一、整體感覺(jué)

對(duì)著答案寫(xiě)一遍；自己寫(xiě)一遍；寫(xiě)的錯(cuò)誤修正后再理解著寫(xiě)一遍；三遍基本上思路就清楚了

二、需要復(fù)習(xí)的

1、歸結(jié)原則

2、ε-N語(yǔ)言

3、放縮的技巧

4、等比級(jí)數(shù)求和公式

5、迫斂性的應(yīng)用

6、可導(dǎo)與連續(xù)關(guān)系

7、連續(xù)性的應(yīng)用（如運(yùn)算符和極限符的交換）

8、Rolle中值定理使用

9、單調(diào)有界定理使用

10、Taylor定理

三、具體真題

Day56

1【電子科大】（可以比較一下Tauber定理，具體證明見(jiàn)專(zhuān)欄“Day56補(bǔ)充”）

一問(wèn)做法：

1、把極限記出來(lái)，用歸結(jié)原則

2、用ε-N語(yǔ)言寫(xiě)出三個(gè)定義式

3、放縮，過(guò)程中還會(huì)用到等比數(shù)列求和,1-x^n拆成多項(xiàng)式乘積等應(yīng)用細(xì)節(jié)，多寫(xiě)幾遍，多感受。

二問(wèn)：舉個(gè)反例an=(-1)^n即可，注意它與x^n結(jié)合，可以變成（-x）^n

2【大連理工】

理論性沒(méi)有電子科大強(qiáng)，思路也比較明晰。

思路就是左邊=右邊，兩邊分別入手，最后發(fā)現(xiàn)結(jié)果相等就證明好了。

左邊：

①先對(duì)級(jí)數(shù)求出收斂半徑，然后關(guān)注端點(diǎn)0和1，得到最后收斂域?yàn)椤?，1）；

②再根據(jù)一致收斂定理（數(shù)分下定理14.4：收斂區(qū)間內(nèi)任意閉區(qū)間一致收斂），于是任取|x|≤1-ε，（任取ε∈（0，1），注意ε范圍不僅僅是要大于0，還要求小于1！不要漏寫(xiě)了），得到冪級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂且一致收斂

③再利用冪級(jí)數(shù)的連續(xù)性（因?yàn)閮缂?jí)數(shù)本質(zhì)上就是一個(gè)多項(xiàng)式，是初等函數(shù)，存在連續(xù)性），可以交換積分與求和的順序，這里還要取個(gè)極限，積分上限為1-ε，外面的極限使得ε趨于0+，用于順利求積分，最后得到為數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)Σ（1/n^2）=π^2/6

右邊：直接先求出積分，然后得到數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)Σ（1/n^2）=π^2/6；

發(fā)現(xiàn)左邊=右邊；

得到最終結(jié)果

Day57

1【武漢大學(xué)】

具體做法：

①先根據(jù)題干說(shuō)f(x)僅有正實(shí)根，設(shè)出所有互異的正實(shí)數(shù)，寫(xiě)出f(x)用多個(gè)解的形式組成的多項(xiàng)式，注意確定0<x1<X2<...<xs;k1,k2,...,ks是正實(shí)數(shù)

②然后再由題干表達(dá)式，求f'(x)，構(gòu)建與f(x)關(guān)系

③滿(mǎn)足等比級(jí)數(shù)求和的收斂范圍的時(shí)候，即設(shè)|x|≤x1，求-f'(x)/f(x),得到最后的Σcn*x^n，利用展開(kāi)式系數(shù)的唯一性得到cn

對(duì)于一問(wèn)：發(fā)現(xiàn)cn明顯各項(xiàng)>0，得證；

對(duì)于二問(wèn)：cn首先大于等于第一項(xiàng)k1/x1^(n+1),然后同時(shí)≤（k1+...+ks）/x1^(n+1),把分母放縮到最小的x1^(n+1),使得整體最大；然后開(kāi)n次方根，利用迫斂性得到cn的n次方根趨于1/x1；最后利用極限的四則運(yùn)算法則，取個(gè)倒數(shù)，得到極限趨于x1，恰好這個(gè)x1也是我假設(shè)的f(x)的根中的最小值，因此得證。

關(guān)鍵：1、在于充分利用題干信息，以及一些放縮技巧的使用

2、求f'(x)且與f(x)構(gòu)建關(guān)系的時(shí)候要細(xì)心一點(diǎn)，注意對(duì)于n個(gè)式子乘積求導(dǎo)的規(guī)律要熟悉！

3、對(duì)于過(guò)程中cn最后求出的那個(gè)展開(kāi)式系數(shù)的唯一性，將在下一專(zhuān)欄特別予以說(shuō)明。

2【同濟(jì)大學(xué)】

做法：

①利用（ii）和（i）的條件得到R上各階可導(dǎo)以及可使用連續(xù)性得到f(0)=0；

②利用Rolle中值定理，得到f'(yn)=0;

③為說(shuō)明yn的極限存在，利用單調(diào)有界定理，去證明yn單調(diào)遞減，注意到xn+1<yn<xn，Rolle中值定理證明時(shí)候使用到的，然后迭代代n+1→n,得到xn+2<yn+1<xn+1，因此yn+1<xn+1<yn，所以yn單調(diào)遞減，且yn有下界，所以單調(diào)遞減（注：這里證明yn單調(diào)遞減有下界，為了利用單調(diào)有界原理為后面連續(xù)性鋪路）

④充分利用一下迫斂性，由于xn+1<yn<xn,而兩端由題干（i）知道其趨于0，因此yn極限為0;

⑤此時(shí)使用f'在R上連續(xù)性，得到f'(0)=f'(limyn)=limf'(yn)=lim0=0;

⑥以此類(lèi)推，得到f^(n)（0）=0，任取n=0,1,2,....

⑦由Taylor定理，得到任取x屬于R以及n屬于Z+，存在ξ屬于R，得到f(x)=f(0)+f'(0)x+...+f^(n)(0)x^n/n!+f^(n+1)(ξ）x^n+1/(n+1)!.因此利用各階導(dǎo)數(shù)在x0=0處為0的情況，得到f(x)就等于最后一項(xiàng)；讓兩邊取絕對(duì)值，然后利用題干（ii）放縮，最后對(duì)于|x|^(n+1)/(n+1)!對(duì)于固定的x∈R都有極限為0（證明過(guò)程見(jiàn)下圖），最后可知|f(x)|≤0，這迫使|fx)|恒等于0，即f(x)恒等于0，任取x∈R.

最后那個(gè)極限為何為0的說(shuō)明：