第二周的課。依舊是上課時(shí)間的順手記錄。

# 筆記全部采用自然單位制和愛因斯坦求和約定。

經(jīng)典場(chǎng)論

* 在量子場(chǎng)論中，拉氏量比哈密頓量具有更重要的地位，場(chǎng)論中要求它是Lorentz不變的。作用量：

那個(gè)長(zhǎng)得比較花的 L 是拉氏量密度。

所謂場(chǎng)論，回憶一下上回筆記提到的一維弦，由于他有無(wú)窮多自由度（每個(gè)點(diǎn)都能動(dòng)），就需要利用“場(chǎng)” Φ(x) 來(lái)描述。在經(jīng)典一維弦中，Φ是x位置的位移。QFT中這個(gè)場(chǎng)當(dāng)然代表了更多含義。

回顧一下洛倫茲變換

洛倫茲變換：

那個(gè)大Lambda是洛倫茲矩陣，由3個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)參數(shù) θx,θy,θz 和 快度參數(shù) βx，βy，βz 決定。

另外這里的β和普物里面常用的β=v/c不太一樣，其定義是

所有的洛倫茲矩陣構(gòu)成洛倫茲群，這個(gè)群是保4維(+,-,-,-)內(nèi)積的群

洛倫茲變換有性質(zhì)：

場(chǎng)被按照洛倫茲變換的行為可以分類：

標(biāo)量場(chǎng)、矢量場(chǎng)、張量場(chǎng)、旋量場(chǎng) (Dirac場(chǎng))?

標(biāo)量場(chǎng)的行為類似洛倫茲標(biāo)量：

矢量場(chǎng)：

張量場(chǎng)：

這里主要討論的是定域場(chǎng)論，非定域的很難保證洛倫茲不變。拉格朗日量是拉氏量密度在時(shí)間、空角的積分。

類似經(jīng)典力學(xué)中拉氏量只是廣義坐標(biāo)、廣義速度的函數(shù)，場(chǎng)論中拉氏量應(yīng)當(dāng)是場(chǎng)及場(chǎng)的微分的函數(shù)：

推一下場(chǎng)論的歐拉-拉格朗日方程，類似理論力學(xué)里面對(duì)作用量S變分的操作，

經(jīng)過(guò)一系列很神奇的操作，可以得到場(chǎng)論里的Euler-Lagrange方程：

另外，場(chǎng)的正則動(dòng)量密度：

場(chǎng)的哈密頓量：

最簡(jiǎn)單的 Klein-Gordon 拉氏量：

兩項(xiàng)分別是動(dòng)能項(xiàng)和場(chǎng)的質(zhì)量項(xiàng)，暫時(shí)沒有加入相互作用。

這是自由場(chǎng)論，量子化后會(huì)變成無(wú)窮個(gè)互不相干的諧振子，沒有動(dòng)力學(xué)、沒有相互作用。

向歐拉-拉格朗日方程中代入前面的K-G拉氏量，不難推導(dǎo)

這正是 Klein-Gordon 方程。

（不過(guò)這和上一次筆記提到的KG方程僅是形式一樣，而物理含義有所不同，本篇筆記中我們到目前為止還未引入量子化。）

對(duì)稱性和守恒律

*前面提到洛倫茲變換，有6個(gè)自由度。可以再加一個(gè)時(shí)空的平移，共10個(gè)參數(shù)，構(gòu)成龐加萊變換：

所謂對(duì)稱變換，是說(shuō)變換前后有些東西不變。對(duì)稱變換可以分類為時(shí)空對(duì)稱性和內(nèi)稟對(duì)稱性。

時(shí)空對(duì)稱性是有些東西在洛倫茲變換/時(shí)空平移/時(shí)空伸縮下不變；內(nèi)稟對(duì)稱性則例如對(duì)場(chǎng)做一些變換而拉格朗日量不變，比如說(shuō)φ換成-φ，前面的K-G拉格朗日量不變。

對(duì)稱變換也可以按連續(xù)型和分立型的變換分類。像洛倫茲變換就可以由一系列無(wú)窮小變換組成，是連續(xù)的。（這似乎讓人聯(lián)想到李群）

可以驗(yàn)證，K-G拉格朗日量是洛倫茲標(biāo)量，即具有洛倫茲不變性。

Noether定理

Noether定理：如果系統(tǒng)具有某種連續(xù)對(duì)稱性，并且當(dāng)運(yùn)動(dòng)方程滿足時(shí)，系統(tǒng)存在一個(gè)相應(yīng)的守恒流。

* 不適用于分立對(duì)稱性。

* 守恒流，是指存在某種流滿足?.

話說(shuō)要有某種對(duì)稱性，也就是要求作用量在某種變換下不變：

這里有個(gè)小操作，，然后那個(gè)雅可比行列式要展開到一階小量。一定程度的化簡(jiǎn)。

后面計(jì)算很復(fù)雜，一系列操作后，算出守恒流：

也能夠定義守恒荷：

上式即“密度”對(duì)全空間的積分。從而守恒定律可以表示為dQ/dt=0.

應(yīng)用舉例：

時(shí)空平移變換：

經(jīng)計(jì)算得到相應(yīng)的守恒流是能動(dòng)量張量：

于是每個(gè)都是守恒流，時(shí)間對(duì)應(yīng)能量，空間對(duì)應(yīng)動(dòng)量。時(shí)空平移對(duì)應(yīng)能量、動(dòng)量守恒。

額 記到這電腦沒電了，剩下只能回去整理了

好在也到最后一節(jié)課了

再舉一例，復(fù)數(shù)形式的Klein-Gordon拉氏量為

該拉氏量具有內(nèi)稟的 U(1) 對(duì)稱性：?變換下保持不變。

于是根據(jù)Noether定理也可以計(jì)算這個(gè)內(nèi)稟對(duì)稱性對(duì)應(yīng)的守恒流與守恒荷。

聽說(shuō)這個(gè)守恒荷就是電荷：