一起學(xué)學(xué)具體怎么使用貝葉斯公式

貝葉斯公式Bayes Rule，提出者是Thomas Baye，其表達(dá)式P(A|B)=P(B|A)*P(A)/P(B)。

Pr(A)是A的先驗(yàn)概率或邊緣概率。之所以稱(chēng)為"先驗(yàn)"是因?yàn)樗豢紤]任何B方面的因素。

Pr(A|B)是已知B發(fā)生后A的條件概率（在B發(fā)生的情況下A發(fā)生的可能性），也由于得自B的取值而被稱(chēng)作A的后驗(yàn)概率。

Pr(B|A)是已知A發(fā)生后B的條件概率（在A發(fā)生的情況下B發(fā)生的可能性），也由于得自A的取值而被稱(chēng)作B的后驗(yàn)概率。

Pr(B)是B的先驗(yàn)概率或邊緣概率，也作標(biāo)準(zhǔn)化常量（normalized constant）。

個(gè)人理解：

P(A)結(jié)局，通常是問(wèn)題的后半句

P(B)來(lái)源前提，通常是問(wèn)題的前半句

"|"符號(hào)沒(méi)有什么特別意思

P(B|A) 以a為來(lái)源前提，以b為結(jié)局的事件發(fā)生概率

結(jié)合現(xiàn)實(shí)事件發(fā)生的先后順序、邏輯順序就好理解

后來(lái)的置信度 只根據(jù)原來(lái)置信度 只算一次

【舉例】

現(xiàn)分別有 A、B 兩個(gè)容器，在容器 A 里分別有 7 個(gè)紅球和 3 個(gè)白球，在容器 B 里有 1 個(gè)紅球和 9 個(gè)白球。

現(xiàn)已知從這兩個(gè)容器里任意抽出了一個(gè)紅球，問(wèn)這個(gè)球來(lái)自容器 A 的概率是多少?

假設(shè)『事件A』：這個(gè)球來(lái)自容器 A

P(A)結(jié)局，通常是問(wèn)題的后半句

假設(shè)『事件B』：從這兩個(gè)容器里任意抽出了一個(gè)紅球

P(B)來(lái)源前提，通常是問(wèn)題的前半句

P(A)=0.5

因?yàn)橹挥袃蓚€(gè)容器，這個(gè)球來(lái)自容器 A的概率是二分之一

P(B) = 8/20=0.4

兩個(gè)容器共有20個(gè)球，其中紅球加在一起有8個(gè)

P(B|A) = 7/10=0.7

P(B|A) 的意思是當(dāng)A發(fā)生后B發(fā)生的概率，強(qiáng)調(diào)兩個(gè)條件之間的聯(lián)系。P(A)或P(B)只強(qiáng)調(diào)單一條件，無(wú)視與其他條件的聯(lián)系。

注意P(B|A)中，A是第一發(fā)生順序。

這個(gè)例子中P(B|A) 意思是“當(dāng)選中容器 A”后，“任意抽出了一個(gè)紅球”的概率。

因?yàn)橐阎谌萜?A 里分別有 7 個(gè)紅球和 3 個(gè)白球，所以A里共有10個(gè)球，其中7個(gè)紅球。

P(A|B)=P(B|A)×P(A)/P(B)=0.7×0.5÷0.4=0.875

所以當(dāng)我從這兩個(gè)容器里任意抽出了一個(gè)紅球時(shí)，我對(duì)“這個(gè)球來(lái)自容器 A ”的這個(gè)信念的置信度為87.5%

【舉例】

一個(gè)商店出售A、B兩種類(lèi)型的箱子，兩種箱子的數(shù)量是一樣的，各自50%

“兩種箱子的數(shù)量是一樣的，各自50%”，這句話意思是指商店出售的A、B兩種箱子的比例是均等的，即每種箱子的數(shù)量都占50%。

概率在這里表示的是每種箱子被售貨員賣(mài)給你的可能性，因?yàn)槭圬泦T是隨機(jī)選擇一個(gè)箱子賣(mài)給你的，所以A類(lèi)箱子和B類(lèi)箱子被選擇的概率均為50%。

他們的區(qū)別是， A類(lèi)型的箱子里面70%是紅色球， B類(lèi)型的箱子里面20%是紅色球

售貨員隨機(jī)賣(mài)我一個(gè)箱子

我想知道：我手里的箱子是A類(lèi)箱子的概率有多大？

于是我就從里面取出一個(gè)球，發(fā)現(xiàn)是紅色球

假設(shè)『事件A』：我手里的箱子是A類(lèi)箱子

P(A)結(jié)局，通常是問(wèn)題的后半句

假設(shè)『事件B』：從里面取出一個(gè)球，發(fā)現(xiàn)是紅色球

P(B)來(lái)源前提，通常是問(wèn)題的前半句。

這里的順序是事件發(fā)生的因果事件順序，先有『事件B』再有『事件A』，不是機(jī)械的語(yǔ)言表達(dá)先后順序。

P(A)=0.5

因?yàn)橹挥袃蓚€(gè)箱子，我手里的箱子是A類(lèi)箱子概率是二分之一

P(B)=0.5×0.7+0.5×0.2=0.45

首先要明確P(B)表示從任意箱子中（包括A箱子和B箱子）抽取紅球的概率。

需要考慮選中的紅球來(lái)自A類(lèi)箱子和B類(lèi)箱子的情況，以及選擇A類(lèi)箱子和B類(lèi)箱子的概率。

?P(B)的計(jì)算是：1.通過(guò)考慮兩種箱子被選擇的概率，2.進(jìn)而計(jì)算選中的紅球的概率。?

因此需要考慮兩種情況：從A類(lèi)箱子中抽取紅球（概率為P(B|A)）和從B類(lèi)箱子中抽取紅球（概率為P(B|B)）。

由于兩種箱子的被選概率均為50%：

（“兩種箱子的數(shù)量是一樣的，各自50%”）

（即P(A)=P(B)=0.5。此處P(A)特指選擇A類(lèi)箱子的概率，P(B)特指從任意箱子中抽取紅球的概率。）

所以可以進(jìn)行如下計(jì)算：

P(B) = P(B|A) * P(A) + P(B|B) * P(B)

= 0.7 * 0.5 + 0.2 * 0.5

= 0.45

其中0.7和0.2來(lái)源于這句話：“他們的區(qū)別是， A類(lèi)型的箱子里面70%是紅色球， B類(lèi)型的箱子里面20%是紅色球”

P(B|A)=0.7

P(B|A) 的意思是當(dāng)A發(fā)生后B發(fā)生的概率，強(qiáng)調(diào)兩個(gè)條件之間的聯(lián)系。P(A)或P(B)只強(qiáng)調(diào)單一條件，無(wú)視與其他條件的聯(lián)系。

注意P(B|A)中，A是第一發(fā)生順序。

這個(gè)例子中P(B|A) 意思是“當(dāng)我手里的箱子是A類(lèi)箱子”，“從里面取出一個(gè)球，發(fā)現(xiàn)是紅色球”的概率。

因?yàn)橐阎八麄兊膮^(qū)別是， A類(lèi)型的箱子里面70%是紅色球， B類(lèi)型的箱子里面20%是紅色球”

所以概率0.7，無(wú)需計(jì)算

公式：0.7×0.5÷0.45=0.777778

【舉例】

之后我又從箱里面取出一個(gè)球，發(fā)現(xiàn)還是紅色球。我想知道：我手里的箱子是A類(lèi)箱子的概率有多大？

設(shè)事件A為我手里的箱子是A類(lèi)箱子，事件B為從里面取出的第二個(gè)球是紅色球。

和之前的假設(shè)，區(qū)別只在于“第二個(gè)球”

P(A)=原來(lái)置信度=上一次計(jì)算得到的結(jié)果=0.77

●在你取出第二個(gè)紅球后，可以繼續(xù)使用貝葉斯公式來(lái)計(jì)算手里的箱子是A類(lèi)箱子的概率。

●貝葉斯公式里P(A)代表原來(lái)置信度

P(B)=1-P(A)=0.23

我對(duì)“我手里的箱子是A類(lèi)箱子”這一信念的置信度是0.77，那么反過(guò)來(lái)就可以推理出：

我對(duì)“我手里的箱子是B類(lèi)箱子”這一信念的置信度是0.23

P(B|A) =從A類(lèi)箱子中取出紅色球的概率=0.7

P(B|B) =從B類(lèi)箱子中取出紅色球的概率=0.2

“他們的區(qū)別是， A類(lèi)型的箱子里面70%是紅色球， B類(lèi)型的箱子里面20%是紅色球”

P(B)=0.77×0.7+（1-0.77）×0.2

P(B)表示從任意箱子中取出第二個(gè)紅球的概率，可以通過(guò)考慮兩種情況得到：

P(B) = P(B|A) * P(A) + P(B|B) * P(B)?

= 0.7 * 0.77 + 0.2 * (1 - 0.77)?

= 0.539 + 0.046?

= 0.585?

貝葉斯公式P(A|B) = P(B|A) × P(A) ÷ P(B)?

= 0.7 * 0.77 / 0.585?

≈ 0.922?

說(shuō)明在取出第二個(gè)紅球后，我對(duì)“我手里的箱子是A類(lèi)箱子”這一置信度增加，變?yōu)?2%