脫到脫殊復(fù)宇宙的話就要談?wù)劽撌鈹U張。是說包含 V-可定義的偏序集 P然后P上面有一個濾子稱之為脫殊濾子G這個脫殊濾子對于V而言就有一種transcendence的感覺（即脫殊）接著然后通過把G加到 V中來產(chǎn)生一個新的結(jié)構(gòu)：（ V的）脫殊擴張V[G]作為一個ZFC的模型。那么脫殊復(fù)宇宙就是：擁有在所有的力迫擴張（和一些 ground models）下closure形式的宇宙V這是woodin的成果之一。它確保了廣義連續(xù)統(tǒng)的成立。

玄宇宙計劃：

本文的計劃如下。首先，我將回顧一些流行的一階公理，它們很好地滿足了集合論實踐的需要，并論證上述豐富性預(yù)測。其次，我將討論在整個數(shù)學(xué)中的獨立性鮮為人知的力迫公理作為上述基礎(chǔ)性預(yù)測的證據(jù)的作用。而到目前為止，本文的主要內(nèi)容和核心目標是第三部分，在這一部分中我將介紹玄宇宙計劃，包括其哲學(xué)基礎(chǔ)和最新的數(shù)學(xué)發(fā)展。

省流大師

Hyperuniverse Programme, HP（玄宇宙計劃）是對內(nèi)模型的基本性質(zhì)的另外一個方向的探尋綱領(lǐng)，使得內(nèi)模型可以滿足集合論哲學(xué)的最大化思想的要求。

• 玄宇宙計劃目前依舊活躍。[1]

• 玄宇宙計劃目前最好的成果是SIMH# = SIMH + #-生成。

• 玄宇宙計劃提出的一部分候選者有能力決定連續(xù)統(tǒng)假設(shè)不成立。

玄宇宙計劃的哲學(xué)原理

免責聲明：這段數(shù)學(xué)哲學(xué)說書不代表本人的數(shù)學(xué)哲學(xué)觀點，只是作者的觀點的摘錄

三類證據(jù)

• 集合理論實踐的豐富性（第一類證據(jù)）。

集合論作為數(shù)學(xué)的一個分支，其發(fā)展是如此豐富，以至于對于哪些一階公理（超越ZFC加小的大基數(shù)）最有利于這一發(fā)展，永遠不會有共識。

• 一個基礎(chǔ)性的需要（第二類證據(jù)）。

正如AC因其對數(shù)學(xué)實踐的重要作用而被接受一樣，對整個數(shù)學(xué)的獨立性結(jié)果的系統(tǒng)研究將發(fā)現(xiàn)與CH（因此也包括V=L）相矛盾的一階陳述，這些陳述最適合解決這種獨立性。

• 一個最佳的最大化標準（第三類證據(jù)）。

通過玄宇宙計劃，將有可能得出一個最佳的非一階公理，表達集合論宇宙在高度和寬度上的最大化；這個公理將有與CH相矛盾的一階后果（因此也包括V = L）。

• 集合論的真理論。

將會有一些集合論的一階聲明，它們能很好地滿足集合論實踐和解決整個數(shù)學(xué)的獨立性的需要，而且這些聲明可以從集合論宇宙的高度和寬度的最大化中推導(dǎo)出來。這樣的陳述將被視為集合論的真實陳述。為了使一個與V=L相矛盾的一階聲明被視為真實，它必須很好地滿足集合論實踐和解決數(shù)學(xué)中的獨立性的需要，而且它至少必須與最佳最大化標準所表達的集合論宇宙的最大化相一致。

• 超越一階。

對于與V=L相矛盾的擬議的一階公理的真實性，永遠不會有共識；相反，真正的一階語句將僅僅作為真正的非一階公理的后果出現(xiàn)。

第一類證據(jù)

即使我們產(chǎn)生了一個很好的公理[2]，其形式為 "有（一切）大基數(shù)，V是L的典型泛化"，這樣做也會使我們在一個類似L的環(huán)境中進行集合論。事實上，在集合論上還有其他令人信服的觀點，它們將我們引向非類-L環(huán)境，并相應(yīng)地引向完全不同的第一類公理。

• 力迫公理有很長的歷史，可以追溯到馬丁公理(MA)，這個簡單的公理可以用來一舉建立大量集合論語句的相對一致性。自然地，人們對MA的強化有興趣，一個流行的強化是恰當力迫公理（PFA），它把這個公理強化到更廣泛的恰當偏序類。而PFA自然的和類-L公理不兼容

• 在研究實數(shù)集的可定義理論和組合學(xué)特性時出現(xiàn)了大量的自然的基數(shù)，他們都是至多為連續(xù)統(tǒng)的不可數(shù)基數(shù)。這些特性提供了一個低于連續(xù)統(tǒng)的獨特的不可數(shù)基數(shù)的大譜系，因此連續(xù)統(tǒng)確實相當大，與類-L性和力迫公理相矛盾。

因此，我們有三種不同類型的公理，具有出色的第一類證據(jù)：具有大基數(shù)的內(nèi)模型公理、力迫公理和基數(shù)特征公理。它們相互矛盾，但每一個都與其他公理的內(nèi)模型的存在一致。在我看來，這清楚地表明第一類證據(jù)不足以確立集合論公理的真實性；它也不足以決定CH是否為真。

第二類證據(jù)

• 除了V=L和力迫公理，對集合論之外的數(shù)學(xué)產(chǎn)生了重大影響，大基數(shù)公理（如超緊致）和基數(shù)特征公理(Cardinal Characteristic Axioms)的影響很小，而?ADL(R)?的影響至今不存在。

• 作者預(yù)測，在解決整個數(shù)學(xué)的獨立性的集合論公理的選擇中，V=L和力迫公理將是絕對的贏家。但是，由于V=L與集合論宇宙的寬度的最大化相沖突，它不適合作為集合論真理論的實現(xiàn)，使得力迫公理成為目前領(lǐng)先的候選人。

筆記作者的評論：只要你接納 canonicity ，V=L和力迫公理都不需要好吧，直覺一念起剎那天地寬，施主只使用數(shù)學(xué)的實踐需求來作為公理的第二類證據(jù)的話為何不速速皈依我構(gòu)造主義類型論門下？

我Cubical TT修煉范疇論內(nèi)功可以繼承布爾巴基之名，外功可通達一切可計算數(shù)學(xué)，一切數(shù)學(xué)的證明自動檢驗（形式化）和整個計算機科學(xué)，你個L公理力迫公理也敢上門來和我斗實踐需求的陣？

第三類證據(jù)

• 高度（或序數(shù)）最大化。宇宙V是盡可能高的，即序數(shù)序列是盡可能長的。

• 寬度（或冪集）最大化。宇宙V盡可能地寬（或厚），即每個集合的冪集盡可能地大。

• 如果M是寬度最大的，那么M的一個“增厚”性質(zhì)在M的某個內(nèi)部模型中也必須成立。在一階屬性的情況下，這被稱為內(nèi)模型假設(shè)，或者IMH(Inner Model Hypothesis)。

完成主義和潛在主義[3]

• 冪集迭代的結(jié)果有一個 "極限"，還是總是可以進一步擴展到更長的迭代？前者稱之為高度完成主義。反之為高度潛在主義。

• 冪集運算的結(jié)果是確定的還是總是有可能通過增加更多的子集來進一步擴展它？前者稱之為寬度完成主義。反之為寬度潛在主義。

• 玄宇宙計劃將遵循高度潛在主義和寬度完成主義：盡管我們有一個明確而連貫的方式通過迭代過程生成序數(shù)，但目前還沒有類似的迭代過程來生成越來越豐富的冪集。

為啥寬度潛在主義是不太合理的？考慮這樣的公理：

• 任何序數(shù)都是潛在的可數(shù)：對于V的任何序數(shù)α，我們可以將V增厚到α是可數(shù)的內(nèi)模型M。

激進潛在主義：高度潛在論 + 寬度潛在論

• 即使只是寬度潛在主義（允許宇宙被加厚），也會迫使我們進入高度潛在主義：如果我們繼續(xù)加厚以使V的每個序數(shù)都是可數(shù)的，那么在Ord(V)步驟之后，我們也被迫加長以達到一個滿足冪集公理的宇宙?M0?。在那個宇宙中，原來的V看起來是可數(shù)的。但是，我們可以用這個新的宇宙?M1?重復(fù)這個過程，直到?M0?也被看作是可數(shù)的。之所以這滿足了高度潛在主義，是因為我們不能以所有宇宙的聯(lián)合來結(jié)束這個過程，否則這將不是ZFC的模型（冪集公理將失效），因此必須在高度上延長。

最大化協(xié)議

本協(xié)議旨在將高度和寬度最大化的研究，分成三個階段。

1. 將序數(shù)最大化（高度最大化）。

2. 在實現(xiàn)了序數(shù)最大化之后，再實現(xiàn)基數(shù)最大化。

3. 在對序數(shù)和基數(shù)進行最大化之后，對冪集進行最大化（寬度最大化）。

階段1通過#-生成完成，階段3通過類-IMH公理完成；對于基數(shù)最大化，我們希望對于一切基數(shù)?κ,κ+?盡可能大。

玄宇宙計劃的已知結(jié)論（已被證明一致）

三階反射公理是不一致的[3]。但我們可以換個方式定義α階反射原理。

擴展反射公理(ERA, Extended Reflection Axiom)

• 如果V對ERA成立，那么存在一個ZFC的模型V*(稱之為V的延展)，滿足
  P是一階公式，P(A)在V*中成立，A是V的子類，存在V上的序數(shù)?α<β?，
  使得?Vβ?P(A∩Vα)?.

到此，使用ERA，對于V*上的所有序數(shù)α，都可以描述V的α-反射。

#-生成 (#-Generation)[1]

#-生成斷言存在一種特殊的集合，叫做a# (sharp)，通過迭代“生成”V。一個最佳的反射原理產(chǎn)生了，因為這個迭代也為V產(chǎn)生了一個封閉的無界的不可知類，足以見證任何顯然成立（V=L之內(nèi)）的反射原理。至關(guān)重要的是，生成V的#不能是V的一個元素，否則這種最優(yōu)性就不可能實現(xiàn)。

首先，設(shè)想V可以被看作是一個初等宇宙鏈?Vκi:i<Ord?的最后一步，我們設(shè)定?V=VκOrd?。我們可以繼續(xù)構(gòu)建這個 "超越 "V本身的鏈條，產(chǎn)生一個向上的初等宇宙鏈?V=VκOrd?VκOrd+1?VκOrd+2?...?.

即便允許V 、Ord 這樣的對象是完成的對象，可以使用，但讓人難以理解的是“Ord + 1”、“?VOrd?之外”這樣的概念。畢竟，除了它們沒有良好的定義之外，我們還很難想象 V 之外的所謂“類似集合的對象”是什么樣。[3]

V是不可辨認生成(indiscernibly-generated)的，如果

1. 有一個長度為?Ord?的連續(xù)序列?κ0<κ1<...?，使得?κOrd=Ord?，并且有換元初等嵌入?πi,j:V→V?，其中?πi,j?有臨界點?κi?并 sends?κi?to?κj?. (沒理解，不知道怎么翻譯)

2. 對于任何?i≤j?，V的任何元素在V中都是可以被?πi,j?和?{κ?:i≤?<j}?內(nèi)的元素一階定義。

這等價于#-生成。以后也用#-生成來稱呼該公理。

#-生成意味著所有與V=L兼容的反射形式。如果0#存在，那么#-生成一致。因此，作者認為#-生成表達了最強的高度反射原理，因此可以合理地聲稱#-生成是表達V的高度最大化的最佳原則。

#-生成并不滿足寬度完成主義：為了得到一個足以生成V的#-生成，我們必須要構(gòu)造一個Rank小于Ord(V)的不屬于V的集合。為了解決這個問題，引出了弱#-生成。

內(nèi)模型假設(shè)(IMH, Inner Model Hypothesis)

• 如果一個一階句子在V的某個外模型中成立，那么它在V的某個內(nèi)模型中也成立。

在這個版本的表述中，我們可以把外模型理解為一個包含V的、與V的序數(shù)相同的、滿足ZFC的傳遞集合V*?，內(nèi)模型是指一個V的可定義子類，其序數(shù)與V相同，并且滿足ZFC。根據(jù)激進潛在主義，ZFC的任何傳遞模型在更大的這類模型中是可數(shù)的，由此我們可以推斷出V的豐富的外模型的存在。

IMH是一個非?！澳д钡哪Ｐ?，它的一致性可以從PD（投影決定性），也就是ω個Woodin基數(shù)得出；但如此強力的模型之內(nèi)卻并不含有不可達基數(shù)。

IMH不滿足寬度完成主義，為了實現(xiàn)寬度完成主義，接下來會轉(zhuǎn)移到V-邏輯上。

V-邏輯(V-logic)

V-邏輯具有以下的常元符號：

1. aˉ?表示V的每一個集合a

2. Vˉ?表示宇宙全體集合容器V

在一階邏輯的推理規(guī)則上添加以下規(guī)則：

1. ?b,b∈a,ψ(bˉ)??x∈aˉ,ψ(x)

2. ?a,b∈V,ψ(aˉ)??x∈Vˉ,ψ(x)

作為寬度完成主義者，我們不能直接談?wù)撏饽Ｐ?，甚至不能談?wù)摬粚儆?strong>V的集合。然而，使用V-邏輯，我們可以間接地談?wù)撍鼈??？紤]V-邏輯中的理論，我們不僅有表示V的元素的常元符號?aˉ?和表示V本身的常元符號?Vˉ?，而且還有一個常元符號?Wˉ?來表示V的 "外模型"。

類似于力迫法的發(fā)明路程，一個同時接受柏拉圖主義和高度完成主義的人也會遇到類似的問題。[4]

我們增加以下新公理。

1. 宇宙V是ZFC（或至少是KP，可接受性理論）的一個模型。

2.?Wˉ?是ZFC的一個傳遞模型，包含?Vˉ?作為子集，并且與V有相同的序數(shù)。

因此，現(xiàn)在當我們采取一個遵守V-邏輯規(guī)則的公理模型時，我們會得到一個模擬ZFC（或至少是KP）的宇宙，其中?Vˉ?被正確地解釋為V，?Wˉ?被解釋為V的外模型。請注意，V-邏輯中的這一理論是在沒有“加厚”V的情況下提出的，實際上它是在?V+=Lα(V)?內(nèi)定義的。由于我們采用了高度（而不是寬度）潛在主義，后者又是有意義的。

最終我們可以用V-邏輯將IMH轉(zhuǎn)寫為以下形式：

• 假設(shè)P是一個一階句子，上述理論連同公理“?Wˉ?滿足P”在V-邏輯中是一致的。那么P在V的一個內(nèi)模型中成立。

最終我們成功避免了直接談?wù)?strong>V的“增厚”（即“外模型”），而是談?wù)撚?strong>V-邏輯制定的理論的一致性，并在?V+?中定義使得滿足寬度潛在主義。

在可數(shù)模型上，寬度完成主義和激進潛在主義是等效的。

最終，我們結(jié)合IMH和#-生成，便得到了滿足激進潛在主義的寬度/高度最大化的形式系統(tǒng)。當然，理論上還能更進一步的增強這些公理。在這里將這些公理命名為H公理，它們展現(xiàn)了玄宇宙?H的最大化性質(zhì)。

強內(nèi)模型假設(shè)(SIMH, Strong IMH)

• SIMH(ω1)?：帶有一個絕對參數(shù)的句子如果在尊重這些參數(shù)的外模型中成立，那么在某個V可定義的內(nèi)模型中也成立。

該公理同樣可以使用PD獲得一致性證明。

全知(Omniscient)

塔斯基真不可定義也可以改寫成以下的定理：

在V中成立的帶參數(shù)句子的集合在V中是不可被一階定義的。

但V的外模型理論，OMT(V)，是可以通過V-邏輯被?V+?定義的。甚至于存在許多V，OMT(V)是在V上是一階可定義的。這樣的V被稱之為全知。

拉姆齊基數(shù)可以給出“?Vκ[G]?是全知的模型”的一致性?！癡是全知的”和#-生成之間配合得相當好。

玄宇宙計劃的可能推論（未被證明一致）

弱#-生成

• 預(yù)-#是一個結(jié)構(gòu)(N, U)，其中U在最大基數(shù)k上測度了N的子集，并且對于任意序數(shù)α，(N, U)的α步超冪迭代依舊是良基的。

• 如果對于超過V的高度的每一個序數(shù)α，表達存在一個生成V的α-可迭代的預(yù)-#的理論?Tα?是一致的，那么V就是弱#-生成的。

雙參數(shù)強內(nèi)模型假設(shè)?SIMH(ω1,ω2)

• 帶有兩個絕對參數(shù)的句子如果在尊重這些參數(shù)的外模型中成立，那么在某個V可定義的內(nèi)模型中也成立。

這個公理直接給出連續(xù)統(tǒng)的否定。

基數(shù)絕對性

• 設(shè)p是V中的一個參數(shù)，P是V中的參數(shù)集。

將p稱之為對P強絕對的，如果存在帶有參數(shù)集P的在V上定義的公式?ψ?，在V的所有#-生成的外模型上的基數(shù)都保持，包括?ψ?中提到的參數(shù)的遺傳基數(shù)。

Definition 16. Let p be a parameter in V and P a set of parameters in V . Then p is strongly absolute relative to P if there is a formula ? with parameters from P that defines p in V and all #-generated outer models of V which preserve cardinals up to and including the hereditary cardinality of the parameters mentioned in ?.
我都不知道有沒有翻譯對。我的工地英語超載了。

基數(shù)最大化?CardMax(κ+)

• κ?是無限基數(shù)。如果序數(shù)?α?對?κ?的子集是強絕對的，那么?α?的基數(shù)最多為?κ?.

可以證明，如果κ是正則基數(shù)，那么就有一個集合力迫，其中?CardMax(κ+)?成立。但對于任意基數(shù)則尚不明確。

M-基數(shù)越軌(M-cardinal Violation)

• 存在一個內(nèi)模型M，對于一切基數(shù)?κ?，?κ+?大于M的?κ+?。

HOD-基數(shù)越軌是一致的。?κ+?在HOD中是不可達的基數(shù)越軌還不能清楚是否一致。

基數(shù)絕對參數(shù)強內(nèi)模型假設(shè)?SIMH(CP),CPSIMH

• 帶有一個基數(shù)絕對參數(shù)的句子如果在基數(shù)絕對外模型中成立，那么在某個V可定義的內(nèi)模型中也成立。

寬度反射原理(WR, Width Reflection)

我們可以仿照#-生成的成功來開發(fā)“寬度不可辨認性”。

• j是可調(diào)和的，如果?j?(Vβ)V0?對于??β:ordinal,β∈V

• 對于任意序數(shù)α，存在非平凡初等嵌入?，j:V0→V，crit(j)<α?并且j是可調(diào)和的

WR相對于拉姆齊基數(shù)的存在性是一致的。WR可以輕易的拓展到任意有限鏈?V0<V1<...<Vn?，但要實現(xiàn)無限鏈是困難的。要實現(xiàn)寬度不可辨認性，我們希望鏈長度達到Ord+1.

總結(jié)陳詞

預(yù)理論寬度完成主義激進潛在主義ERAIMH + 弱#-生成IMH##-生成*SIMH + 弱#-生成*SIMH#弱#-生成*CPSIMH + 弱#-生成*CPSIMH#IMHOmniscient + 弱#-生成Omniscient + #-生成SIMHCPSIMHWROmniscient

帶有*的理論可以證明CH不成立。

理論一致性強度#-生成0# → Con(#-生成)IMH存在一個Woodin并有一個不可達基數(shù)在其之上 → Con(IMH)SIMHPD → Con(SIMH)
SIMH → 一個存在強基數(shù)的內(nèi)模型WR拉姆齊基數(shù) → Con(WR)Omniscient拉姆齊基數(shù) → Con("V_k[G]是全知的")

[5]

玄宇宙計劃是目前依舊活躍的關(guān)于集合論哲學(xué)的研究計劃。通過允許“Ord + 1”之類的對象在理論中被使用，簡單粗暴的解決了高度潛在主義者的需求。而類-IMH公理所提供的外模型性質(zhì)內(nèi)模型化也解決了寬度潛在主義者的需求。寬度完成主義雖然更易被理解，但更難被一致地刻畫出來。最后，本論文探討了基數(shù)最大化的候選公理，以及在脫離HOD猜想的真值下將類-IMH公理一階化的可能性（Omniscient）。

舉一反三

雖然筆記作者并不是很接受這系列論文集合論哲學(xué)說書，但是毫無疑問的基數(shù)最大化和寬度最大化本身是很有研究意義的；IMH本身也非常有趣。

值得注意的是，玄宇宙計劃的主要綱領(lǐng)和類型論哲學(xué)是可以產(chǎn)生對應(yīng)的：

• 數(shù)學(xué)實踐的豐富性：構(gòu)造主義類型論需要死守canonicity，似乎注定了不會過于豐富。但即使不考慮Harvey Friedman's grand conjecture這種東西，“所有證明的規(guī)約都必須有一個絕對的有窮長度的停機的結(jié)果”似乎是一個對于所有數(shù)學(xué)家顯然和必然的要求。

• 數(shù)學(xué)實踐的基礎(chǔ)需求：如前所注，類型論可通達范疇論進而通達布爾巴基，也可通達一切可計算數(shù)學(xué)，一切數(shù)學(xué)的證明自動檢驗（形式化）和整個計算機科學(xué)，構(gòu)造主義類型論在基礎(chǔ)需求上完勝。

• 數(shù)學(xué)的真理論，和數(shù)學(xué)的最大化：對于真理論，構(gòu)造主義類型論自然還是完勝。類型論哲學(xué)不關(guān)心最大化，但我們可以進一步的討論。

1. （獨立性）一個典范的類型論應(yīng)該是一個對?Σ21∪Π21?句子絕對，或者至多?Σ21(R)∪Π21(R)?句子絕對的canonicity理論

這個很容易理解，如果有一個對?Σ31?句子絕對的canonicity理論，就意味著存在一個自然數(shù)理論下的可計算函數(shù)，給出了一個?Σ31?句子的證明，同時又存在另一個自然數(shù)理論下的可計算函數(shù)，給出了這個?Σ31?句子的否證，這相當于給出了無限多個不等價的自然數(shù)理論，這是非常魔怔的（雖然從超冪這種非標準自然數(shù)理論來看很正常）。

之所以可以將?Σ21(a)∪Π21(a)?的 a 設(shè)定為實數(shù)集是因為可計算分析用的就是實數(shù)集；可計算超實數(shù)分析學(xué)不可能位于?P(R)?而至多只能是?R→R?上的可計算函數(shù)的可計算函數(shù)

1. （最大性）一個典范的類型論應(yīng)該包括所有canonicity的反射原理

綜合以上全部：一個典范的類型論，應(yīng)該是一個V=L或者L(R)的canonicity片段，并且包括V=L或者L(R)所容許的全部反射原理?；蛟S還能有些許提升，但決不能超過0#：人類目前已知的絕大多數(shù)超圖靈機，想要在0#之上多走一步都是沒有希望的。

這意味著IMH#，SIMH#，?SIMH?(ω1,ω2)?的canonicity片段很有可能就是我們想要的候選者。

如果不考慮死守canonicity，那么Lean也就是高配的Morse–Kelley set theory，我除了范疇論還沒見過哪一個數(shù)學(xué)細分領(lǐng)域聲稱自己MK集合論不夠用的，因此和集合論哲學(xué)上的結(jié)論也不會有區(qū)別

NF體系版絕對無限=Ω：

結(jié)構(gòu)中提到的Ω是什么?

Ω即“絕對無限”， 何為“絕對無限”?“絕對無限”就是不可達基數(shù)及其之上的大基數(shù)其本質(zhì)都是對絕對無窮的在“寬度”(表現(xiàn)力)上的可見證的逼近和模擬， 所以“絕對無限”自然而然就會擁有所有大基數(shù)的全部性質(zhì)。

如果Ω是存在的，則理應(yīng)是這樣的：

Dedekind的, 不可數(shù)的, 具有濾的形式,具有真類的勢；是世界的，是弱不可達的，強不可達的， Mahlo的， 不可描述的， 不可言喻的， 不可區(qū)分的， Ramsey的；是大基數(shù)，是反射論證的， 可測的， 超可測的， 強大的， 高大的，Woodin的；無限謂詞的， 亞緊致的， 是超大基數(shù), 強緊致的,超緊致的;可擴的, Vopenka的, 是巨基數(shù), 高度跳躍的, 階對階的, Icatus的。

目前未知是否擁有的性質(zhì)：非良基，不可遺傳序數(shù)可定義， 不可選擇， 不一致。在其中，“具有真類的勢”是描述高度的， 其他都是描述寬度的。

相同點：

兩者都是預(yù)設(shè)一個位于集合運算之外仍能無矛盾成立的新基數(shù)， 也就是所謂的不可達性。理所當然的這是一切無窮公理的通用性質(zhì)。

宣告這些新基數(shù)的一致的公理系統(tǒng)T的有限公理片段都存在可數(shù)傳遞模型。naive地解讀， 也就是說如果你有一個有限的Con(T)， 那么你也有。Con(T+Con(T+Con(T+…))。這是Ω的反射原理的弱化形式。任何公理系統(tǒng)里的有限個句子都是絕對的，這還是Ω的反射原理的弱化形式。任何稍強的大基數(shù)都具有反射論證性質(zhì)。 naive 地解讀，就是支持反射論證的大基數(shù)的關(guān)鍵點，在其下方都具有"Ω多個"同樣性質(zhì)的大基數(shù)。

理想的Ω可以 naive 地看作為終極數(shù)學(xué)宇宙（柏拉圖宇宙／馮洛依曼宇宙）-﹣終極 V 的基數(shù)，普通的［公式］則是自然數(shù)集合的基數(shù)，而大基數(shù)就是反射論證非平凡關(guān)鍵點的基數(shù)。反射論證理所當然的還是反射原理的弱化形式。它們都是 V ≠ L 的實例，和 V = L （可構(gòu)造集合宇宙）不相容。

不同點：

Ω曾經(jīng)有兩次直接引入的嘗試，但都不怎么成功（第一次是康托爾，被康托爾悖論＋羅素悖論＋布拉利﹣福爾蒂悖論三連擊敗引發(fā)第三次數(shù)學(xué)危機；第二次是 Berkeley cardinal 伯克利基數(shù)，被選擇公理 AC 排斥）；然而大基數(shù)的引入是相當成功的。

大基數(shù)都居于 V = WF （良基集合宇宙）之內(nèi)，而目前能夠勉強運作的Ω的衍生物都是居于 V ≠ WF （非良基集合宇宙）之上并且是 V = WF 的非保守擴。

不可達基數(shù)及其之上的大基數(shù)有著非常重要的運用，比如取消分球悖論，導(dǎo)出 ZFC 一致性，二階算術(shù)完備，但是Ω卻并沒有發(fā)現(xiàn)存在什么特別的用途。

Ω的衍生物所具有的特異性質(zhì)：伯克利基數(shù)以及在其之上的基數(shù)如果是和 ZF 一致的將會證否 V = HOD 和Ω﹣猜想。并且有可能會引發(fā)第四次數(shù)學(xué)危機推翻第二次數(shù)學(xué)危機以來的成果：沒有選擇公理，實分析就和沒有地基一樣。

如果是樸素意義的作為 V 的基數(shù)的Ω,在新基礎(chǔ)集合論 New Foundations , NF 里面是可以存在的。但是Ω只是"目測"起來很強很大，它在一致性強度和證明論強度看起來可以說并不強，而強大的標準其實是非常哲學(xué)的判斷，沒有唯一定論。非要按照康托爾原來的進路去理解?／全類／真類其實是很欽定的行為，毫無意義。

在 NF 中的Ω，如果你對它施加冪集，得出的結(jié)果反而會比原本的自己要小，也就是［公式］。某種程度來看這是最強的不可達性：任何對Ω的集的重構(gòu)結(jié)論都會低于Ω。

通俗地描述這個過程的話，冪集操作乃至于一切集合運算就好像一個平底鍋，它接住一個兩個一系列集合就會重構(gòu)集合里面的元素并重新冶煉這些集合。

而對于Ω來說，它里面具有大量的集合元素是不能再施加冶煉的（非康托爾式集合）, NF 這個湯鍋就好像一個篩子丟棄這些元素保持 NF 的一致性，然后再冶煉，因此Ω的冪集遠遠不能和Ω相比。如果是一般的集合論比如 ZF ，無法舍棄這些元素，就會陷入越大的基數(shù)會有更大的基數(shù)的怪圈，因此Ω不被這些集合論相容。而這個性質(zhì)剛好也符合我們對Ω的直觀理解。