^{-st}$ 是一個指數(shù)函數(shù)，$s$ 是一個復(fù)數(shù)。$F(s)$ 是 $f(t)$ 在頻率域上的變換結(jié)果。

我們可以通過一個簡單的例子來說明這個公式的應(yīng)用。假設(shè)我們有一個函數(shù) $f(t) = e^{-at}$，其中 $a$ 是一個常數(shù)。我們希望將其進(jìn)行拉普拉斯變換，以求得 $F(s)$。

根據(jù)上面的公式，我們有：

$$F(s) = \mathcal{L}{f(t)} = \int_{0}^{\infty} e^{-st} e^{-at} dt$$

對于這個積分，我們可以通過換元法和一些積分技巧來求解，最終得到：

$$F(s) = \frac{1}{s+a}$$

這個結(jié)果表示，當(dāng)我們對 $f(t) = e^{-at}$ 進(jìn)行拉普拉斯變換后，得到的頻率域函數(shù) $F(s)$ 是一個分式形式，分子為常數(shù) $1$，分母為 $s+a$。這個結(jié)果也可以通過查表或使用拉普拉斯變換公式表來獲得。

因此，我們可以使用這個結(jié)果來更好地研究和處理 $f(t)$ 所描述的物理過程的變化規(guī)律。

### 拉普拉斯變換：

當(dāng)我們研究動態(tài)系統(tǒng)時，經(jīng)常需要使用拉普拉斯變換來描述系統(tǒng)的行為。拉普拉斯變換是一種將一個函數(shù)從時間域（或空間域）轉(zhuǎn)換為頻率域的數(shù)學(xué)工具。通過拉普拉斯變換，我們可以將一個微分方程或差分方程轉(zhuǎn)換為代數(shù)方程，這使得我們能夠更方便地研究系統(tǒng)的特性。

具體來說，對于一個時間函數(shù)$f(t)$，它的拉普拉斯變換$F(s)$定義為：

$$F(s) = \mathcal{L}{f(t)} = \int_{0}^{\infty} e^{-st} f(t) dt$$

其中，$s$ 是一個復(fù)數(shù)變量，$e^{-st}$ 是一個指數(shù)函數(shù)，$t$ 是時間變量。在這個積分中，我們對時間 $t$ 從 $0$ 到無窮大進(jìn)行積分。

通過拉普拉斯變換，我們可以將微分方程或差分方程轉(zhuǎn)換為代數(shù)方程。例如，對于一個線性時不變系統(tǒng)，它可以用一個微分方程來描述：

$$\frac{d^n y(t)}{dt^n} + a_{n-1} \frac{d^{n-1} y(t)}{dt^{n-1}} + \cdots + a_1 \frac{dy(t)}{dt} + a_0 y(t) = b_m \frac{d^m u(t)}{dt^m} + \cdots + b_1 \frac{du(t)}{dt} + b_0 u(t)$$

其中，$y(t)$ 是系統(tǒng)的輸出，$u(t)$ 是系統(tǒng)的輸入，$a_i$ 和 $b_i$ 是常數(shù)，$n$ 和 $m$ 是正整數(shù)。我們可以對這個微分方程進(jìn)行拉普拉斯變換，得到：

$$s^n Y(s) - s^{n-1} y(0) - s^{n-2} \dot{y}(0) - \cdots - y^{(n-1)}(0) + a_{n-1} (s^{n-1} Y(s) - s^{n-2} y(0) - \cdots - y^{(n-2)}(0)) + \cdots + a_1 (s Y(s) - y(0)) + a_0 Y(s) = b_m (s^m U(s) - s^{m-1} u(0) - \cdots - u^{(m-1)}(0)) + \cdots + b_1 (s U(s) - u(0)) + b_0 U(s)$$

其中，$Y(s)$ 和 $U(s)$ 分別是輸出 $y(t)$ 和輸入 $u(t)$ 的拉普拉斯變換，$\dot{y}(0), y^{(1)}(0), \dots, y^{(n-1)}(0), u(0), u^{(1)}(0), \dots, u^{(m-1)}(0)$ 是 $y(t)$ 和 $u(t)$ 在 $t=0$ 時刻的導(dǎo)數(shù)或高階導(dǎo)數(shù)。通過將微分方程或差分方程轉(zhuǎn)換為代數(shù)方程，我們可以更方便地分析系統(tǒng)的特性，比如穩(wěn)定性、響應(yīng)時間等等。

除了將微分方程或差分方程轉(zhuǎn)換為代數(shù)方程外，拉普拉斯變換還有其他一些應(yīng)用。例如，在控制系統(tǒng)中，我們經(jīng)常使用拉普拉斯變換來設(shè)計控制器和估計系統(tǒng)的狀態(tài)。此外，拉普拉斯變換還可用于分析信號處理、電路分析等領(lǐng)域。

需要注意的是，拉普拉斯變換對于某些函數(shù)可能不存在，或者存在但是不收斂。此外，拉普拉斯變換也可能會導(dǎo)致頻域中存在奇異點，這些奇異點可能會影響系統(tǒng)的穩(wěn)定性。因此，在使用拉普拉斯變換時，需要注意函數(shù)的收斂性和奇異性，以便正確地分析系統(tǒng)的特性。

拉普拉斯變換里面的復(fù)數(shù)變量S是什么？

在拉普拉斯變換中，復(fù)數(shù)變量$s$通常表示頻率域中的復(fù)頻變量。這個復(fù)頻變量通常取形如$s=\sigma+j\omega$的復(fù)數(shù)形式，其中$\sigma$和$\omega$都是實數(shù)。$\sigma$通常被稱為實部，而$\omega$通常被稱為虛部。在控制系統(tǒng)中，$\sigma$通常被稱為阻尼比，而$\omega$則對應(yīng)著角頻率。

復(fù)頻變量$s$的實部和虛部的物理意義是不同的。實部$\sigma$通常表示系統(tǒng)的阻尼程度，其值越大，系統(tǒng)越容易衰減或者發(fā)生振蕩。虛部$\omega$則通常表示系統(tǒng)的頻率，其值越大，表示系統(tǒng)響應(yīng)的頻率越高。

在拉普拉斯變換中，函數(shù)在復(fù)平面上的拉普拉斯變換是由積分$\int_{0}^{\infty}f(t)e^{-st}dt$給出的。因此，復(fù)頻變量$s$是拉普拉斯變換的自變量，它的取值范圍可以是整個復(fù)平面。不同的$s$值對應(yīng)著不同的頻率響應(yīng)，因此我們可以利用拉普拉斯變換將時域中的系統(tǒng)響應(yīng)轉(zhuǎn)換為頻域中的系統(tǒng)響應(yīng)，從而更加方便地進(jìn)行系統(tǒng)分析和設(shè)計。

指數(shù)函數(shù)$e^{at}$的拉普拉斯變換定義為：

$$ \mathcal{L}{e^{at}} = \int_{0}^{\infty}e^{-st}e^{at}dt = \int_{0}^{\infty}e^{-(s-a)t}dt = \frac{1}{s-a}, \quad \text{Re}(s) > \text{Re}(a) $$

其中$a$是一個常數(shù)，$\text{Re}(s)$表示$s$的實部。需要注意的是，指數(shù)函數(shù)的拉普拉斯變換只在$s$的實部大于$a$時存在。

這個公式的意義是，指數(shù)函數(shù)$e^{at}$在頻域中的變換結(jié)果是一個簡單的分式形式，分母為$s-a$。因此，我們可以將指數(shù)函數(shù)在時域中的性質(zhì)轉(zhuǎn)換為頻域中的性質(zhì)，并且更加方便地進(jìn)行系統(tǒng)分析和設(shè)計。

指數(shù)函數(shù)的拉普拉斯變換具有重要的物理意義，在控制系統(tǒng)中得到廣泛應(yīng)用。例如，當(dāng)我們研究一個系統(tǒng)的自然響應(yīng)時，指數(shù)函數(shù)可以表示系統(tǒng)的固有模態(tài)。在控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)分析中，指數(shù)函數(shù)可以表示系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。在控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)分析中，指數(shù)函數(shù)可以表示系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。因此，指數(shù)函數(shù)的拉普拉斯變換是控制系統(tǒng)分析和設(shè)計的基礎(chǔ)之一。

正弦函數(shù)$\sin(\omega t)$的拉普拉斯變換不存在。這是因為，拉普拉斯變換是對一類函數(shù)進(jìn)行變換的，而正弦函數(shù)并不屬于這類函數(shù)。

具體來說，拉普拉斯變換對于時域函數(shù)$f(t)$的定義要求它在$[0,\infty)$上連續(xù)且指數(shù)衰減，即存在一個正數(shù)$M$和實數(shù)$\sigma$，使得$|f(t)| \leq Me^{\sigma t}$對于所有$t \geq 0$成立。然而，正弦函數(shù)在任何情況下都不滿足這個要求，因為它是一個周期函數(shù)，并且振幅不會隨著時間的增加而衰減。因此，正弦函數(shù)在拉普拉斯變換的意義下并沒有意義。

需要注意的是，雖然正弦函數(shù)的拉普拉斯變換不存在，我們可以使用歐拉公式將正弦函數(shù)表示為指數(shù)函數(shù)的線性組合：

$$ \sin(\omega t) = \frac{1}{2j}\left(e^{j\omega t} - e^{-j\omega t}\right) $$

這個公式可以用于將正弦函數(shù)與其他可以進(jìn)行拉普拉斯變換的函數(shù)進(jìn)行組合，從而進(jìn)行更加復(fù)雜的系統(tǒng)分析和設(shè)計。例如，我們可以將正弦函數(shù)與指數(shù)函數(shù)相乘，得到一個可以進(jìn)行拉普拉斯變換的函數(shù)。

歐拉公式是一條將指數(shù)函數(shù)和三角函數(shù)聯(lián)系起來的公式。它的表達(dá)式為：

$$ e^{j\theta} = \cos\theta + j\sin\theta $$

其中，$j$是虛數(shù)單位，滿足$j^2 = -1$；$\theta$是一個實數(shù)，表示角度。

這個公式是用歐拉公式將正弦函數(shù)表示為指數(shù)函數(shù)的形式。具體來說，我們有：

$$ \sin(\omega t) = \frac{e^{j\omega t} - e^{-j\omega t}}{2j} $$

其中，$\omega$是一個常數(shù)，$t$是時間變量。這個公式可以通過歐拉公式和代數(shù)運算來證明。具體來說，我們有：

$$ \begin{aligned} \frac{e^{j\omega t} - e^{-j\omega t}}{2j} &= \frac{\cos(\omega t) + j\sin(\omega t) - (\cos(-\omega t) + j\sin(-\omega t))}{2j} \ &= \frac{\cos(\omega t) + j\sin(\omega t) - (\cos(\omega t) - j\sin(\omega t))}{2j} \ &= \frac{2j\sin(\omega t)}{2j} \ &= \sin(\omega t) \end{aligned} $$

因此，我們得到了原始的公式。

這個公式的意義是，正弦函數(shù)可以表示為兩個指數(shù)函數(shù)的差分。其中，第一個指數(shù)函數(shù)具有正的指數(shù)項，第二個指數(shù)函數(shù)具有負(fù)的指數(shù)項。這兩個指數(shù)函數(shù)通過歐拉公式與正弦函數(shù)相關(guān)聯(lián)。在控制系統(tǒng)分析和設(shè)計中，這個公式常常用于將正弦函數(shù)轉(zhuǎn)化為指數(shù)函數(shù)的形式，以便進(jìn)行更加方便的系統(tǒng)分析和設(shè)計。

歐拉公式可以通過泰勒級數(shù)展開證明，也可以通過復(fù)變函數(shù)理論中的柯西-黎曼方程進(jìn)行證明。不過，在控制理論中，我們通常將歐拉公式作為一條基本的性質(zhì)，而不需要深入探討它的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。

歐拉公式的物理意義十分重要。它將指數(shù)函數(shù)和三角函數(shù)之間建立了聯(lián)系，使得我們可以在復(fù)平面上進(jìn)行運算，并將三角函數(shù)的性質(zhì)轉(zhuǎn)化為指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)。在控制系統(tǒng)分析和設(shè)計中，歐拉公式的應(yīng)用十分廣泛，例如，我們可以使用歐拉公式將正弦函數(shù)表示為指數(shù)函數(shù)的線性組合，從而進(jìn)行更加方便的系統(tǒng)分析和設(shè)計。

需要注意的是，歐拉公式中的$j$和復(fù)數(shù)$i$有時會混淆。在控制理論中，我們通常使用$j$表示虛數(shù)單位，而使用$i$表示變量。但在其他領(lǐng)域中，$i$有時也會被用作虛數(shù)單位的表示。因此，在閱讀相關(guān)文獻(xiàn)時需要注意區(qū)分。

拉普拉斯變換的積分定理是指，對一個函數(shù)$f(t)$，它的拉普拉斯變換為$F(s)$，則$f(t)$在$[0,\infty)$上的積分可以表示為$F(s)$在$s$處的導(dǎo)數(shù)：

$$\int_0^\infty f(t) e^{-st} dt = \fracs0sssss00s{ds} F(s)$$

其中，$s$是復(fù)變量，$F(s)$的定義為：

$$F(s) = \int_0^\infty f(t) e^{-st} dt$$

這個定理的意義在于，它允許我們通過求函數(shù)的拉普拉斯變換來計算其積分，或者反過來，通過積分來計算其拉普拉斯變換。這個定理也常常用于求解微分方程和差分方程，因為在這些問題中，我們常常需要對函數(shù)進(jìn)行積分或者求導(dǎo)。利用這個定理，我們可以將積分或者導(dǎo)數(shù)操作轉(zhuǎn)化為對函數(shù)的拉普拉斯變換的求解。同時，這個定理還有許多變形和推廣，例如，它可以擴(kuò)展到更一般的積分范圍，或者更高階的導(dǎo)數(shù)。

拉普拉斯變換的微分定理是指，對一個函數(shù)$f(t)$，它的拉普拉斯變換為$F(s)$，則$f(t)$的導(dǎo)數(shù)$f'(t)$的拉普拉斯變換為$sF(s) - f(0)$，其中$f(0)$表示$f(t)$在$t=0$處的取值。

具體來說，設(shè)$f(t)$的拉普拉斯變換為$F(s)$，則$f'(t)$的拉普拉斯變換為：

$$ \begin{aligned} \mathcal{L}\{f'(t)\} &= \int_0^\infty f'(t) e^{-st} dt \\ &= \left[f(t) e^{-st}\right]_0^\infty + s\int_0^\infty f(t) e^{-st} dt \\ &= -f(0) + sF(s) \end{aligned} $$ 其中，$\mathcal{L}\{f(t)\}$表示$f(t)$的拉普拉斯變換，$s$為復(fù)數(shù)變量，$f(0)$表示$f(t)$在$t=0$時的取值。

這個定理的意義在于，它允許我們在拉普拉斯變換的域中進(jìn)行微分操作，從而可以更方便地求解微分方程。同時，這個定理也有許多的推廣和變形，例如，它可以擴(kuò)展到更高階的導(dǎo)數(shù)，或者更一般的函數(shù)形式。需要注意的是，微分定理只適用于$f(t)$在$[0,\infty)$上連續(xù)可導(dǎo)的情形。如果$f(t)$不滿足這個條件，則需要對$f(t)$進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃位蛘哐a(bǔ)充，才能使用微分定理。

拉普拉斯變換微分定理指的是：

若$f(t)$在$[0,\infty)$上連續(xù)可導(dǎo)，且滿足$\lim_{t\rightarrow \infty} f(t)e^{-st}=0$，則有：

$$\mathcal{L}{f'(t)}=s\mathcal{L}{f(t)}-f(0)$$

其中，$\mathcal{L}{f(t)}$表示$f(t)$的拉普拉斯變換，$s$為復(fù)數(shù)變量，$f(0)$表示$f(t)$在$t=0$時的取值。

下面給出這個定理的證明過程：

根據(jù)拉普拉斯變換的定義，有：

$$\begin{aligned}\mathcal{L}{f'(t)} &= \int_0^\infty f'(t)e^{-st} dt\&=[f(t)e^{-st}]_0^\infty+\int_0^\infty f(t)se^{-st}dt\end{aligned}$$

由于$\lim_{t\rightarrow \infty} f(t)e^{-st}=0$，所以$[f(t)e^{-st}]_0^\infty$這一項為$-f(0)$，于是可以得到：

$$\mathcal{L}{f'(t)}=s\mathcal{L}{f(t)}-f(0)$$

這就是拉普拉斯變換微分定理的證明。

這個定理的證明過程需要用到分部積分。下面我會詳細(xì)闡述一下證明過程。

首先，根據(jù)拉普拉斯變換的定義，有：

$$\begin{aligned}\mathcal{L}{f'(t)} &= \int_0^\infty f'(t)e^{-st} dt\&=[f(t)e^{-st}]_0^\infty+\int_0^\infty f(t)se^{-st}dt\end{aligned}$$

其中，第一個等式使用了分部積分，第二個等式是因為$f(t)e^{-st}$在$t$趨近于無窮大時趨近于0，所以上式中第一項為$-f(0)$。

接下來，我們需要證明第二項是$s\mathcal{L}{f(t)}$。為此，我們可以寫出$f'(t)$的導(dǎo)數(shù)：

$$f''(t)=\fracs0sssss00s{dt}\left(\fracs0sssss00s{dt}f(t)\right)$$

接下來，對$f(t)e^{-st}$進(jìn)行兩次分部積分，得到：

$$\begin{aligned}\int_0^\infty f(t)se^{-st}dt &= [f(t)e^{-st}]_0^\infty - \int_0^\infty f'(t)e^{-st}dt \ &= -f(0) - \mathcal{L}{f'(t)}\end{aligned}$$

其中，第一個等式使用了分部積分，第二個等式是因為$f(t)e^{-st}$在$t$趨近于無窮大時趨近于0，所以上式中第一項為$-f(0)$。

將上式代入到$\mathcal{L}{f'(t)}$的式子中，得到：

$$\mathcal{L}{f'(t)}=s\mathcal{L}{f(t)}-f(0)-\int_0^\infty f(t)se^{-st}dt$$

將上式中的第三項代入，可以得到：

$$\mathcal{L}{f'(t)}=s\mathcal{L}{f(t)}-f(0)+f(0)+\mathcal{L}{f'(t)}$$

化簡后，即可得到：

$$\mathcal{L}{f'(t)}=s\mathcal{L}{f(t)}-f(0)$$

這就證明了拉普拉斯變換微分定理。

分部積分是一個求解積分的方法，用于將積分轉(zhuǎn)化為更易求解的形式。它的基本思想是將積分中的乘積拆分為兩個因子的積的形式，然后對其中一個因子求導(dǎo)，對另一個因子求積分，這樣就可以將原來的積分轉(zhuǎn)化為更簡單的積分或者求值問題。

具體而言，設(shè) $u(x)$ 和 $v(x)$ 是兩個可導(dǎo)函數(shù)，那么根據(jù)乘積的求導(dǎo)法則，我們有：

$$(u(x) \cdot v(x))' = u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x)$$

將上式兩邊同時積分，得到：

$$\int (u(x) \cdot v(x))' dx = \int u'(x) \cdot v(x) dx + \int u(x) \cdot v'(x) dx$$

根據(jù)不定積分的定義，左邊的積分等于 $u(x) \cdot v(x)$，因此上式可以改寫為：

$$u(x) \cdot v(x) = \int u'(x) \cdot v(x) dx + \int u(x) \cdot v'(x) dx$$

這就是分部積分公式的一般形式。我們通常把上式記作：

$$\int u(x) \cdot v'(x) dx = u(x) \cdot v(x) - \int u'(x) \cdot v(x) dx$$

這個公式也被稱為分部積分公式。它的應(yīng)用非常廣泛，特別是在求解一些復(fù)雜的積分時，可以通過反復(fù)使用分部積分，將原始的積分轉(zhuǎn)化為一系列更簡單的積分，從而求得積分的值。