拓端tecdat：R語言估計多元標(biāo)記的潛過程混合效應(yīng)模型（LCMM）分析心理測試的認(rèn)知過程
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背景和定義
每個動態(tài)現(xiàn)象都可以用一個潛過程（Λ(t)）來表征，這個潛過程在連續(xù)的時間t中演化。有時，這個潛過程是通過幾個標(biāo)志來衡量的，因此潛過程是它們的共同因素。
多元標(biāo)記的潛過程混合模型
Proust-Lima 等人引入了潛在過程混合模型。(2006 -?A Nonlinear Model with Latent Process for Cognitive Evolution Using Multivariate Longitudinal Data - Proust - 2006 - Biometrics - Wiley Online Library?和 2013 -?Analysis of multivariate mixed longitudinal data: A flexible latent process approach - Proust‐Lima - 2013 - British Journal of Mathematical and Statistical Psychology - Wiley Online Library?).
使用線性混合模型根據(jù)時間對定義為潛過程的感興趣量進(jìn)行建模：
其中：
X(t) 和 Z(t) 是協(xié)變量的向量（Z(t) 包含在 X(t) 中；
β是固定效應(yīng)（即總體平均效應(yīng)）；
ui 是隨機效應(yīng)（即個體效應(yīng)）；它們根據(jù)具有協(xié)方差矩陣 B 的零均值多元正態(tài)分布進(jìn)行分布；
(wi(t)) 是一個高斯過程。
根據(jù)時間和協(xié)變量的 Λ(t) 結(jié)構(gòu)模型與單變量情況完全相同。
現(xiàn)在，我們不再定義一個觀察方程，而是定義 K 個不同標(biāo)記的 K 個觀察方程，其中 Yijk是對主體 i、標(biāo)記 k 和場合 j?的觀察。在單變量情況下，可以通過定義特定于標(biāo)記的鏈接函數(shù) Hk 來處理幾種類型的標(biāo)記。特定于標(biāo)記的觀察方程還可能包括協(xié)變量上的一些對比 γk 以及標(biāo)記和主體特定的隨機截距：
?
其中：
αik~N(0,σ2k)
Xcijk協(xié)變量向量
γk 是對比（k?上的總和等于 0）
tijk 對象 i、標(biāo)記 k 和場合 j 的測量時間；
?ijk一個獨立的高斯誤差，均值為 0，方差為 σ2?kσ?k2；
Hk將潛過程轉(zhuǎn)換為標(biāo)記 k?的尺度和度量的鏈接函數(shù)（由 ηk 參數(shù)化）。
目前只考慮連續(xù)鏈接函數(shù)。這些與單變量情況（在 lcmm 中）相同。H?1 是一組遞增單調(diào)函數(shù)的參數(shù)族：
線性變換：這簡化為線性混合模型（2 個參數(shù)）
Beta 累積分布族重新調(diào)整（4 個參數(shù)）
具有 m 個節(jié)點的二次 I 樣條的基（m+2 個參數(shù)）
可識別性
與任何潛在變量模型一樣，必須定義潛在變量的度量。這里第一個隨機效應(yīng) ui的方差設(shè)置為 1，平均截距（在 β 中）設(shè)置為 0。
認(rèn)知過程示例
在這個例子中，當(dāng)認(rèn)知被定義為三種心理測試的共同因素時，我們研究了認(rèn)知隨時間變化的軌跡：MMSE、BVRT和IST。這里的時間尺度是進(jìn)入隊列后的年數(shù)，軌跡被假定為時間上的二次方（在個人和人群層面），模型被調(diào)整為進(jìn)入時的年齡。為了進(jìn)一步研究性別的影響，包括對共同因素的平均效應(yīng)和對每個標(biāo)志的差異效應(yīng)（對比）（在這個例子中不與時間相互作用）。
模型考慮：
其中：
和?
,?
?是布朗過程，?
?對于 k = 1,2,3：?
,?
?和?
不同鏈接函數(shù)的估計
我們首先創(chuàng)建變量標(biāo)準(zhǔn)化，?避免數(shù)值問題：
tie <- (ae - ag_it)/10ag75 <- (ae_it - 75)/10
線性鏈接函數(shù)
默認(rèn)情況下，所有鏈接函數(shù)都設(shè)置為線性：
mlmm( ubc'ID', dt = pud, radom = T, cr =B(tme))
非線性鏈接函數(shù)
根據(jù)數(shù)據(jù)的性質(zhì)，可能需要一些非線性鏈接函數(shù)。例如，這里的 MMSE 是高度偏斜的：
hist(MMSE)
在單變量情況下，可以考慮 Beta CDF 或樣條。鏈接函數(shù)族可以對所有標(biāo)記都相同（即使參數(shù)不同）：
# 以Beta為例mlmm( lnk = 'beta')
或者可以不同地選擇鏈接函數(shù)。例如，
# 樣條曲線中不同數(shù)量的結(jié)點mlmm( lik = c('eta','3-uan-spes','3-antpln'))
修復(fù)一些轉(zhuǎn)換參數(shù)
請注意，樣條變換有時可能涉及非常接近 0 的參數(shù)，從而導(dǎo)致無法收斂（因為參數(shù)位于參數(shù)空間的邊界）。這經(jīng)常發(fā)生在 MMSE 中。例如，在下面的示例中，由于 MMSE 變換的第三個參數(shù)低于 10e-4，因此不容易達(dá)到收斂。
# 樣條曲線mlmm( axe=50, ink = c('3asin'))
通過使用 fix 選項修復(fù)此參數(shù)，可以輕松解決此問題。為此，可以從估計向量（此處為第 21 個參數(shù)）中識別參數(shù)的位置：?
best
并且可以根據(jù)這些估計值和新固定的參數(shù)重新擬合模型：
# 樣條曲線mult(B=mp$best)
有了這個約束，模型就可以正確收斂。
模型比較
mult對象是多元潛在過程混合模型，它們假設(shè)潛過程的軌跡完全相同，但鏈接函數(shù)不同。在單變量情況下，可以使用信息標(biāo)準(zhǔn)來比較模型。該?summary?給我們這樣的信息。
sumrtbe(ml)
涉及 Beta 變換和樣條變換的模型在 AIC 方面似乎比顯示偏離正態(tài)性的線性變換要好得多。
可以在模型之間繪制和比較轉(zhuǎn)換：
par(mrow=c(1,1))plot(llnes2, col = c(ol[2],ol[3]ol4]), ld =1,ly=4)
除了線性變換，所有的估計變換都非常接近。
后擬合輸出
估計的鏈接函數(shù)：
鏈接函數(shù)的置信區(qū)間可以通過蒙特卡羅方法獲得：
predict(ml_btapl)plt(Cl)
概括
該模型的摘要包括收斂性、擬合優(yōu)度標(biāo)準(zhǔn)和估計參數(shù)。
summary
?
從估計結(jié)果來看，基礎(chǔ)認(rèn)知隨著時間的推移有一個二次方的軌跡，基線時年齡較大的受試者的認(rèn)知水平系統(tǒng)地較低。根據(jù)性別沒有差異。然而，性別對心理測試有明顯的差異性影響（P=0.0003），男性的BVRT系統(tǒng)性較高，女性的IST水平較高。
方差解釋
對于多元數(shù)據(jù)，潛在過程是不同標(biāo)記的共同潛在因素。因此，我們可以計算解釋潛在過程的每個標(biāo)記的殘差方差。解釋的這種方差取決于協(xié)變量并在特定時間計算。
VarE(tbsp,dtafme(tme=0))
例如，公因子解釋了 42% 的 MMSE 殘差變化，而它解釋了時間 0 時 26% 的 BVRT 殘差變化。
標(biāo)記的預(yù)測軌跡圖
可以根據(jù)協(xié)變量分布計算標(biāo)記的預(yù)測軌跡，然后繪制。
predct(btapl,nwdta=dtew,va.tim='ime')plt(prec_we, ld=c(1)
擬合優(yōu)度：殘差圖
與任何混合模型一樣，我們希望特定主題的殘差（右下圖）是高斯分布的。
plt(mlep, 0.8)
擬合優(yōu)度：預(yù)測與觀察的關(guān)系圖
可以根據(jù)時間繪制平均預(yù)測和觀察結(jié)果。請注意，預(yù)測和觀察是在潛過程的范圍內(nèi)（觀察被轉(zhuǎn)換為估計的鏈接函數(shù)）：?
plot(beal, whch="fit", time="ti")?
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