前置內(nèi)容

1)設(shè)輸入信號函數(shù)為f(t)，系統(tǒng)的沖激響應(yīng)為g(t)，則系統(tǒng)輸出y(t)為f(t)與g(t)卷積。即：

? ? ? ? 因為卷積過程過于痛苦，所以一般使用拉普拉斯變換計算，即：

? ? ? ? 可以看到輸入信號f(t)與系統(tǒng)沖激響應(yīng)g(t)的卷積，等于輸入信號的拉普拉斯變換F(s)與系統(tǒng)的傳遞函數(shù)G(s)的乘積。即化卷積為乘積，簡化了運算過程。

2)兩個系統(tǒng)G和H串聯(lián)時，輸出y(t)為輸入f(t)經(jīng)過兩個系統(tǒng)的卷積，根據(jù)(1)可得輸出的拉普拉斯變換Y(s)為輸入F(s)與兩個系統(tǒng)的傳遞函數(shù)G(s)和H(s)的乘積，所以系統(tǒng)串聯(lián)傳遞函數(shù)為G(s)H(s)，即：

3)因為線性時不變系統(tǒng)滿足疊加定理，所以兩個系統(tǒng)G和H并聯(lián)時，輸出y(t)為兩個系統(tǒng)的輸出和，復(fù)頻域上同理，輸出Y(s)為兩個系統(tǒng)的傳遞函數(shù)G(s)和H(s)的和，所以系統(tǒng)并聯(lián)傳遞函數(shù)為G(s)+H(s)，即：

開環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)(Open Loop Transfer Function)

? ? ? ? 開環(huán)系統(tǒng)的輸出與輸入有關(guān)，但輸入與輸出無關(guān)，因為沒有反饋。設(shè)輸入為R(s)，系統(tǒng)傳遞函數(shù)為G(s)，則輸出Y(s)=R(s)G(s)。

閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)(Close Loop Transfer Function)

? ? ? ? 當(dāng)輸出回饋到輸入時，系統(tǒng)成為了閉環(huán)系統(tǒng)。如圖6所示：

? ? ? ? 其中G(s)一般為系統(tǒng)本征傳遞函數(shù)（被控對象），H(s)為反饋系統(tǒng)傳遞函數(shù)（一般為傳感器），C(s)為控制系統(tǒng)傳遞函數(shù)（控制器Controller）。R(s)為控制參考輸入（Reference），D(s)為外界干擾輸入（Disturbance）。Y(s)為輸出。現(xiàn)求其傳遞函數(shù)：

PS：E(s)為誤差（Error），為參考減去反饋的差值。

? ? ? ? 可以發(fā)現(xiàn)不同輸入的閉環(huán)系統(tǒng)傳遞函數(shù)是不一樣的。對于控制參考輸入R(s)，其傳遞函數(shù)為GC/(1+GCH)；對于外界干擾輸入D(s)，其傳遞函數(shù)為G/(1+GCH)。其輸出響應(yīng)框圖用下圖表示為：

? ? ? ? 在忽略干擾輸入D(s)的情況下，一些教材會系統(tǒng)G和系統(tǒng)C會合并成一個系統(tǒng)G，此時傳遞函數(shù)簡化為G/(1+GH)；一些教材會把H默認為1，而把C寫作H，于是其傳遞函數(shù)變?yōu)镚H/(1+GH)。

? ? ? ? 系統(tǒng)控制目標(biāo)為，讓輸出Y(s)達到并跟蹤輸入R(s)，且不受干擾D(s)的影響。系統(tǒng)G為被控對象，其函數(shù)往往與現(xiàn)實物理過程相關(guān)，而系統(tǒng)H和C是人為設(shè)計的。通過設(shè)計H和C來控制G使得完成控制目標(biāo)。

? ? ? ? 除了關(guān)注輸出Y(s)，其誤差E(s)（Error）也是值得關(guān)注的，它為參考值減去反饋的值，也就是控制系統(tǒng)C的輸入，其表達式為：

? ? ? ? 一般情況下我們希望輸出Y(s)達到并跟蹤R(s)，也就意味著誤差E(s)=0。令E(s)=0有兩種手段：

? ?????I：令分子等于零，即R(s)-GHD(s)=0；

? ? ? ?II：令分母等于無窮大，即1+GCH=∞。

???????手段I有個問題在于，R(s)和D(s)一般是不可控的。因為R(s)和D(s)為系統(tǒng)的輸入，不屬于系統(tǒng)控制范圍，除非R(s)=D(s)=0這種特殊情況，一般情況下分子是無法等于0的。而手段II中G、C、H都屬于系統(tǒng)函數(shù)，特別是系統(tǒng)C、H都是人為設(shè)計的。所以可以使得1+GCH的值非常大以消除誤差。

閉環(huán)系統(tǒng)的開環(huán)（環(huán)路）傳遞函數(shù)(Loop Transfer Function)

? ? ? ? 觀察前文可以發(fā)現(xiàn)，不管是R(s)輸入還是D(s)輸入的閉環(huán)傳遞函數(shù)，亦或者誤差E(s)的表達式，其分母均為1+GCH。這個式子極為重要，因為方程1+GCH=0為閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程，它的根為閉環(huán)系統(tǒng)的極點，所以它代表著整個閉環(huán)系統(tǒng)的響應(yīng)特性。但由于特征方程極難求解（在沒有計算機的年代），所以工程師們一般關(guān)注的是開環(huán)傳遞函數(shù)（或者叫環(huán)路傳遞函數(shù)），即GCH。實際上，當(dāng)把閉環(huán)系統(tǒng)的反饋通路切斷時，其反饋輸出就是GCH，如圖10所示：

PS1：這里以輸入R(s)為例。若以輸入D(s)為例，其切斷位置為系統(tǒng)C的輸出端（加法器前），開環(huán)傳遞函數(shù)不變。

PS2：從圖可以知道，其開環(huán)輸出是指輸入繞著環(huán)跑了一圈回到起點的輸出，重點在“環(huán)”，其英文為“Loop”；而“開”表示的是切斷回路，但英文的“Open”并無此意；“Open Loop”代表的是純無反饋的開環(huán)系統(tǒng)。所以開環(huán)系統(tǒng)=Open Loop=G；閉環(huán)系統(tǒng)=Close Loop=GC/(1+GCH)；閉環(huán)系統(tǒng)的開環(huán)=Loop=GCH。

? ? ? ? 在閉環(huán)系統(tǒng)中，開環(huán)傳遞函數(shù)沒有具體的物理意義，因為實際操作中也不會切斷反饋回路。但是開環(huán)傳遞函數(shù)比閉環(huán)傳遞函數(shù)好算，并且可以通過開環(huán)傳遞函數(shù)的性質(zhì)推測出閉環(huán)傳遞函數(shù)的一些性質(zhì)。在沒有計算機的年代，就有科學(xué)家建立起這個溝通橋梁，如伊文思(w.R.Evans)的根軌跡法，奈奎斯特(Nyquist)穩(wěn)定判據(jù)。

閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)輸出估算

? ? ? ? 前文已經(jīng)知道閉環(huán)系統(tǒng)的輸出Y(s)=GC/(1+GCH)*R(s)+G/(1+GCH)*D(s)，現(xiàn)在對其表達式進行以下處理：

? ? ? ? 此處用T代表開環(huán)傳遞函數(shù)T=GCH。同理，對于誤差E(s)，也可將其表達式轉(zhuǎn)為另一種形式：

? ? ? ? 當(dāng)滿足以下條件時，可以估算系統(tǒng)的輸出Y(s)：

? ? ? ? I、閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定，所有閉環(huán)極點均位于s平面的左半平面；

? ? ? ? II、輸入R(s)、D(s)為有界正/余弦波時；

? ? ? ? III、系統(tǒng)已經(jīng)過足夠長時間達到穩(wěn)態(tài)。

? ? ? ? 因為任何周期信號均可以用傅里葉變換拆解成無數(shù)個正/余弦波疊加（包括直流常數(shù)，為頻率=0的余弦波cos(0t)），所以此分析基本涵蓋了系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。

? ? ? ? 繪制開環(huán)傳遞函數(shù)T的幅值伯德圖(Magnitude Bode Plot)，一般情況下，可以發(fā)現(xiàn)在低頻區(qū)|T|的值非常大，而高頻區(qū)|T|的值非常小。隨著頻率從低頻區(qū)到高頻區(qū)逐漸增大，|T|的值逐漸減小，最終穿過0dB軸（|T|=1），其對應(yīng)的頻率為截止頻率。于是可以粗略地估算低于截止頻率和高于截止頻率的輸出Y(s)。

PS：|T|也叫做開環(huán)增益/開環(huán)放大倍數(shù)/Loop Gain。

? ? ? ? 低于截止頻率時|T|的值很大，當(dāng)|T|>20dB（>10）時，式T/(1+T)可以近似等于1；高于截止頻率時|T|的值很小，當(dāng)|T|<-20dB（<0.1）時，式T/(1+T)可以近似等于T。于是可以得出閉環(huán)系統(tǒng)的近似穩(wěn)態(tài)輸出Y(s)而近似穩(wěn)態(tài)誤差E(s)，如圖13、14所示：

? ? ? ? 通過上圖可以得出以下結(jié)論：

? ? ? ? I、當(dāng)輸入R(s)的頻率小于截止頻率時，輸出Y(s)僅與系統(tǒng)H（一般為傳感器）有關(guān)，若H=1，則可以認為Y(s)=R(s)。

? ? ? ? II、當(dāng)輸入R(s)的頻率較低時，穩(wěn)態(tài)誤差E(s)為|T|的倒數(shù)。也就是說開環(huán)增益越大，誤差越小。當(dāng)開環(huán)增益足夠大時，可以近似認為誤差為零。例如我曾經(jīng)做過一個輸出36V的開關(guān)電源[1]，直流開環(huán)增益|T|達到了120dB（1000000），意味著誤差為36/1000000V。實際測試中精度0.001V的儀器都測不到輸出偏差。

? ? ? ? III、當(dāng)輸入R(s)的頻率高于截止頻率時，由于GC的值很小了，所以輸出約等于零。誤差就等于輸入本身了。因此可以得出，閉環(huán)系統(tǒng)的輸出基本能達到并跟蹤截止頻率以下的控制參考輸入，但高于截止頻率的控制參考輸入則無響應(yīng)。

? ? ? ? IV、對于低頻的外界擾動輸入D(s)（比如重力），其導(dǎo)致的誤差E(s)與系統(tǒng)C有關(guān)。若想誤差為零，則需要C的值非常大（一般由積分器實現(xiàn)）。當(dāng)C非常大時，就可以認為擾動導(dǎo)致的輸出Y(s)等于零了。

? ? ? ? V、對于高頻的外界擾動輸入D(s)（白噪聲，自然界有的是），其輸出Y(s)僅與被控系統(tǒng)本征函數(shù)G有關(guān)。一般來說系統(tǒng)G與自然界的物理過程相關(guān)，絕大多數(shù)自然物理過程對高頻是不敏感的，所以可以認為高頻下G的值非常小，全靠G來屏蔽擾動輸入。

附：[1]--https://t.bilibili.com/499488800854365924

? ? ? ? 所以在設(shè)計閉環(huán)系統(tǒng)時對不同的輸入情況，采取如圖15所示策略：

? ? ? ? 注意，這里策略只是一個定性參考，一般是設(shè)計好后反向校驗的，具體設(shè)計值按照具體問題具體分析。同時提醒G、C、H是函數(shù)，不是常數(shù)，我只是省略了后面的“(s)”。讓C等于超級大的常數(shù)來屏蔽D(s)系統(tǒng)基本會出問題。在以后的專欄中我會給出詳細設(shè)計過程（如果有的話），本文先當(dāng)個基礎(chǔ)的認識。（完）

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by HD-nuke8800

2022/4/24