微積分（八十六）——復(fù)積分

2023-06-17 16:04 作者:Mark-McCutcheon 0人讀過 | 我要投稿

與實(shí)變函數(shù)不同，對于解析函數(shù)的研究首先開始于積分而非微分。前節(jié)我只是簡單地定義了微分，而真正要對微分進(jìn)行討論，還需要先研究復(fù)積分。我們已經(jīng)熟知實(shí)函數(shù)的Riemann積分，復(fù)積分與之定義類似。R積分是定義在實(shí)軸上，不過復(fù)積分并不是定義在區(qū)域上，而是定義在復(fù)平面的曲線上。

（定義）? ?稱逐段光滑的簡單閉曲線為周線。

根據(jù)前節(jié)，周線是可以確定其方向的。而對于一個未閉合的簡單曲線，我們也可以通過指定其起點(diǎn)和終點(diǎn)來明確其方向。

逐段光滑曲線還有一個重要的性質(zhì)，那就是它是可求長的。

（定義）? ?設(shè) $z(t)%3Dx(t)%2Biy(t)$ 為連續(xù)曲線， $t%5Cin%20%5B%5Calpha%2C%5Cbeta%5D$ 。任取實(shí)數(shù)列：

$%5C%5C%5C%7Bt_k%5C%7D%3A%5Calpha%3Dt_0%3Ct_1%3Ct_2%3C%E2%80%A6%3Ct_%7Bn-1%7D%3Ct_n%3D%5Cbeta$

曲線上有對應(yīng)的點(diǎn)列：

$%5C%5Cz_i%3Dz(t_i)%2Ci%3D0%2C1%2C2%2C%E2%80%A6%2Cn.$

記

$%5C%5CI%3D%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5En%5Cvert%20z(t_i)-z(t_%7Bi-1%7D)%20%5Cvert%20$

如果對于所有的實(shí)數(shù)列取法， $I$ 有上界，則稱該曲線可求長，稱上確界為其長度。

在這一定義下，逐段光滑曲線是可求長的。它的證明過難且不是我們討論的重點(diǎn)，讀者了解即可。下面附上證明的鏈接：

https://zhuanlan.zhihu.com/p/353217388

沒有作說明的情況下，今后我們討論的曲線都是光滑或逐段光滑的。

（定義）? ?設(shè)有向曲線 $C$ ，其起、終點(diǎn)分別為 $a%E3%80%81b$ ，復(fù)函數(shù) $f(z)$ 沿曲線有定義。順該曲線的方向在曲線上取分點(diǎn)： $a%3Dz_0%2Cz_1%2Cz_2%2C%E2%80%A6%2Cz_n%3Db$ ，它們將曲線分為 $n$ 段，每一段 $z_%7Bk-1%7Dz_k$ 上任意取一點(diǎn) $%5Czeta%20_k$ ，作和式：

$%5C%5CS_n%3D%5Csum_%7Bk%3D1%7D%5En%20f(%5Czeta%20_k)(z_k-z_%7Bk-1%7D)$

若無論如何取分點(diǎn)及 $%5Czeta_k$ ，只要該曲線被分成的所有弧段的長度的最大值趨于零時， $S_n$ 都存在極限且極限唯一，則稱函數(shù)沿曲線從其起點(diǎn)到其終點(diǎn)可積，積分值即為 $S_n$ 的極限值，記為

$%5C%5CJ%3D%5Cint_%7BC%7Df(z)%20%5C%20dz$

其中曲線 $C$ 稱為積分路徑。我們以后把沿 $C$ 正方向的積分記為

$%5C%5C%5Cint_%7BC%7Df(z)%20%5C%20dz$

而沿負(fù)方向的記為

$%5C%5C%5Cint_%7BC%5E-%7Df(z)%20%5C%20dz$

類似于數(shù)學(xué)分析中連續(xù)函數(shù)可積的定理，我們有連續(xù)復(fù)函數(shù)可積的定理。

（定理）? ?若 $f(z)$ 沿曲線 $C$ 連續(xù)，則其沿 $C$ 可積。

證明? ?我們把函數(shù)寫成兩實(shí)變函數(shù)的形式：

$%5C%5Cf(z)%3Du(x%2Cy)%2Biv(x%2Cy)$

根據(jù)定義中的做法，設(shè)

$z_k%3Dx_k%2Biy_k%5C%5Cx_k-x_%7Bk-1%7D%3D%5CDelta%20x_k%5C%5Cy_k-y_%7Bk-1%7D%3D%5CDelta%20y_k%5C%5C%5Czeta%20_k%3D%5Cxi%20_k%2Bi%5Ceta%20_k%5C%5Cu(%5Cxi%20_k%2C%5Ceta%20_k)%3Du_k%2Cv(%5Cxi%20_k%2C%5Ceta%20_k)%3Dv_k$

于是

$S_n%3D%5Csum_%7Bk%3D1%7D%5En%20f(%5Czeta%20%20_k)(z_k-z_%7Bk-1%7D)%5C%5C%3D%5Csum_%7Bk%3D1%7D%5En(u_k%2Biv_k)(%5CDelta%20x_k%2Bi%5CDelta%20y_k)%5C%5C%3D%5Csum_%7Bk%3D1%7D%5En(u_k%5CDelta%20x_k-v_k%5CDelta%20y_k)%2Bi%5Csum_%7Bk%3D1%7D%5En(u_k%5CDelta%20y_k%2Bv_k%5CDelta%20x_k)$

事實(shí)上，虛數(shù)單位此處可以當(dāng)作常數(shù)處理。而上式實(shí)際上可以拆成四個求和運(yùn)算結(jié)果的加減。我們?nèi)稳∑湟贿M(jìn)行分析：

$%5Csum_%7Bk%3D1%7D%5Enu_k%5CDelta%20%20x_k%5C%5C$

現(xiàn)在設(shè)曲線的參數(shù)方程為 $z(t)%3D%5Cvarphi%20(t)%2Bi%5Cpsi%20(t)$ ，則

$%5Csum_%7Bk%3D1%7D%5Enu_k%5CDelta%20%20x_k%5C%5C%5C%5C%3D%5Csum_%7Bk%3D1%7D%5Enu(%5Cvarphi%20(t_k)%2C%5Cpsi%20(t_k))%5CDelta%20x_k$

而由參數(shù)方程中兩實(shí)函數(shù)均可導(dǎo)且導(dǎo)函數(shù)均連續(xù)，故可以用拉格朗日中值定理：

$%5C%5C%5CDelta%20x_k%3D%5Cvarphi%20'(t_%7Bk'%7D)%5CDelta%20t_k$

故原式

$%3D%5Csum_%7Bk%3D1%7D%5Enu(%5Cvarphi%20(t_k)%2C%5Cpsi%20(t_k))%5Cvarphi%20'(t_%7Bk'%7D)%5CDelta%20t_k%5C%5C%3D%5Csum_%7Bk%3D1%7D%5Enu(%5Cvarphi%20(t_k)%2C%5Cpsi%20(t_k))%5Cvarphi%20'(t_k)%5CDelta%20t_k%5C%5C%2B%5Csum_%7Bk%3D1%7D%5Enu(%5Cvarphi%20(t_k)%2C%5Cpsi%20(t_k))(%5Cvarphi%20'(t_%7Bk'%7D)-%5Cvarphi%20'(t_k))%5CDelta%20t_k$

上式第一個加數(shù)顯然符合定積分的格式，由于

$%5C%5Cu(%5Cvarphi%20(t)%2C%5Cpsi%20(t))%5Cvarphi%20'(t)$

是連續(xù)的，因此它可積。（事實(shí)上， $u$ 連續(xù)是由于 $f(z)$ 連續(xù)，請讀者自證）顯然當(dāng)曲線上最長弧段的長度趨于零時，也有最大的 $%5CDelta%20t$ 趨于零（為什么？），因此取極限時第一個加數(shù)的極限存在。而至于第二個加數(shù)，由于導(dǎo)函數(shù) $%5Cvarphi%20'(t)$ 在閉區(qū)間上連續(xù)，因此它一致連續(xù)。由此只要當(dāng)分割足夠細(xì)，就能使所有

$%5C%5C%5Cvarphi%20'(t_%7Bk'%7D)-%5Cvarphi%20'(t_k)%3C%5Cvarepsilon%20$

又由于 $u(%5Cvarphi%20(t)%2C%5Cpsi%20(t))$ 在閉區(qū)間連續(xù)，故其有界 $M$ 。由此第二個加數(shù)

$%5C%5C%5Cleq%20M%5Cvarepsilon%20%5Csum_%7Bk%3D1%7D%5En%20%5CDelta%20%20t_k%3DM(%5Cbeta-%5Calpha)%5Cvarepsilon%20%5Cto%200$

綜合上述，我們知道

$%5Csum_%7Bk%3D1%7D%5Enu_k%5CDelta%20%20x_k%5C%5C$

的極限存在。事實(shí)上，它在數(shù)學(xué)分析中有自己的名字：第二類曲線積分，屬于我們沒有講到的內(nèi)容。類似地，其他三個和式均可被證明存在極限。所以函數(shù)可積。

復(fù)積分具有一些基本的性質(zhì)。例如，設(shè) $f%E3%80%81g$ 均沿 $C$ 連續(xù)，則：

（復(fù)積分的性質(zhì)）? ?設(shè) $f%E3%80%81g$ 均沿 $C$ 連續(xù)，則：

$1.%5Cint_%7BC%7Daf(z)%20%5C%20dz%3Da%5Cint_%7BC%7Df(z)%20%5C%20dz%5C%5C2.%5Cint_%7BC%7D%5Bf(z)%2Bg(z)%5D%20%5C%20dz%3D%5Cint_%7BC%7Df(z)%20%5C%20dz%2B%5Cint_%7BC%7Dg(z)%20%5C%20dz%5C%5C3.%E5%BD%93%E6%9B%B2%E7%BA%BFC%E7%94%B1C_1%E5%92%8CC_2%E4%B8%A4%E7%AB%AF%E8%A1%94%E6%8E%A5%E8%80%8C%E6%88%90%E6%97%B6%EF%BC%8C%5C%5C%5Cint_%7BC%7Df(z)%20%5C%20dz%3D%5Cint_%7BC_1%7Df(z)%20%5C%20dz%2B%5Cint_%7BC_2%7Df(z)%20%5C%20dz%5C%5C4.%5Cint_%7BC%7Df(z)%20%5C%20dz%3D-%5Cint_%7BC%5E-%7Df(z)%20%5C%20dz%5C%5C5.%5Cvert%20%5Cint_%7BC%7Df(z)%20%5C%20dz%20%5Cvert%20%5Cleq%20%5Cint_%7BC%7D%5Cvert%20f(z)%5Cvert%20%20%5C%20%5Cvert%20dz%5Cvert$

這些性質(zhì)都很好證明。要證明第二點(diǎn)可以按照前面的證明一樣把復(fù)積分拆分為和式處理，要證明第五點(diǎn)只需對不等式

$%5C%5C%5Cvert%20%5Csum_%7Bk%3D1%7D%5En%20f(%5Czeta%20_k)%5CDelta%20z_k%20%5Cvert%5Cleq%20%5Csum_%7Bk%3D1%7D%5En%20%5Cvert%20f(%5Czeta%20_k)%20%5Cvert%20%5Cvert%20%5CDelta%20z_k%20%5Cvert%20$

取極限即可。由此我們還能得到：若函數(shù)存在上界 $f(z)%5Cleq%20M$ ，曲線長為 $L$ ，則由于

$%5C%5C%5Cvert%20%5Csum_%7Bk%3D1%7D%5En%20f(%5Czeta%20_k)%5CDelta%20z_k%20%5Cvert%5Cleq%20%5Csum_%7Bk%3D1%7D%5En%20%5Cvert%20f(%5Czeta%20_k)%20%5Cvert%20%5Cvert%20%5CDelta%20z_k%20%5Cvert%20%5Cleq%20M%5Csum_%7Bk%3D1%7D%5En%20%5Cvert%20%5CDelta%20z_k%20%5Cvert%20%5Cleq%20ML$