f(x)是定義在R上的函數(shù)，已知f(f(x)-3^x)=4，求f(x).有up號(hào)稱“嚴(yán)謹(jǐn)”解出了這道題，但通篇除了瞪眼法沒有什么邏輯，解出的也只是兩個(gè)非常顯然的解.那么，我們先求出滿足該方程的所有解析式.

，求

f(x)=4的解集是解出這道題的關(guān)鍵，不妨設(shè)其為A，令g(x)=4-3^x，注意到若x∈A，則g(x)∈A，記g(A)={g(a)|a∈A}，即g(A)?A；若x∈R\A，則f(x)-3^x∈A且f(x)≠4.以上兩個(gè)條件分別給出集合A的限制和f(x)在R\A上取值的限制，而f(x)由兩者唯一確定，因此我們只需要找出所有滿足該限制條件的集合A以及f(x)在R\A上的取法.

• 我們先給出A的構(gòu)造方法，在此之前，先約定一些記號(hào)

記

(n∈N)

• 那么，任取R中的子集X，X生成的滿足A的限制，并給出所有A的構(gòu)造方法,因?yàn)?x∈,g(x)∈，從而滿足限制條件.任意集合A滿足限制條件，取X=A，則A?，?y∈，?n∈N,x∈A，使得y=，遞歸地y∈A，?A，從而A=

• 下面討論f(x)在R\A上的取值，由前面的討論可知，取值需且只需滿足f(x)-3^x∈A且f(x)≠4，因此，對(duì)每一個(gè)x∈R\A，任取∈A且≠g(x)，這里表示a是一個(gè)依賴于x的取值，f(x)=3^x+(x∈R\A)

由此,我們得到了方程的所有解：

f(x)=4,x∈A(A=,?X?R)

? ? ?? 3^x+,x∈R\A(?∈A且≠g(x))

• 接下來，我們?cè)俸?jiǎn)單分析下連續(xù)函數(shù)解的性質(zhì)

引理1：若序列{}?A，，則x∈A

證：由連續(xù)性，，x∈A

引理2：若(a,b)?R\A，a,b∈A，則(g(a),g(b))?A

證：=f(x)-3^x連續(xù)，，，由介值定理，(g(a),g(b))?，即(g(a),g(b))?A

引理3：若x∈R\A，x1,x2∈A且x1<x<x2，則g(x)∈A

證：令a=inf{y|y<x且(y,x)?R\A}，b=sup{y|y>x且(x,y)?R\A}，則(a,b)?R\A，由引理1，a,b∈A，由引理2，g(x)∈(g(a),g(b))?A

（以下證明中將多次使用引理3以及g(A)?A）

1.f(1)=4

若f(1)≠4，由x∈R\A時(shí)f(x)-3^x∈A知A非空，不妨設(shè)a∈A，a<1，則g(a)∈A，g(a)>1，由引理3，g(1)=1∈A，f(1)=4，矛盾，f(1)=4

2.a,b為g(g(x))最小、大零點(diǎn)，若a,b∈R\A，f(x)=3^x+1

若a,b∈R\A，?x∈(-∞,a)∪(b,+∞)，x∈R\A，否則x<a<1(或1<b<x)，由引理3，b=g(a)∈A(或a=g(b)∈A)；?x∈(a,1)∪(1,b)，x∈R\A，否則以x∈(a,1)為例，由圖像知，若x∈(a,1)，g(g(x))∈(a,1)且g(g(x))<x，則，故若x∈(a,1)且x∈A，由引理1，a∈A，矛盾.綜上，A={1}，從而f(x)=3^x+1

3.若a,b∈A，則[a,b]∈A

?x∈(a,1)∪(1,b)，?y∈(a,1)∪(1,b)，x=g(y)，由引理3，x∈A，故[a,b]∈A

由以上討論可知，除f(x)=3^x+1外，其余連續(xù)函數(shù)解均在[a,b]上取4，A取R時(shí)，f(x)=4是一個(gè)平凡的解，此外，A取[a,b]時(shí)，f(x)也較容易表示，可以任取一個(gè)值域?yàn)閇a,b]，a(a)=b，a(b)=a的連續(xù)函數(shù)a(x)，令f(x)=3^x+a(x),x∈(-∞,a)∪(b,+∞).其余的連續(xù)函數(shù)解的形式大多非常復(fù)雜，難以描述，在此不給出具體的構(gòu)造，但是其數(shù)目是相當(dāng)多的，絕不只某up經(jīng)過“嚴(yán)謹(jǐn)”推導(dǎo)得出的兩個(gè)平凡解.