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本文將說明單變量和多變量金融時間序列的不同模型，特別是條件均值和條件協(xié)方差矩陣、波動率的模型。

均值模型

本節(jié)探討條件均值模型。

iid模型

我們從簡單的iid模型開始。iid模型假定對數(shù)收益率xt為N維高斯時間序列：

均值和協(xié)方差矩陣的樣本估計量分別是樣本均值

和樣本協(xié)方差矩陣

我們從生成數(shù)據(jù)開始，熟悉該過程并確保估計過程給出正確的結(jié)果（即完整性檢查）。然后使用真實(shí)的市場數(shù)據(jù)并擬合不同的模型。

讓我們生成合成iid數(shù)據(jù)并估算均值和協(xié)方差矩陣：

#?生成綜合收益數(shù)據(jù)X?<-?rmvnorm(n?=?T,?mean?=?mu,?sigma?=?Sigma)#?樣本估計（樣本均值和樣本協(xié)方差矩陣）mu\_sm?<-?colMeans(X)Sigma\_scm?<-?cov(X)#?誤差norm(mu\_sm?????-?mu,?"2")#>?\[1\]?2.44norm(Sigma\_scm?-?Sigma,?"F")#>?\[1\]?70.79

現(xiàn)在，讓我們針對不同數(shù)量的觀測值T再做一次：

#?首先生成所有數(shù)據(jù)X?<-?rmvnorm(n?=?T\_max,?mean?=?mu,?sigma?=?Sigma)#?現(xiàn)在遍歷樣本的子集for?(T\_?in?T\_sweep)?{??#?樣本估算??mu\_sm?<-?colMeans(X_)??Sigma\_scm?<-?cov(X\_)??#?計算誤差??error\_mu\_vs\_T????<-?c(error\_mu\_vs\_T,????norm(mu\_sm?????-?mu,?"2"))??error\_Sigma\_vs\_T?<-?c(error\_Sigma\_vs\_T,?norm(Sigma\_scm?-?Sigma,?"F"))#?繪圖plot(T\_sweep,?error\_mu\_vs\_T,??????main?=?"mu估計誤差",

plot(T\_sweep,?error\_Sigma\_vs\_T?????main?=?"Sigma估計中的誤差",?ylab?=?"誤差"

單變量ARMA模型

對數(shù)收益率xt上的ARMA（p，q）模型是

其中wt是均值為零且方差為σ2的白噪聲序列。模型的參數(shù)是系數(shù)?i，θi和噪聲方差σ2。

請注意，ARIMA（p，d，q）模型是時間差分為d階的ARMA（p，q）模型。因此，如果我們用xt代替對數(shù)價格，那么先前的對數(shù)收益模型實(shí)際上就是ARIMA（p，1，q）模型，因?yàn)橐坏?shù)價格差分，我們就獲得對數(shù)收益。

rugarch生成數(shù)據(jù)?

我們將使用rugarch包??生成單變量ARMA數(shù)據(jù)，估計參數(shù)并進(jìn)行預(yù)測。

首先，我們需要定義模型：

#?指定具有給定系數(shù)和參數(shù)的AR（1）模型#>?#>?*----------------------------------*#>?*???????ARFIMA?Model?Spec??????????*#>?*----------------------------------*#>?Conditional?Mean?Dynamics#>?------------------------------------#>?Mean?Model???????????:?ARFIMA(1,0,0)#>?Include?Mean?????:?TRUE?#>?#>?Conditional?Distribution#>?------------------------------------#>?Distribution?:??norm?#>?Includes?Skew????:??FALSE?#>?Includes?Shape???:??FALSE?#>?Includes?Lambda??:??FALSE#>??????????Level?Fixed?Include?Estimate?LB?UB#>?mu????????0.01?????1???????1????????0?NA?NA#>?ar1??????-0.90?????1???????1????????0?NA?NA#>?ma????????0.00?????0???????0????????0?NA?NA#>?arfima????0.00?????0???????0????????0?NA?NA#>?archm?????0.00?????0???????0????????0?NA?NA#>?mxreg?????0.00?????0???????0????????0?NA?NA#>?sigma?????0.20?????1???????1????????0?NA?NA#>?alpha?????0.00?????0???????0????????0?NA?NA#>?beta??????0.00?????0???????0????????0?NA?NA#>?gamma?????0.00?????0???????0????????0?NA?NA#>?eta1??????0.00?????0???????0????????0?NA?NA#>?eta2??????0.00?????0???????0????????0?NA?NA#>?delta?????0.00?????0???????0????????0?NA?NA#>?lambda????0.00?????0???????0????????0?NA?NA#>?vxreg?????0.00?????0???????0????????0?NA?NA#>?skew??????0.00?????0???????0????????0?NA?NA#>?shape?????0.00?????0???????0????????0?NA?NA#>?ghlambda??0.00?????0???????0????????0?NA?NA#>?xi????????0.00?????0???????0????????0?NA?NAfixed.pars#>?$mu#>?\[1\]?0.01#>?#>?$ar1#>?\[1\]?-0.9#>?#>?$sigma#>?\[1\]?0.2true_params#>????mu???ar1?sigma?#>??0.01?-0.90??0.20

然后，我們可以生成時間序列：

#?模擬一條路徑apath(spec,?n.sim?=?T)#?轉(zhuǎn)換為xts并繪圖plot(synth\_log\_returns,?main?=?"ARMA模型的對數(shù)收益率"plot(synth\_log\_prices,?main?=?"ARMA模型的對數(shù)價格"

ARMA模型

現(xiàn)在，我們可以估計參數(shù)（我們已經(jīng)知道）：

#?指定AR（1）模型arfimaspec(mean.model?=?list(armaOrder?=?c(1,0),?include.mean?=?TRUE))#?估計模型#>???????????mu??????????ar1????????sigma?#>???????0.0083??????-0.8887???????0.1987#>????mu???ar1?sigma?#>??0.01?-0.90??0.20

我們還可以研究樣本數(shù)量T對參數(shù)估計誤差的影響：

#?循環(huán)for?(T_?in?T\_sweep)?{??estim\_coeffs\_vs\_T?<-?rbind(estim\_coeffs\_vs\_T,?coef(arma\_fit))??error\_coeffs\_vs\_T?<-?rbind(error\_coeffs\_vs\_T,?abs(coef(arma\_fit)?-?true\_params)/true\_params)#?繪圖matplot(T\_sweep,?estim\_coeffs\_vs_T,?????????main?=?"估計的ARMA系數(shù)",?xlab?=?"T",?ylab?=?"值",

matplot(T\_sweep,?100*error\_coeffs\_vs\_T,?????????main?=?"估計ARMA系數(shù)的相對誤差",?xlab?=?"T",?ylab?=?"誤差?(%)",

首先，真正的μ幾乎為零，因此相對誤差可能顯得不穩(wěn)定。在T = 800個樣本之后，其他系數(shù)得到了很好的估計。

ARMA預(yù)測

為了進(jìn)行健全性檢查，我們現(xiàn)在將比較兩個程序包?Forecast?和?rugarch的結(jié)果：

#?指定具有給定系數(shù)和參數(shù)的AR（1）模型spec(mean.model?=?list(armaOrder?=?c(1,0),?include.mean?=?TRUE),??????????????????????????????fixed.pars?=?list(mu?=?0.005,?ar1?=?-0.9,?sigma?=?0.1))#?生成長度為1000的序列arfima(arma\_fixed\_spec,?n.sim?=?1000)@path$seriesSim#?使用?rugarch包指定和擬合模型spec(mean.model?=?list(armaOrder?=?c(1,0),?include.mean?=?TRUE))#?使用包“?forecast”擬合模型#>?ARIMA(1,0,0)?with?non-zero?mean?#>?#>?Coefficients:#>???????????ar1????mean#>???????-0.8982??0.0036#>?s.e.???0.0139??0.0017#>?#>?sigma^2?estimated?as?0.01004:??log?likelihood=881.6#>?AIC=-1757.2???AICc=-1757.17???BIC=-1742.47#?比較模型系數(shù)#>??????????ar1????intercept????????sigma?#>?-0.898181148??0.003574781??0.100222964#>???????????mu??????????ar1????????sigma?#>??0.003605805?-0.898750138??0.100199956

確實(shí)，這兩個軟件包給出了相同的結(jié)果。

ARMA模型選擇?

在先前的實(shí)驗(yàn)中，我們假設(shè)我們知道ARMA模型的階數(shù)，即p = 1和q = 0。實(shí)際上，階數(shù)是未知的，因此必須嘗試不同的階數(shù)組合。階數(shù)越高，擬合越好，但這將不可避免地導(dǎo)致過度擬合。已經(jīng)開發(fā)出許多方法來懲罰復(fù)雜性的增加以避免過度擬合，例如AIC，BIC，SIC，HQIC等。

#?嘗試不同的組合#?查看排名#>????AR?MA?Mean?ARFIMA?????????BIC?converged#>?1???1??0????1??????0?-0.38249098?????????1#>?2???1??1????1??????0?-0.37883157?????????1#>?3???2??0????1??????0?-0.37736340?????????1#>?4???1??2????1??????0?-0.37503980?????????1#>?5???2??1????1??????0?-0.37459177?????????1#>?6???3??0????1??????0?-0.37164609?????????1#>?7???1??3????1??????0?-0.37143480?????????1#>?8???2??2????1??????0?-0.37107841?????????1#>?9???3??1????1??????0?-0.36795491?????????1#>?10??2??3????1??????0?-0.36732669?????????1#>?11??3??2????1??????0?-0.36379209?????????1#>?12??3??3????1??????0?-0.36058264?????????1#>?13??0??3????1??????0?-0.11875575?????????1#>?14??0??2????1??????0??0.02957266?????????1#>?15??0??1????1??????0??0.39326050?????????1#>?16??0??0????1??????0??1.17294875?????????1#選最好的armaOrder#>?AR?MA?#>??1??0

在這種情況下，由于觀察次數(shù)T = 1000足夠大，因此階數(shù)被正確地檢測到。相反，如果嘗試使用T = 200，則檢測到的階數(shù)為p = 1，q = 3。

ARMA預(yù)測?

一旦估計了ARMA模型參數(shù)?i ?^ i和θ^j，就可以使用該模型預(yù)測未來的值。例如，根據(jù)過去的信息對xt的預(yù)測是

并且預(yù)測誤差將為xt-x ^ t = wt（假設(shè)參數(shù)已被估計），其方差為σ2。軟件包?rugarch?使對樣本外數(shù)據(jù)的預(yù)測變得簡單：

#?估計模型（不包括樣本外）coef(arma\_fit)#>???????????mu??????????ar1????????sigma?#>??0.007212069?-0.898745183??0.200400119#?整個樣本外的預(yù)測對數(shù)收益forecast\_log\_returns?<-?xts(arma\_fore@forecast$seriesFor\[1,?\],?dates\_out\_of\_sample)#?恢復(fù)對數(shù)價格prev\_log\_price?<-?head(tail(synth\_log\_prices,?out\_of\_sample+1),?out\_of\_sample)#?對數(shù)收益圖plot(cbind("fitted"???=?fitted(arma\_fit),#?對數(shù)價格圖plot(cbind("forecast"?=?forecast\_log\_prices,?????main?=?"對數(shù)價格預(yù)測",?legend.loc?=?"topleft")

點(diǎn)擊標(biāo)題查閱往期內(nèi)容

GARCH-DCC模型和DCC（MVT）建模估計

左右滑動查看更多

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多元VARMA模型

對數(shù)收益率xt上的VARMA（p，q）模型是

其中wt是具有零均值和協(xié)方差矩陣Σw的白噪聲序列。該模型的參數(shù)是矢量/矩陣系數(shù)?0，Φi，Θj和噪聲協(xié)方差矩陣Σw。

比較

讓我們首先加載S＆P500：

#?加載標(biāo)普500數(shù)據(jù)head(SP500\_index\_prices)#>??????????????SP500#>?2012-01-03?1277.06#>?2012-01-04?1277.30#>?2012-01-05?1281.06#>?2012-01-06?1277.81#>?2012-01-09?1280.70#>?2012-01-10?1292.08#?準(zhǔn)備訓(xùn)練和測試數(shù)據(jù)logreturns\_trn?<-?logreturns\[1:T\_trn\]logreturns\_tst?<-?logreturns\[-c(1:T\_trn)\]#?繪圖{?plot(logreturns,???addEventLines(xts("訓(xùn)練"

現(xiàn)在，我們使用訓(xùn)練數(shù)據(jù)（即，對于t = 1，…，Ttrnt = 1，…，Ttrn）來擬合不同的模型（請注意，通過指示排除了樣本外數(shù)據(jù)?out.sample = T_tst）。特別是，我們將考慮iid模型，AR模型，ARMA模型以及一些ARCH和GARCH模型（稍后將對方差建模進(jìn)行更詳細(xì)的研究）。

#?擬合i.i.d.模型?coef(iid\_fit)#>???????????mu????????sigma?#>?0.0005712982?0.0073516993mean(logreturns\_trn)#>?\[1\]?0.0005681388sd(logreturns\_trn)#>?\[1\]?0.007360208#?擬合AR（1）模型coef(ar\_fit)#>????????????mu???????????ar1?????????sigma?#>??0.0005678014?-0.0220185181??0.0073532716#?擬合ARMA（2,2）模型coef(arma\_fit)#>????????????mu???????????ar1???????????ar2???????????ma1???????????ma2?????????sigma?#>??0.0007223304??0.0268612636??0.9095552008?-0.0832923604?-0.9328475211??0.0072573570#?擬合ARMA（1,1）+?ARCH（1）模型coef(arch\_fit)#>????????????mu???????????ar1???????????ma1?????????omega????????alpha1?#>??6.321441e-04??8.720929e-02?-9.391019e-02??4.898885e-05??9.986975e-02#擬合ARMA（0,0）+ARCH（10）模型coef(long\_arch\_fit)#>???????????mu????????omega???????alpha1???????alpha2???????alpha3???????alpha4???????alpha5?#>?7.490786e-04?2.452099e-05?6.888561e-02?7.207551e-02?1.419938e-01?1.909541e-02?3.082806e-02?#>???????alpha6???????alpha7???????alpha8???????alpha9??????alpha10?#>?4.026539e-02?3.050040e-07?9.260183e-02?1.150128e-01?1.068426e-06#?擬合ARMA（1,1）+GARCH（1,1）模型coef(garch_fit)#>????????????mu???????????ar1???????????ma1?????????omega????????alpha1?????????beta1?#>??6.660346e-04??9.664597e-01?-1.000000e+00??7.066506e-06??1.257786e-01??7.470725e-01

我們使用不同的模型來預(yù)測對數(shù)收益率：

#?準(zhǔn)備預(yù)測樣本外周期的對數(shù)收益#?i.i.d.模型預(yù)測forecast(iid\_fit,?n.ahead?=?1,?n.roll?=?T\_tst?-?1)???????????????????????????dates\_out\_of\_sample)#?AR（1）模型進(jìn)行預(yù)測forecast(ar\_fit,?n.ahead?=?1,?n.roll?=?T\_tst?-?1)??????????????????????????dates\_out\_of\_sample)#?ARMA（2,2）模型進(jìn)行預(yù)測forecast(arma\_fit,?n.ahead?=?1,?n.roll?=?T\_tst?-?1)????????????????????????????dates\_out\_of\_sample)#?使用ARMA（1,1）+?ARCH（1）模型進(jìn)行預(yù)測forecast(arch\_fit,?n.ahead?=?1,?n.roll?=?T\_tst?-?1)????????????????????????????dates\_out\_of\_sample)#?ARMA（0,0）+ARCH（10）模型預(yù)測forecast(long\_arch\_fit,?n.ahead?=?1,?n.roll?=?T\_tst?-?1)?????????????????????????????????dates\_out\_of\_sample)#?ARMA（1,1）+GARCH（1,1）模型預(yù)測forecast(garch\_fit,?n.ahead?=?1,?n.roll?=?T\_tst?-?1)?????????????????????????????dates\_out\_of_sample)

我們可以計算不同模型的預(yù)測誤差（樣本內(nèi)和樣本外）：

print(error_var)#>???????????????????????????in-sample?out-of-sample#>?iid????????????????????5.417266e-05??8.975710e-05#>?AR(1)??????????????????5.414645e-05??9.006139e-05#>?ARMA(2,2)??????????????5.265204e-05??1.353213e-04#>?ARMA(1,1)?+?ARCH(1)????5.415836e-05??8.983266e-05#>?ARCH(10)???????????????5.417266e-05??8.975710e-05#>?ARMA(1,1)?+?GARCH(1,1)?5.339071e-05??9.244012e-05

我們可以觀察到，隨著模型復(fù)雜度的增加，樣本內(nèi)誤差趨于變?。ㄓ捎跀M合數(shù)據(jù)的自由度更高），盡管差異可以忽略不計。重要的實(shí)際上是樣本外誤差：我們可以看到，增加模型復(fù)雜度可能會得出較差的結(jié)果。就預(yù)測收益的誤差而言，似乎最簡單的iid模型已經(jīng)足夠了。

最后，讓我們展示一些樣本外誤差的圖表：

plot(error,?????main?=?"不同模型收益預(yù)測的樣本外誤差",

請注意，由于我們沒有重新擬合模型，因此隨著時間的發(fā)展，誤差越大（對于ARCH建模尤其明顯）。

滾動窗口比較

讓我們首先通過一個簡單的示例比較靜態(tài)預(yù)測與滾動預(yù)測的概念：

#ARMA（2,2）模型spec?<-?spec(mean.model?=?list(armaOrder?=?c(2,2),?include.mean?=?TRUE))#?靜態(tài)擬合和預(yù)測ar\_static\_fit?<-?fit(spec?=?spec,?data?=?logreturns,?out.sample?=?T\_tst)#滾動擬合和預(yù)測modelroll?<-?aroll(spec?=?spec,?data?=?logreturns,?n.ahead?=?1,?#?預(yù)測圖plot(cbind("static?forecast"??=?ar\_static\_fore\_logreturns,?????main?=?"使用ARMA（2,2）模型進(jìn)行預(yù)測",?legend.loc?=?"topleft")#?預(yù)測誤差圖plot(error_logreturns,?col?=?c("black",?"red"),?lwd?=?2,?????main?=?"ARMA（2,2）模型的預(yù)測誤差",?legend.loc?=?"topleft")

我們可以清楚地觀察到滾動窗口過程對時間序列的影響。

現(xiàn)在，我們可以在滾動窗口的基礎(chǔ)上重做所有模型的所有預(yù)測：

#?基于i.i.d.模型的滾動預(yù)測roll(iid\_spec,?data?=?logreturns,?n.ahead?=?1,?forecast.length?=?T\_t#?AR（1）模型的滾動預(yù)測roll(ar\_spec,?data?=?logreturns,?n.ahead?=?1,?forecast.length?=?T\_tst,?#?ARMA（2,2）模型的滾動預(yù)測roll(arma\_spec,?data?=?logreturns,?n.ahead?=?1,?forecast.length?=?T\_tst,?#?ARMA（1,1）+?ARCH（1）模型的滾動預(yù)測roll(arch\_spec,?data?=?logreturns,?n.ahead?=?1,?forecast.length?=?T\_tst,????????????????????????????????????????????????refit.every?=?50,?refit.win#?ARMA（0,0）+?ARCH（10）模型的滾動預(yù)測roll(long\_arch\_spec,?data?=?logreturns,?n.ahead?=?1,?forecast.length?=?T\_tst,?????????????????????????????????????????????????????refit.every?=?50,?#?ARMA（1,1）+?GARCH（1,1）模型的滾動預(yù)測roll(garch\_spec,?data?=?logreturns,?n.ahead?=?1,?forecast.length?=?T_tst,?????????????????????????????????????????????????refit.every?=?50,?refit.window

讓我們看看滾動基準(zhǔn)情況下的預(yù)測誤差：

print(rolling\_error\_var)#>???????????????????????????in-sample?out-of-sample#>?iid????????????????????5.417266e-05??8.974166e-05#>?AR(1)??????????????????5.414645e-05??9.038057e-05#>?ARMA(2,2)??????????????5.265204e-05??8.924223e-05#>?ARMA(1,1)?+?ARCH(1)????5.415836e-05??8.991902e-05#>?ARCH(10)???????????????5.417266e-05??8.976736e-05#>?ARMA(1,1)?+?GARCH(1,1)?5.339071e-05??8.895682e-05

和一些圖表：

plot(error_logreturns,??????main?=?"不同模型的滾動預(yù)測誤差",?legend.loc?=?"topleft"

我們看到，現(xiàn)在所有模型都擬合了時間序列。此外，我們在模型之間沒有發(fā)現(xiàn)任何顯著差異。

我們最終可以比較靜態(tài)誤差和滾動誤差：

barplot(rbind(error\_var\[,?"out-of-sample"\],?rolling\_error_var\[,?"out-of-sample"\])????????col?=?c("darkblue",?"darkgoldenrod"),?????????legend?=?c("靜態(tài)預(yù)測",?"滾動預(yù)測"),

我們可以看到，滾動預(yù)測在某些情況下是必須的。因此，實(shí)際上，我們需要定期進(jìn)行滾動預(yù)測改進(jìn)。

方差模型

ARCH和GARCH模型

對數(shù)收益率殘差wt的ARCH（m）模型為

其中zt是具有零均值和恒定方差的白噪聲序列，而條件方差σ2t建模為

其中，m為模型階數(shù)，ω> 0，αi≥0為參數(shù)。

GARCH（m，s）模型使用σ2t上的遞歸項擴(kuò)展了ARCH模型：

其中參數(shù)ω\> 0，αi≥0，βj≥0需要滿足∑mi =1αi+ ∑sj = 1βj≤1的穩(wěn)定性。

rugarch生成數(shù)據(jù)?

首先，我們需要定義模型：

#?指定具有給定系數(shù)和參數(shù)的GARCH模型#>?#>?*---------------------------------*#>?*???????GARCH?Model?Spec??????????*#>?*---------------------------------*#>?#>?Conditional?Variance?Dynamics????#>?------------------------------------#>?GARCH?Model??????:?sGARCH(1,1)#>?Variance?Targeting???:?FALSE?#>?#>?Conditional?Mean?Dynamics#>?------------------------------------#>?Mean?Model???????:?ARFIMA(1,0,0)#>?Include?Mean?????:?TRUE?#>?GARCH-in-Mean????????:?FALSE?#>?#>?Conditional?Distribution#>?------------------------------------#>?Distribution?:??norm?#>?Includes?Skew????:??FALSE?#>?Includes?Shape???:??FALSE?#>?Includes?Lambda??:??FALSE#>???????????Level?Fixed?Include?Estimate?LB?UB#>?mu????????0.005?????1???????1????????0?NA?NA#>?ar1??????-0.900?????1???????1????????0?NA?NA#>?ma????????0.000?????0???????0????????0?NA?NA#>?arfima????0.000?????0???????0????????0?NA?NA#>?archm?????0.000?????0???????0????????0?NA?NA#>?mxreg?????0.000?????0???????0????????0?NA?NA#>?omega?????0.001?????1???????1????????0?NA?NA#>?alpha1????0.300?????1???????1????????0?NA?NA#>?beta1?????0.650?????1???????1????????0?NA?NA#>?gamma?????0.000?????0???????0????????0?NA?NA#>?eta1??????0.000?????0???????0????????0?NA?NA#>?eta2??????0.000?????0???????0????????0?NA?NA#>?delta?????0.000?????0???????0????????0?NA?NA#>?lambda????0.000?????0???????0????????0?NA?NA#>?vxreg?????0.000?????0???????0????????0?NA?NA#>?skew??????0.000?????0???????0????????0?NA?NA#>?shape?????0.000?????0???????0????????0?NA?NA#>?ghlambda??0.000?????0???????0????????0?NA?NA#>?xi????????0.000?????0???????0????????0?NA?NA#>?$mu#>?\[1\]?0.005#>?#>?$ar1#>?\[1\]?-0.9#>?#>?$omega#>?\[1\]?0.001#>?#>?$alpha1#>?\[1\]?0.3#>?#>?$beta1#>?\[1\]?0.65true_params#>?????mu????ar1??omega?alpha1??beta1?#>??0.005?-0.900??0.001??0.300??0.650

然后，我們可以生成收益率時間序列：

#?模擬一條路徑hpath(garch\_spec,?n.sim?=?T)#>??num?\[1:2000,?1\]?0.167?-0.217?#?繪圖對數(shù)收益{?plot(synth\_log\_returns,?main?=?"GARCH模型的對數(shù)收益",?lwd?=?1.5)??lines(synth\_volatility

GARCH

現(xiàn)在，我們可以估計參數(shù)：

#?指定一個GARCH模型ugarchspec(mean.model?=?list(armaOrder?=?c(1,0)#?估計模型coef(garch_fit)#>????????????mu???????????ar1?????????omega????????alpha1?????????beta1?#>??0.0036510100?-0.8902333595??0.0008811434??0.2810460728??0.6717486402#>?????mu????ar1??omega?alpha1??beta1?#>??0.005?-0.900??0.001??0.300??0.650#?系數(shù)誤差#>???????????mu??????????ar1????????omega???????alpha1????????beta1?#>?0.0013489900?0.0097666405?0.0001188566?0.0189539272?0.0217486402

我們還可以研究樣本數(shù)量T對參數(shù)估計誤差的影響：

#?循環(huán)for?(T_?in?T\_sweep)?{??garch\_fit???error\_coeffs\_vs\_T?<-?rbind(error\_coeffs\_vs\_T,?abs((coef(garch\_fit)?-?true\_params)/true\_params))??estim\_coeffs\_vs\_T?<-?rbind(estim\_coeffs\_vs\_T,?coef(garch\_fit))#?繪圖matplot(T\_sweep,?100*error\_coeffs\_vs\_T,?????????main?=?"估計GARCH系數(shù)的相對誤差",?xlab?=?"T",?ylab?=?"誤差?(%)",

真實(shí)的ω幾乎為零，因此誤差非常不穩(wěn)定。至于其他系數(shù)，就像在ARMA情況下一樣，μ的估計確實(shí)很差（相對誤差超過50％），而其他系數(shù)似乎在T = 800個樣本后得到了很好的估計。

GARCH結(jié)果比較?

作為健全性檢查，我們現(xiàn)在將比較兩個軟件包?fGarch?和?rugarch的結(jié)果：

#?指定具有特定參數(shù)值的ARMA（0,0）-GARCH（1,1）作為數(shù)據(jù)生成過程garch\_spec?#生成長度為1000的數(shù)據(jù)path(garch\_fixed\_spec,?n.sim?=?1000)@path$#?使用“?rugarch”包指定和擬合模型rugarch\_fit?<-?ugarchfit(spec?=?garch\_spec,?data?=?x)#?使用包“?fGarch”擬合模型garchFit(formula?=?~?garch(1,?1),?data?=?x,?trace?=?FALSE)#?比較模型系數(shù)#>?????????mu??????omega?????alpha1??????beta1?#>?0.09749904?0.01395109?0.13510445?0.73938595#>?????????mu??????omega?????alpha1??????beta1?#>?0.09750394?0.01392648?0.13527024?0.73971658#?比較擬合的標(biāo)準(zhǔn)偏差print(head(fGarch\_fi#>?\[1\]?0.3513549?0.3254788?0.3037747?0.2869034?0.2735266?0.2708994print(head(rugar#>?\[1\]?0.3538569?0.3275037?0.3053974?0.2881853?0.2745264?0.2716555

確實(shí)，這兩個軟件包給出了相同的結(jié)果。

使用rugarch包進(jìn)行GARCH預(yù)測?

一旦估計出GARCH模型的參數(shù)，就可以使用該模型預(yù)測未來的值。例如，基于過去的信息對條件方差的單步預(yù)測為

給定ω^ /（1-∑mi =1α^ i-∑sj =1β^ j）。軟件包?rugarch?使對樣本外數(shù)據(jù)的預(yù)測變得簡單：

#?估計模型，不包括樣本外garch\_fit?coef(garch\_fit)#>????????????mu???????????ar1?????????omega????????alpha1?????????beta1?#>??0.0034964331?-0.8996287630??0.0006531088??0.3058756796??0.6815452241#?預(yù)測整個樣本的對數(shù)收益garch\_fore@forecast$sigmaFor\[1,?\]#?對數(shù)收益圖plot(cbind("fitted"???=?fitted(garch\_fit),?????main?=?"合成對數(shù)收益預(yù)測",?legend.loc?=?"topleft")

#波動率對數(shù)收益圖plot(cbind("fitted?volatility"???=?sigma(garch_fit),?????main?=?"預(yù)測合成對數(shù)收益率的波動性",?legend.loc?=?"topleft")

不同方法

讓我們首先加載S＆P500：

#?加載標(biāo)準(zhǔn)普爾500指數(shù)數(shù)據(jù)head(SP500\_index\_prices)#>??????????????SP500#>?2008-01-02?1447.16#>?2008-01-03?1447.16#>?2008-01-04?1411.63#>?2008-01-07?1416.18#>?2008-01-08?1390.19#>?2008-01-09?1409.13#?準(zhǔn)備訓(xùn)練和測試數(shù)據(jù)x\_trn?<-?x\[1:T\_trn\]x\_tst?<-?x\[-c(1:T\_trn)\]#?繪圖{?plot(x,?main?=?"收益"??addEventLines(xts("訓(xùn)練",?in

常數(shù)

讓我們從常數(shù)開始：

plot(cbind(sqrt(var\_constant),?x\_trn)?????main?=?"常數(shù)")

移動平均值

現(xiàn)在，讓我們使用平方收益的移動平均值：

plot(cbind(sqrt(var\_t),?x\_trn),??????main?=?"基于簡單滾動平方均值的包絡(luò)線(時間段=20)

EWMA

指數(shù)加權(quán)移動平均線（EWMA）：

請注意，這也可以建模為ETS（A，N，N）狀態(tài)空間模型：

plot(cbind(std\_t,?x\_trn),??????main?=?"基于平方EWMA的包絡(luò)")

乘法ETS

我們還可以嘗試ETS模型的不同變體。例如，具有狀態(tài)空間模型的乘性噪聲版本ETS（M，N，N）：

plot(cbind(std\_t,?x\_trn),?col?=?c("red",?"black")?????main?=?"基于平方的ETS（M，N，N）的包絡(luò)"

ARCH

現(xiàn)在，我們可以使用更復(fù)雜的ARCH建模：

plot(cbind(std\_t,?x\_trn),?col?=?c("red",?"black")?????main?=?"基于ARCH(5)的包絡(luò)")

GARCH

我們可以將模型提升到GARCH：

plot(cbind(std\_t,?x\_trn),?col?=?c("red",?"black")?????main?=?"基于GARCH（1,1）的包絡(luò)")

SV隨機(jī)波動率

最后，我們可以使用隨機(jī)波動率建模：

或者，等效地，

plot(cbind(std\_t,?x\_trn),?col?=?c("red",?"black"),?????main?=?"基于隨機(jī)波動率的包絡(luò)分析")

比較

現(xiàn)在，我們可以比較每種方法在樣本外期間的方差估計中的誤差：

#>???????????MA?????????EWMA???ETS(M,N,N)??????ARCH(5)???GARCH(1,1)???????????SV?#>?2.204965e-05?7.226188e-06?3.284057e-06?7.879039e-05?6.496545e-06?6.705059e-06barplot(error_all,?main?=?"樣本外方差估計中的誤差"

滾動窗口比較

六種方法的滾動窗口比較：MA，EWMA，ETS（MNN），ARCH（5），GARCH（1,1）和SV。

??#滾動窗口lookback?<-?200len\_tst?<-?40for?(i?in?seq(lookback,?T-len\_tst,?by?=?len\_tst))?{??#?MA??var\_t?<-?roll\_meanr(x\_trn^2,?n?=?20,?fill?=?NA)??var\_fore?<-?var(x\_trn/sqrt(var\_t),?na.rm?=?TRUE)?*?tail(var\_t,?1)??error\_ma?<-?c(error\_ma,?abs(var\_fore?-?var\_tst))????#?EWMA??error\_ewma?<-?c(error\_ewma,?abs(var\_fore?-?var\_tst))????#?ETS(M,N,N)??error\_ets\_mnn?<-?c(error\_ets\_mnn,?abs(var\_fore?-?var\_tst))????#?ARCH??error\_arch?<-?c(error\_arch,?abs(var\_fore?-?var\_tst))????#?GARCH??error\_garch?<-?c(error\_garch,?abs(var\_fore?-?var\_tst))????#?SV??error\_sv?<-?c(error\_sv,?abs(var\_fore?-?var\_tst))}barplot(error_all,?main?=?"方差估計誤差",

多元GARCH模型

出于說明目的，我們將僅考慮恒定條件相關(guān)（CCC）和動態(tài)條件相關(guān)（DCC）模型，因?yàn)樗鼈兪亲钍軞g迎的模型。對數(shù)收益率殘差wt建模為

其中zt是具有零均值和恒定協(xié)方差矩陣II的iid白噪聲序列。條件協(xié)方差矩陣Σt建模為

其中Dt = Diag（σ1，t，...，σN，t）是標(biāo)準(zhǔn)化噪聲向量C，協(xié)方差矩陣ηt=C-1wt（即，它包含等于1的對角線元素）。

基本上，使用此模型，對角矩陣Dt包含一組單變量GARCH模型，然后矩陣C包含序列之間的一些相關(guān)性。該模型的主要缺點(diǎn)是矩陣C是恒定的。為了克服這個問題，DCC被提議為

其中Ct包含等于1的對角元素。要強(qiáng)制等于1的對角元素，Engle將其建模為

Qt具有任意對角線元素并遵循模型

我們將生成數(shù)據(jù)，估計參數(shù)和預(yù)測。

從加載多元ETF數(shù)據(jù)開始：

• SPDR S＆P 500 ETF

• 20年以上國債ETF

• IEF：7-10年期國債ETF

#?下載數(shù)據(jù)prices?<-?xts()head(prices)#>?????????????????SPY??????TLT??????IEF#>?2013-01-02?127.8779?99.85183?93.65224#>?2013-01-03?127.5890?98.49886?93.17085#>?2013-01-04?128.1493?98.88306?93.21463#>?2013-01-07?127.7991?98.92480?93.26714#>?2013-01-08?127.4314?99.57622?93.49468#>?2013-01-09?127.7553?99.48438?93.54719#?繪制三個對數(shù)價格序列plot(log(prices)?????main?=?"三個ETF的對數(shù)價格",?legend.loc?=?"topleft")

首先，我們定義模型：

#?指定i.i.d.單變量時間序列模型ugarch_spec?#?指定DCC模型spec(?multispec(replicate(spec,?n?=?3))

接下來，我們擬合模型：

#?估計模型#>?#>?*---------------------------------*#>?*??????????DCC?GARCH?Fit??????????*#>?*---------------------------------*#>?#>?Distribution?????????:??mvnorm#>?Model????????????????:??DCC(1,1)#>?No.?Parameters???????:??44#>?\[VAR?GARCH?DCC?UncQ\]?:?\[30+9+2+3\]#>?No.?Series???????????:??3#>?No.?Obs.?????????????:??1007#>?Log-Likelihood???????:??12198.4#>?Av.Log-Likelihood????:??12.11?#>?#>?Optimal?Parameters#>?-----------------------------------#>???????????????Estimate??Std.?Error???t?value?Pr(>|t|)#>?\[SPY\].omega???0.000004????0.000000??11.71585?0.000000#>?\[SPY\].alpha1??0.050124????0.005307???9.44472?0.000000#>?\[SPY\].beta1???0.870051????0.011160??77.96041?0.000000#>?\[TLT\].omega???0.000001????0.000001???0.93156?0.351563#>?\[TLT\].alpha1??0.019716????0.010126???1.94707?0.051527#>?\[TLT\].beta1???0.963760????0.006434?149.79210?0.000000#>?\[IEF\].omega???0.000000????0.000001???0.46913?0.638979#>?\[IEF\].alpha1??0.031741????0.023152???1.37097?0.170385#>?\[IEF\].beta1???0.937777????0.016498??56.84336?0.000000#>?\[Joint\]dcca1??0.033573????0.014918???2.25044?0.024421#>?\[Joint\]dccb1??0.859787????0.079589??10.80278?0.000000#>?#>?Information?Criteria#>?---------------------#>?????????????????????#>?Akaike???????-24.140#>?Bayes????????-23.925#>?Shibata??????-24.143#>?Hannan-Quinn?-24.058#>?#>?#>?Elapsed?time?:?0.8804049

我們可以繪制時變相關(guān)性：

#?提取時變協(xié)方差和相關(guān)矩陣dim(dcc\_cor)#>?\[1\]????3????3?1007#繪圖plot(corr\_t?????main?=?"時變相關(guān)",?legend.loc?=?"left")

我們看到兩個收益ETF之間的相關(guān)性非常高且相當(dāng)穩(wěn)定。與SPY的相關(guān)性較小，在小于0的區(qū)間波動。

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本文選自《R語言用多元ARMA,GARCH ,EWMA, ETS,隨機(jī)波動率SV模型對金融時間序列數(shù)據(jù)建?！贰?/p>

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