在高中數(shù)學(xué)中 我們會學(xué)三角函數(shù) 雖然其定義簡單 但七大套公式能把人折磨許久 其中的半角公式可以通過二倍角公式證明(太簡單力) 但有沒有一種簡單易懂的幾何證法呢？ 你猜捏( 我們先以半角正弦公式為例 初中數(shù)學(xué)中的三角函數(shù)采用的是直角三角形定義 故我們先作一個Rt△ABC 其中AB=1,∠C=90°,∠A=α/2<45°

顯然 我們需要在Rt△ABC中構(gòu)造出大小為α的角 容易想到α=2·α/2 而一對等角又要構(gòu)造等腰三角形 故作AB的垂直平分線 交AC于點D,連接BD

由垂直平分線的性質(zhì),得AD=BD 等邊對等角,得∠ABD=∠A=α/2 由三角形的外角定理,得∠BDC=α 這樣我們就構(gòu)造出了大小為α的角 易得sin(α/2)=BD·sin α=BC 只需求出BC的值即可 設(shè)BC=x 易得AD=BD=x/sin α=xcsc α,CD=x/tan α=xcot α 由勾股定理,得AC2+BC2=AB2=1 (AD+CD)2+BC2=1 (xcsc α+xcot α)2+x2=1 x2csc2α+2x2csc αcot α+x2cot2α+x2=1 x2(csc2α+2csc αcot α+cot2α+1)=1 x2=1/(csc2α+2csc αcot α+cot2α+1) =sin2α/(1+2cos α+cos2α+sin2α) =(1-cos2α)/(2+2cos α) =(1+cos α)(1-cos α)/[2(1+cos α)] =(1-cos α)/2 x=±√[(1-cos α)/2] 余弦及正切同理可證