沃納-海森堡 很多人認為，海森堡測不準原理（不確定性原理）是關(guān)于觀察者通過光子與電子相互作用，從而影響光子的動量的理論。 觀察者必須影響電子的動量（或某些量子狀態(tài)）才能觀察到它，這可能是真的，但這并不是不確定性原理的根本原因！讓我們先定義一下海森堡的不確定性原理。 在量子力學(xué)中，測不準原理（也被稱為海森堡測不準原理）是一種數(shù)學(xué)不等式，對粒子的某些物理量的值（如位置和動量）可以從初始條件預(yù)測的準確性提出一個基本的限制?！?維基百科 一個常見的表述方式是，在任何給定的時間點，你無法同時準確測量一個粒子的動量和位置。這種不確定性并不取決于測量設(shè)備或環(huán)境。不管我們做得多好，我們都不可能知道這兩個量的確切值。 首先，存在著多種不確定性原理，其中許多在宏觀世界中體現(xiàn)。事實上，你無時無刻不在遇到這些，只是你沒有意識到它們。 其次，海森堡的不確定性原理背后的根本原因與量子物理學(xué)無關(guān)，而是與數(shù)學(xué)有關(guān)。 所有這些原理背后的真正原因是某個數(shù)學(xué)事實，所有的波（共軛變量）都必須服從，包括物質(zhì)（我們稍后會討論這個問題）。雷達技術(shù)、能量和光也有必須遵守的 "不確定性原則"，正如我們很快會看到的，這一切本質(zhì)上與物理學(xué)無關(guān)。 波 最終，這一切都歸結(jié)為非常簡單的事情。所有類型的信號或函數(shù)，無論多么復(fù)雜，實際上都是正弦波的疊加。這是一種波長和振幅都很明確的純波。 疊加只是意味著所有的波相互作用，然后所有的波的總和（稱為干涉）就是構(gòu)成更復(fù)雜信號的疊加。 也就是說，我們可以把一個函數(shù)分解成構(gòu)成它的更簡單的組成成分（純波）。這幾乎就是傅里葉級數(shù)和傅里葉變換所做的事情，只不過這個過程不僅僅是對周期性函數(shù)而言的。 這種效果在音樂中是顯而易見的，例如吉他聲中帶著泛音，與主波（被撥動的弦的頻率）相互干擾。因此，吉他的聲音（和任何其他樂器）是由不同頻率和振幅的純正弦波組成的。 當我們描述這樣一個復(fù)雜的信號時，我們可以選擇兩種相等的方式來表示它。我們可以選擇用一個時間軸來描述所有產(chǎn)生干涉圖樣的波是如何同時相互作用的，或者我們可以選擇用構(gòu)成它的純波的頻率來描述它。這兩種方式被稱為雙重關(guān)系。如果有一個數(shù)學(xué)工具來描述時間上的信號和頻率上的信號之間的這種雙重關(guān)系，那會非常有幫助。確實有這樣的數(shù)學(xué)工具。 傅里葉變換 我上面提到的描述這種雙重關(guān)系的工具，叫做傅里葉變換。毫無疑問，它是所有數(shù)學(xué)中最強大和最常用的工具之一。 首先，我們需要了解一些關(guān)于這種變換的一般情況。傅里葉變換是一個積分變換（也就是一個算子），它接收一個函數(shù)并返回另一個函數(shù)。 作為一個函數(shù)空間的算子，我們可以把它看作是一個純數(shù)學(xué)的東西，然而，它有一個很好的物理解釋，可以在兩種情況下使用。我們將主要從物理學(xué)的角度來考慮它。但當然，它本質(zhì)上是純數(shù)學(xué)的。 在下文中，我們將始終假設(shè)積分是收斂的。 假設(shè)： 是一個可積分函數(shù)。f的傅里葉變換是由以下積分給出的： 如果f表示聲波作為時間的函數(shù)，那么傅里葉變換表示構(gòu)成聲波的頻率，因此f是頻率的函數(shù)。 下面是一個GIF，顯示了一個聲波（本例中是一個單位脈沖）是如何由許多純正弦波組成的，從而產(chǎn)生了sinc函數(shù)，即sin(πs)/πs。 理解一個信號總是有這兩種等價的表達方式是非常重要的。它們是等價的，因為給定其中一個，另一個是唯一確定的。唯一的傅里葉逆變換是： 傅里葉變換的特性 在提到傅里葉變換時，我們不能不說明和證明它的一些驚人的特性。首先是關(guān)于平移的。假設(shè)h（t）=f（t+a）。通過變量的改變，我們有： 因此，時間的變化（信號的延遲），對應(yīng)于頻率的相移。那么縮放呢..？假設(shè)h（t）=f（at）。我們把這種情況分成a<0和a>0。 注意，所用的變量變化是u = at。讓我們看看當a<0時的情況。 數(shù)值只在函數(shù)外的a上取。所有這些都可以用一個表達式來說明： 它的物理解釋是什么？ 傅里葉變換的縮放特性意味著，如果我們在時間上壓縮信號，那么就相當于在頻率上擴大信號（水平方向），反之亦然。 這一特性是非常重要的。 通過量綱分析，我們可以進一步理解。時間以秒為單位，單位是s，頻率以秒的倒數(shù)為單位，單位是1/s。如果把時間延展，頻率就會減少，反之亦然。 如果你想知道頻率的輸出單位是從哪里來的，那么這很好理解。傅里葉變換中的s最終決定了構(gòu)成信號的純波的周期，你可以通過使用歐拉公式將復(fù)指數(shù)擴展為正弦和余弦，或者將傅里葉變換看作一組連續(xù)的傅里葉系數(shù)來感受一下。 讀者可能已經(jīng)知道一個更實用的特性是，傅里葉變換將導(dǎo)數(shù)轉(zhuǎn)換為常數(shù)的乘積。這意味著一個空間的微分方程對應(yīng)于另一個空間的代數(shù)方程。 波函數(shù)和海森堡的不確定性原理 量子物理學(xué)家描述一個量子系統(tǒng)（例如一個粒子）的方式是通過可能的量子狀態(tài)。對此進行建模的函數(shù)家族被稱為波函數(shù)。比方說，位置的波函數(shù)的大小的平方給出了與粒子有關(guān)的概率分布。 因此，我們可以把波函數(shù)解釋為產(chǎn)生一個概率波，告訴我們一個粒子在一個特定空間區(qū)域的概率。因此，描述粒子位置的波函數(shù)可以被看作是空間的波，而不是時間的波。 當我們對這個位置波（位置的波函數(shù)）進行傅里葉變換時，會得到一個空間頻率波，而這個空間頻率波就是粒子的動量的波函數(shù)。 如果你想一想，這其實并不令人驚訝，因為如果你認為光是一個波包或物質(zhì)波，那么動量是由光的頻率給出的。 特別是，我們有γ=h/p和f=E/h來顯示這種關(guān)系。這里γ是波長，h是普朗克常數(shù)，p是動量，f是頻率，E是能量。 我們越是確定一個給定的粒子是在一個小范圍內(nèi)，位置的波函數(shù)越局限(水平壓縮)。由于動量的波函數(shù)是位置波函數(shù)的傅里葉變換，動量波函數(shù)將被水平拉長，這意味著動量將有更大的不確定性。這是由于上述傅里葉變換的縮放特性造成的。 這就是海森堡的不確定性原理。 它只是傅里葉變換的作用。 它指出： 其中h是普朗克常數(shù)，Δx和Δp分別是位置和動量的不確定性。 廣義的不確定性 當一個函數(shù)g是函數(shù)f的傅里葉變換時，我們稱f和g為共軛變量或共軛對。對于任何一對共軛函數(shù)，都有一個不確定性原理。 海森堡的不確定性原理只是共軛變量這一更廣泛和更深刻現(xiàn)象的一個特例。 為什么共軛變量的不確定性原理應(yīng)該成立（從數(shù)學(xué)的角度來看）？原因是這樣的：短信號，如突發(fā)的聲音脈沖，需要許多波來保持振幅在某個間隔之外為零。相反地，當純波貫穿整個空間時，信號越像正弦，描述信號所需的頻率就越少。 當聽到一陣短促的聲音時，你將很難確定它所包含的頻率，但如果你聽到一些純信號長時間響起，你就能夠?qū)⒉煌念l率區(qū)分開來。這也是不確定性原理。 同樣，我們對一個雷達目標的距離知道得越多，我們就越不能知道準確的接近或遠離速度，反之亦然。這就是多普勒和范圍的不確定性。 另一對共軛變量是能量和時間。因此，對于能量和時間的同時測量，有另一種形式的海森堡不確定性原理。描述這種關(guān)系的不等式類似于經(jīng)典的不確定性原理： 還有許多其他共軛變量，因此也有許多不確定性原理，但它們都有一個共同點，那就是其基本規(guī)律本身不是物理性的，而是數(shù)學(xué)性的。 波的數(shù)學(xué)只是限制了我們能從任何量子系統(tǒng)中檢索到的信息量。 海森堡不確定性原理的影響是真實的 如果你拿一個激光器指向一個小狹縫，使部分光線被阻擋，但部分光線通過，那么就會出現(xiàn)一個驚人的現(xiàn)象。 光線在狹縫后面的墻上散開，如果讓狹縫變窄，那么散開的范圍就會變大。這似乎違背了直覺。這是因為海森堡的不確定性原理。當我們使狹縫越來越窄時，我們迫使位置波（波函數(shù)）越來越局部化（狹窄），根據(jù)不確定性原理，動量波函數(shù)變得越來越寬，使越來越多的方向成為可能。 由于動量是一個有方向的矢量，這意味著光子被允許在狹縫的另一側(cè)移動的角度變得越來越大，在墻上形成了美麗的散射。 不確定性也可以解釋為什么太陽會發(fā)光，甚至解釋為什么霍金輻射的時空現(xiàn)象會縮小黑洞。不確定性是一種純粹的數(shù)學(xué)現(xiàn)象，但由于量子系統(tǒng)實現(xiàn)了其中的一些數(shù)學(xué)理論，不確定性也是一種物理原理。