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波束成形(Beamforming)的數(shù)學推導(二)---從發(fā)射端看

2022-07-21 23:19 作者:樂吧的數(shù)學 0人讀過 | 我要投稿

(根據(jù)本文錄制的小視頻： https://www.bilibili.com/video/BV1qa411g7JG/）

在上一篇文章中，我們用淺顯的語言，講解了波束賦形的基本數(shù)學原理。在那篇文章中，我們是讓所有的發(fā)射天線發(fā)送相同的信號，然后測量了在不同位置上接收天線接收到的信號的強度，結(jié)果是在垂直于發(fā)射天線陣列的方向上，信號強度最大。

那么，如何讓指定方向上的接收天線能接收到最大強度的信號呢？一種很笨的方法，就是調(diào)整天線陣列的物理位置，使得垂直與發(fā)射天線陣列的方向，剛好指向接收者，雖然這個方法很笨，但是，可以方便我們理解后面的原理。實際上，從垂直與發(fā)射天線陣列的角度看，因為接收者在垂直方向，那么每個發(fā)射天線發(fā)射來的電磁波，都是以相同的相位抵達的，則剛好可以產(chǎn)生信號疊加的效果（沒有信號相互抵消的），那么，在接收者不在垂直方向時，我們能否制造出來相同的效果：就是讓每個發(fā)射天線發(fā)射來的電磁波，都是以相同相位的抵達接收天線？

如下圖所示：

不在垂直方向上的接收者，接收不同發(fā)射天線來的電磁波，因為電磁波走的距離不同，從而造成了相位差異，那么，我們可以讓天線上發(fā)出來的信號，提前把相位差異考慮進去，改變發(fā)射的信號，來抵消相位的差異。

我們用上一篇文章中的那個圖來分析：

以第一根天線為基準，第一根天線上發(fā)射的信號是 S ( 復數(shù)，含有幅度和相位），那么第二根發(fā)射天線發(fā)出的信號，抵達接收者后，與第一根天線發(fā)射的信號抵達接收者之間的相位差是?? $e%5E%7Bj%5Cpsi%7D$ ，所以，我們可以把第二根發(fā)射天線發(fā)出的信號，提前把相位抵消掉，在第一根天線的信號基礎(chǔ)上，乘以? $e%5E%7B-j%5Cpsi%7D$ 后，再從第二根發(fā)射天線上發(fā)射出去，同理，對第三根發(fā)射天線，把原始信號 S 乘以 $e%5E%7B-j2%5Cpsi%7D$ 后再從第三根發(fā)射天線上發(fā)射出去，以此類推，直到第 N 根發(fā)射天線，把原始信號 S 乘以? $e%5E%7B-j%EF%BC%88N-1)%5Cpsi%7D$ 后再從第N根發(fā)射天線上發(fā)射出去.

從以上的分析可以看出，再指定的那個方位上，接收天線應該能接收到最大強度的信號。下面，用數(shù)學公式來分析一下。

N 根發(fā)射天線上發(fā)出的信號為：

$S%2C%20%5Cquad%20S*e%5E%7B-j%5Cpsi_0%7D%2C%20%5Cquad%20S*e%5E%7B-j2%5Cpsi_0%7D%2C%20%5Ccdots%2C%5Cquad%20S*e%5E%7B-j(N-1)%5Cpsi_0%7D$

在上一篇文章中，我們已經(jīng)得出 $%20%5Cpsi_0%20%3D%20%5Cfrac%7B2%5Cpi%20d%20cos(%5Ctheta_0)%7D%7B%5Clambda%7D$ ，若令? $d%20%3D%20%5Clambda%20%2F2$ , 則 $%5Cpsi_0%20%3D%20%20%5Cpi%20cos(%5Ctheta_0)$ , 其中? $%5Ctheta_0$ 是接收天線所在的方位角。

那么，在任意指定的方位角? $%5Ctheta$ 上，從 N 根發(fā)射天線接收到的信號，由于無線電波走的路徑長度有差異，導致空中傳輸?shù)男盘?，有不同的相位延遲，延遲的相位分別為：

$0%2C%5Cquad%20%5Cphi%20%2C%5Cquad%202%5Cphi%2C%5Ccdots%2C%20%2C%5Cquad%20(N-1)%5Cphi$

其中 $\psi =? \pi cos(\theta)$，由于我們是在頻域做的分析，所以，相當與每個發(fā)射天線上發(fā)射出來的信號，被分別乘以：

$1%2C%5Cquad%20e%5E%7Bj%5Cpsi%7D%2C%5Cquad%20e%5E%7Bj2%5Cpsi%7D%2C%5Ccdots%2C%2C%5Cquad%20e%5E%7Bj(N-1)%5Cpsi%7D$

則接收天線從每個發(fā)射天線接收到的信號分別為：

$S%2C%20%5Cquad%20S*e%5E%7B-j%5Cpsi_0%7De%5E%7Bj%5Cpsi%7D%2C%20%5Cquad%20S*e%5E%7B-j2%5Cpsi_0%7De%5E%7Bj2%5Cpsi%7D%2C%20%5Ccdots%2C%5Cquad%20S*e%5E%7B-j(N-1)%5Cpsi_0%7De%5E%7Bj(N-1)%5Cpsi%7D$

整理一下：
$S%2C%20%5Cquad%20S*e%5E%7Bj(%5Cpsi-%5Cpsi_0)%7D%2C%20%5Cquad%20S*e%5E%7Bj2(%5Cpsi-%5Cpsi_0)%7D%2C%20%5Ccdots%2C%5Cquad%20S*e%5E%7Bj(N-1)(%5Cpsi-%5Cpsi_0)%7D$

則接收天線最終收到的信號是對以上信號求和(額為除了個 N，只是為了能量歸一化，不影響分析）：

$%5Cfrac%7B1%7D%7BN%7D%5Csum_%7Bk%3D0%7D%5E%7BN-1%7DS%20e%5E%7Bjk(%5Cpsi-%5Cpsi_0)%7D%20%3D%20S%20%5Cfrac%7B1%7D%7BN%7D%5Csum_%7Bk%3D0%7D%5E%7BN-1%7D%20e%5E%7Bjk(%5Cpsi-%5Cpsi_0)%7D$

對增益的部分做等比數(shù)列求和：

$%5Cfrac%7B1%7D%7BN%7D%5Csum_%7Bk%3D0%7D%5E%7BN-1%7D%20e%5E%7Bjk(%5Cpsi-%5Cpsi_0)%7D%20%3D%0A%5Cbegin%7Bcases%7D%0A%20%7C%5Cfrac%7Bsin(N(%5Cpsi-%5Cpsi_0)%2F2)%7D%7BN%20sin((%5Cpsi-%5Cpsi_0)%2F2)%7D%7C%20%26%20%5Ctext%7B%20if%20%7D%20%5Cpsi-%5Cpsi_0%20%5Cneq%200%20%20%5C%5C%0A%201%20%26%20%5Ctext%7B%20if%20%7D%20%5Cpsi-%5Cpsi_0%20%3D%200%0A%5Cend%7Bcases%7D$

可以看出，當? $%5Cpsi%20%3D%20%5Cpsi_0$ 時，信號的強度最大，也就是? $%5Ctheta%3D%5Ctheta_0$ 時信號強度最大，這樣就實現(xiàn)了在接收天線方位角? $%5Ctheta_0$ 方向上，信號強度最大，實現(xiàn)了 “指哪兒打哪兒".

下面以 ? $%5Ctheta_0%3D%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B6%7D$ 為例，讓 $%5Ctheta%20%5Cin%20%5B0%2C2%5Cpi%5D%20$ ，在極坐標上畫出來信號強度的圖：