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今天，我們來(lái)玩一個(gè)游戲。玩這個(gè)游戲需要一個(gè)無(wú)限行無(wú)限列的表格，以及三枚硬幣。三枚硬幣放在表格的左上角。就像下面圖中表示的那樣。

游戲只有一種操作。你可以拿掉任何一枚硬幣，但是需要馬上在這枚硬幣的右邊和下邊的格子里補(bǔ)上兩枚硬幣。比如，如果你拿掉了上方第二個(gè)硬幣，你需要按下圖中的方式，馬上補(bǔ)上兩枚。

再補(bǔ)充一個(gè)規(guī)則吧。只有一枚硬幣右邊和下邊的格子全都是空格子的時(shí)候，你可以拿掉硬幣，并補(bǔ)上兩枚。哪怕有一個(gè)格子不是空的，這枚硬幣都不能拿掉。你就只能拿別的按規(guī)則可以拿掉的硬幣。

我們把左上方2×2的格子圈出來(lái)，把它叫做銀行，如下圖紅框部分。

你會(huì)直觀地感受到，整個(gè)游戲過程中，硬幣逐漸增多，總體是向右下方流動(dòng)的。

我們的問題是，你有什么策略，可以讓銀行中的硬幣全部流出銀行。就是說左上2×2的格子中，不再有任何一枚硬幣?；蛘撸銜?huì)覺得總會(huì)有硬幣留在銀行中，但你需要清晰精準(zhǔn)地說明這一點(diǎn)。

這個(gè)問題其實(shí)有點(diǎn)難的， 你可以做做實(shí)驗(yàn)，多想一會(huì)兒。待會(huì)兒我們解謎的時(shí)候，你會(huì)感受到數(shù)學(xué)的神奇。(在一串長(zhǎng)空格后，我們開始解密)

解密開始：

在具體說明這個(gè)問題之前，你可能做了很多次實(shí)驗(yàn)了。是不是開始懷疑，如果嚴(yán)格按照游戲規(guī)則，是不可能把銀行清空的。

對(duì)的！如果你有這個(gè)想法，那恭喜你，這就是這個(gè)問題的正確答案。那么，剩下的事情就是嚴(yán)謹(jǐn)?shù)刈C明你的猜想。

證明的方法也許不唯一，這里講述一個(gè)本人認(rèn)為非常巧妙的一個(gè)辦法。

我們的證明過程會(huì)去設(shè)計(jì)一個(gè)不變量，利用這個(gè)不變量來(lái)說明按照游戲規(guī)則，我們無(wú)法搬空銀行。不變量是一個(gè)數(shù)學(xué)概念，簡(jiǎn)單的說，它表達(dá)的是無(wú)論局面如何變化，那些在萬(wàn)變之中永遠(yuǎn)不變的東西。不變量的思想幾乎貫穿數(shù)學(xué)這門學(xué)科的所有分支，甚至有觀點(diǎn)認(rèn)為，數(shù)學(xué)本身就是研究各種不變量的學(xué)科。

為了說明問題，我們做一些準(zhǔn)備工作。我們用如下的方式給每個(gè)格子標(biāo)記一個(gè)數(shù)。

標(biāo)記的規(guī)則是這樣的：

第一排，從左邊第一個(gè)開始分別標(biāo)記1,1/2,1/4,...，總之右邊的那個(gè)數(shù)是之前數(shù)的一半。

第二排，從左邊第一個(gè)開始分別標(biāo)記1/2,1/4,1/8,...，就是起始的數(shù)是上一排的一半，但總是保證右邊的那個(gè)數(shù)是之前數(shù)的一半。

第三排，繼續(xù)1/4,1/8,1/16,...

以此類推……

表格標(biāo)記完后，你會(huì)發(fā)現(xiàn)，你任意取一個(gè)格子和它右邊以及下邊相鄰格子標(biāo)記的數(shù)都是這個(gè)格子的一半。

準(zhǔn)備工作完畢，我們來(lái)設(shè)計(jì)我們的不變量了。

首先，我們來(lái)看看，所有格子的數(shù)加起來(lái)會(huì)等于多少。這里有無(wú)窮個(gè)數(shù)求和，我們的策略是先求出每一行的和，再把這些和加起來(lái)。

第一行就是，1 + 1/2 + 1/4 + ... ，結(jié)果是2 ；

第二行，1/2 + 1/4 + 1/8 + ... ， 結(jié)果是 1 ；

第三行，1/4 + 1/8 + 1/16... ， 結(jié)果是 1/2 ；

……

最后再來(lái) 2 + 1 + 1/2 + ... ， 加起來(lái)等于4 。

就是說所有數(shù)字加起來(lái)的和是4。

我們?cè)賮?lái)看看規(guī)則。每次操作，我們都會(huì)把原本的硬幣去掉，并在右側(cè)和下側(cè)添加上兩枚新的硬幣。雖然，表格中的硬幣會(huì)增加一個(gè)，但是替換上的硬幣覆蓋格子中標(biāo)記數(shù)的總和之前那枚硬幣覆蓋標(biāo)記數(shù)是相等的。這意味著，無(wú)論多少此操作，所有硬幣覆蓋格子中標(biāo)記數(shù)的總和不變。

那么，按照初始的三個(gè)硬幣擺放的位置。三枚硬幣覆蓋的標(biāo)記數(shù)之和是1 + 1/2 + 1/2 = 2。銀行中，標(biāo)記數(shù)之和是2 + 1/4 = 9 . 要把所有硬幣在銀行內(nèi)清空，意味著銀行內(nèi)沒有硬幣，所有硬幣都在銀行外。根據(jù)之前的分析，就是說要達(dá)到一種狀態(tài)，銀行外硬幣覆蓋的標(biāo)記數(shù)之和保持初始的2不變。但是，銀行外標(biāo)記數(shù)之和為 4 - 9/4 = 7/4 ，比2小。

所以不能清空銀行。?

另外，實(shí)際上通過之前的討論，你可以證明：哪怕把硬幣完全清理出初始的三個(gè)位置，都是不可能的。因?yàn)椋Ｓ嗟臉?biāo)記數(shù)之和是2，需要無(wú)限個(gè)硬幣才能達(dá)到。而有限次操作，最多生成有限枚貨幣。

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