? ? Heise method是一種相對小眾但效率很高的魔方解法，它能在不借助任何公式、不嘗試多種可能的情況下，平均在40步內(nèi)復(fù)原三階魔方（語出Sebastiano Tronto，F(xiàn)ewest Moves Tutorial），其思路對于魔方最少步項目（Fewest?Moves?Challenge，F(xiàn)MC）特別有借鑒意義，同時也發(fā)展出了可應(yīng)用于速擰的Speed-Heise公式集（作者Matt DiPalma，詳見https://www.speedsolving.com/wiki/index.php/Speed-Heise）。

? ? Heise method作者Ryan Heise的網(wǎng)站（https://www.ryanheise.com/cube）有該法詳細文字教程和一些魔方知識（包括轉(zhuǎn)換機、筑塊、降群原理等），以及諸多動圖（是虛擬魔方播放器，不是gif動圖，但本文只能用gif形式截取，因此墻裂建議訪問原站，體驗更佳）。目前Heise method中文資料較少，網(wǎng)頁機翻又詞不達意，于是我一面學習，一面便想斗膽做一些翻譯和整理。

? ? 本系列專欄中，我將意譯Heise method（下稱“Heise法”）教程全文，同時夾帶私貨（算是學習筆記，會用藍字標注出來的XD）。水平有限，還望魔友們多多指教～

? ? 本節(jié)將介紹一些基本的魔方理論（觸及魔方的數(shù)學本質(zhì)了）。理解一些魔方的基本性質(zhì)將幫你判斷哪些操作是可行的，哪些是不可能的，并協(xié)助你找出“更優(yōu)雅的”魔方復(fù)原方法。

? ? 1. 基本定義（Basic definitions）：了解三階魔方的結(jié)構(gòu)、Orientation和Permutation

? ? 2. 魔方的法則（Laws of the cube）：了解什么是“合法的”操作及其限制

? ? 3. 對稱關(guān)系（Symmetry）：一些看似不同的情形有著相同的本質(zhì)

? ? 4. 群論（Group theory）：熟悉魔方的若干子群（Subgroup）及其性質(zhì)

? ? 5. 循環(huán)（Cycles）：了解循環(huán)及其應(yīng)用

? ? 6. 奇偶性（Parity）：了解奇偶性/奇偶校驗，以及它可能導致的問題

為保證原教程邏輯暢通同時控制篇幅，本節(jié)先講邏輯聯(lián)系最緊密的第1、2、4點。Enjoy～

1. 基本定義Basic definitions

? ? 把三階魔方拆了（不拆魔方，亦可練功），你會發(fā)現(xiàn)它由21個部件組成：

? ? ◆12個棱塊，每塊有2個顏色

? ? ◆8個角塊；每塊有3個顏色

? ? ◆1個中軸，有6個面（所以6個面6個中心顏色的相對位置是不可改變的，這與偶數(shù)階魔方不同）。

下面請看這兩個單詞：

Orientation（n.）目標，定位；方向，朝向；（基本的）態(tài)度，傾向；（崗前、學前、課前等的）情況介紹，培訓；適應(yīng)，熟悉

Permutation（n.）[數(shù)] 排列；[數(shù)] 置換（摘自dict.youdao.com）

? ? ◆Orientation在魔方中指色塊的朝向，也指把色向調(diào)整正確的過程（俗稱O，就是OLL的O）。例如下圖中白色中心塊所在面，只有一個角塊白色朝上，其他三個角塊的色向是錯誤的。使用經(jīng)典的7步“小魚公式”可將色向朝整正確。

? ? ◆Permutation在魔方中指色塊位置的排列，也指把位置調(diào)整正確的過程（俗稱P，就是PLL的P，有時也簡稱Perm）。Permutation不一定要考慮色向，例如下圖過程只調(diào)整正確了三個角塊的位置（進行Corner Permutaion，CP），但它們色向不正確（沒有Corner Orientation，CO）。

? ? PS：下文“群論”中，Permutation同時包含色向和位置信息（為了和這里的Permutation區(qū)分，我稱之為狹義Permutaion）。

鑒于Orientation和Permutation兩個術(shù)語在魔方領(lǐng)域流傳甚廣、意義復(fù)雜，為了表達的準確和簡明，一些句子中我將保留這兩個英文單詞不作翻譯。還請讀者記住這兩個單詞。

2. 魔方的法則Laws of the cube

先了解一下UP主「魔方達人夏天」這波操作的含金量！「BV17M411V7Nz」

為什么在這里放這個呢？請看下文——

? ? 一個有趣的事實是，如果你把三階魔方拆散后隨機組裝，能正常復(fù)原的概率只有1/12（正常復(fù)原，是指只通過“合法的”轉(zhuǎn)動復(fù)原，即不把魔方再次拆開）。為什么呢？

（1）合法轉(zhuǎn)動只能實現(xiàn)1/2的Permutation（這里不考慮Orientation）

? ? 事實證明，面對一個打亂的魔方，每次只拆兩個棱塊或兩個角塊下來，對換位置裝上，直至魔方復(fù)原，一個合法狀態(tài)的打亂一定會在偶數(shù)次“兩兩對換”后復(fù)原，而不可能是奇數(shù)次“兩兩對換”（若把偶數(shù)次的和奇數(shù)次的視作兩個集合，這兩個集合互為補集）。

? ? 為什么呢？且看下方例子，想象下圖是三階魔方的某個面，它順時針轉(zhuǎn)動了90度：

? ? 如果通過兩兩拆裝對換的方式，從左邊狀態(tài)到右邊狀態(tài)等價于6次對換（角1-角4，角1-角3，角1-角2；棱塊同樣有3次，共6次，是偶數(shù)）。

? ? 因此每一次轉(zhuǎn)動都相當于發(fā)生偶數(shù)次對換，而不斷打亂就是偶數(shù)的疊加，仍是偶數(shù)。

? ? 一個拆散后隨機組裝的魔方，有偶數(shù)次或奇數(shù)次對換的可能性各半，因此說合法轉(zhuǎn)動只能實現(xiàn)1/2的Permutation。

（2）合法轉(zhuǎn)動只能實現(xiàn)1/2的EO（Edge Orientation）

? ? 事實同樣證明，一次合法轉(zhuǎn)動一定會改變偶數(shù)個棱塊的色向；如果魔方上存在色向錯誤的棱塊，錯誤的個數(shù)一定是偶數(shù)。上圖的情況顯然絕無可能通過合法轉(zhuǎn)動復(fù)原。

? ? 但如何判斷一個棱塊色向正確與否？一個最常見的框架是這樣：如果一個Permutation錯誤的棱塊只通過L、R、U、D層的轉(zhuǎn)動即可回到正確位置，那么這個棱塊的色向就是正確的。在此框架下，L、R、U、D層的轉(zhuǎn)動影響0個棱塊的色向，而F、B層每次轉(zhuǎn)動都影響4個棱塊的色向。0和4都是偶數(shù)，因此合法轉(zhuǎn)動不可能影響奇數(shù)個棱塊的色向（拿起手邊的魔方，只使用L、R、U、D單層轉(zhuǎn)動打亂它，看看會發(fā)生什么？）。

淺淺引入一下“顏色分級”的概念。如果保持白頂綠前坐標，規(guī)定U、D面為“高級面”，白色和黃色為“高級色”；F、B面為“中級面”，綠色和藍色為“中級色”；L、R面為“低級面”，紅色和橙色為“低級色”。

對于只使用L、R、U、D層轉(zhuǎn)動打亂的魔方，可以發(fā)現(xiàn)：每個棱塊上都符合“較高級面上的顏色比較低級面上的顏色等級更高”，也就是說U、D面不可能出現(xiàn)紅色、橙色，L、R面不可能出現(xiàn)白色、黃色……

讀完后文的“群論”再來看這一段，會更有體會。

（3）合法轉(zhuǎn)動只能實現(xiàn)1/3的CO（Corner Orientation）

? ? 至于角塊，每個角塊有三個面，也就是三個可能的色向，解釋起來會比棱塊稍難。讓我們給角塊的三個色向賦值：正確色向為“0”，相對于正確色向原地順時針翻轉(zhuǎn)一下為“1”，相對于正確色向原地順時針翻轉(zhuǎn)兩下（即逆時針翻轉(zhuǎn)一下）為“2”。事實證明，合法轉(zhuǎn)動引起角塊色向值變化量的總和一定是3的整數(shù)倍。上圖中發(fā)生的色向值變化量為1，不能被3整除。

? ? 角塊色向的框架是這樣的：規(guī)定每個角塊帶有頂面或底面顏色的一面朝向頂面或底面時，該角塊色向正確（簡單說就是，假如固定魔方坐標，白色為頂、黃色為底，那么一個角塊上的白色或黃色貼紙只要朝向頂面或底面，這個角塊的色向便是正確的；再看上圖“不可能”的情況，白色貼紙相對于正確位置進行了一次順時針翻轉(zhuǎn)，所以它的色向值為“1”）。這個框架下，轉(zhuǎn)動U、B層不影響角塊色向，色向值變化量為0；而L、R、F、B層每進行一次90度轉(zhuǎn)動就會影響4個角塊的色向，其中2個角塊由“0”變?yōu)椤?”，2個角塊由“0”變?yōu)椤?”，其余4個角塊保持“0”色向，總和就是1+1+2+2+0*4=6，6是3的整數(shù)倍。

為什么角塊色向值變化量一定是3的整數(shù)倍而不是6的整數(shù)倍呢？可以想想層先法頂層十字完成后，調(diào)整頂層角塊色向時可能遇到的7種case，其中Sune的色向值變化量不就是3么？

? ? 綜上所述，如果魔方是拆開隨機重裝的，只有1/12（1/2 * 1/2 * 1/3）的狀態(tài)可通過合法轉(zhuǎn)動實現(xiàn)。

再回去看UP主夏天的騷操作，其實是將兩個棱塊拆下來對換了。

4. 群論Group theory

? ? 魔方的數(shù)學本質(zhì)上可用“群”的概念來理解和描述。一個群由許多元素組成，對魔方而言，一個Permutation就是一個元素（這里的Permutation包含了Orientation概念，為和上文區(qū)分，我稱之為“狹義Permutation”；所以魔方的所有4.3×10^19種狀態(tài)都是互異的元素）。群具有以下性質(zhì)：

? ? ①封閉性（Closure）：一個群中有兩個Permutation，分別是P1和P2，那么P1?P2（做完P(guān)1后接著做P2）所得結(jié)果仍在同一個群中（數(shù)學語言：對任意a,b∈G，有a?b∈G）。

? ? ②結(jié)合律（Associativity）：P1?（P2?P3）與（P1?P2）?P3結(jié)果相同（數(shù)學語言：對任意a,b,c∈G，有a? (b?c) =(a?b) ?c）。

? ? ③存在單位元（Identity）：一個群中必存在一個元素是魔方的復(fù)原狀態(tài)（數(shù)學語言：存在元素e∈G，使得對任意a∈G，有a?e=e?a=a；這里的e指單位元，即魔方復(fù)原狀態(tài)）。

? ? ④存在逆元（Inverse）：一個Permutation的逆序也在同一個群里（可理解為某情況的逆打亂；數(shù)學語言：對任意a∈G，存在a^(-1)∈G，使得a?a^(-1)=a^(-1)?a=e）。

? ? 對魔友們而言，最有趣的性質(zhì)大概是封閉性，它意味著如果只選擇一個子群中的操作，魔方就會保持在這個子群的狀態(tài)中。

下面是兩個在各種魔方解法中都比較常見的子群：

◆#1 <U D R2 L2 F2 B2>

? ? 假如有一個這樣生成的群：U、D層允許90度和180度轉(zhuǎn)動，其他層只允許180度轉(zhuǎn)動。如果你根據(jù)這個限制條件打亂魔方，魔方的白色和黃色貼紙一定會保持朝上或朝下，中層棱塊也會保持色向正確（相當于2*3*3多米諾魔方的轉(zhuǎn)動方式）。

? ? 其實這個狀態(tài)正是“多米諾降群法”（Domino Reduction，DR）第一步的結(jié)果。多米諾降群法是常用于最少步數(shù)解的一種方法，也就是把完全打亂的魔方<U D R L F B>（即“亂群”：在絕對坐標系下，魔方按照任意步驟打亂后，魔方塊產(chǎn)生變化的位置的集合——引自UP主天方魔「BV1oA411f7nD」）進行一步“降群”，變成側(cè)面只轉(zhuǎn)180度即可復(fù)原的狀態(tài)<U D R2 L2 F2 B2>。

◆#2 <U D R L F2 B2>

? ? Heise法中利用到的一個有趣的群是通過限制F、B層只允許180度轉(zhuǎn)動生成的，這個群符合上文“魔方的法則”中的棱塊色向框架（ZZ法和盲擰四步法也都用這個群限定棱塊色向）。

再次劇透一下，Heise法流程大致是完成F2L-1——差一個空槽完成的前兩層——并調(diào)整棱塊色向，再復(fù)原余下部分。在調(diào)整色向之后，只要限制F、B層只進行180度轉(zhuǎn)動，就能很容易地保持棱塊色向不受破壞。

Ryan Heise在2002年曾研究過把計算機解魔方算法“降群法”移植為人工操作的方法，即Human Thistlethwaite Algorithm（詳見https://www.ryanheise.com/cube/solutions.html）。詳見本文集【番外篇】～

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