最近看到有人做視頻講一道初中競(jìng)賽題：

計(jì)算√65-√63，結(jié)果保留兩位小數(shù)。

我初中三年參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽拿了三個(gè)銅牌，但這個(gè)題當(dāng)時(shí)的我大概率不會(huì)做。但是現(xiàn)在學(xué)了高級(jí)的方法，碰巧是可以手算這個(gè)問(wèn)題的。

鋪墊（可以先看應(yīng)用再回過(guò)頭來(lái)看）：

在數(shù)值分析中常用到一類(lèi)公式叫差分，也就是要求函數(shù)在某個(gè)點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值，不用解析式去求（往往解析式不可知），而是用這個(gè)點(diǎn)附近的一些函數(shù)值做簡(jiǎn)單的加減乘除計(jì)算去求。一個(gè)常用的一階導(dǎo)數(shù)的公式是：

這個(gè)公式翻譯一下就是：如果要計(jì)算函數(shù)f(x)在某一點(diǎn)x的一階導(dǎo)數(shù)值，那么可以用點(diǎn)x+Δx和點(diǎn)x-Δx處的函數(shù)值作差，然后除以這兩點(diǎn)之間x方向的距離2Δx。這個(gè)公式的幾何意義就是，運(yùn)用函數(shù)上某一點(diǎn)左右對(duì)稱(chēng)的兩個(gè)點(diǎn)的割線的斜率近似替代中間這個(gè)點(diǎn)切線的斜率。

為什么這個(gè)公式是成立的呢？微積分里有個(gè)公式叫泰勒展開(kāi)，可以用一系列函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)值表示函數(shù)本身：

泰勒公式翻譯一下就是：

一個(gè)函數(shù)f(x)在x=x0附近任何一點(diǎn)的函數(shù)值都可以寫(xiě)成f(x)在x0處的函數(shù)值f(x0)加上一系列f(x)的導(dǎo)函數(shù)在x0處的值乘以任何一點(diǎn)到x0的距離(x-x0)的乘方再乘以一個(gè)系數(shù)。這個(gè)公式的最后一項(xiàng)是個(gè)余項(xiàng)，是展開(kāi)的誤差。記號(hào)o表示這一項(xiàng)的大小的數(shù)量級(jí)跟緊跟著o的括號(hào)里的量相同。這個(gè)公式很靈活，可以依據(jù)所需要的精度來(lái)決定參與計(jì)算的項(xiàng)數(shù)。

那么f(x+Δx)和f(x-Δx)在x附近的泰勒展開(kāi)分別是：

把兩個(gè)展開(kāi)式作差得到：

繼續(xù)移項(xiàng)變形得：

所以有：

其中⑥的誤差大小為⑤的最后兩項(xiàng)之和，也就是o((Δx)^2)。所以差分精度為二階，意思是每當(dāng)Δx的大小乘以1/2的時(shí)候，誤差項(xiàng)以乘以(1/2)^2的速度減小。所以Δx必須取小于1的值，否則經(jīng)過(guò)乘方計(jì)算后，o((Δx)^2)會(huì)變得更大，從而不可被忽略，繼而影響估算結(jié)果。

解題：

√65=√(64+1)，√63=√(64-1)
這可以看做是f(x)=√x在x=64附近的兩點(diǎn)的函數(shù)值，但是Δx=1會(huì)導(dǎo)致誤差過(guò)大不可控(Δx必須小于1，且越小近似程度越好)

所以√65=(√(1+1/64))*8，√63=(√(1-1/64))*8

可以構(gòu)造函數(shù)f(x)=8√x，取Δx=1/64，則√65=f(1+Δx)，√63=f(1-Δx)

那么有(f(1+Δx)-f(1-Δx))/(2Δx)≈f'(1)

所以f(1+Δx)-f(1-Δx)≈f'(1)*(2Δx)

又有f'(x)=4/√x

所以f(1+Δx)-f(1-Δx)≈(4/√1)*(2*1/64)=1/8=0.125

討論：

誤差數(shù)量級(jí)≤o((Δx)^2)=o(0.000244140625)

用計(jì)算器算得√65-√63≈0.1250038，所以近似計(jì)算相對(duì)誤差約為0.00304%

一個(gè)手算很復(fù)雜的問(wèn)題，運(yùn)用差分公式后，僅僅使用加減乘除和簡(jiǎn)單求導(dǎo)就能估算出來(lái)，且精確到小數(shù)點(diǎn)后五位，相對(duì)誤差約為0.00304%。這在工程上已經(jīng)是精確無(wú)比了。這就是高級(jí)方法的威力。絕大部分理工科到了本科及以上，涉及到的數(shù)學(xué)就是用高級(jí)方法簡(jiǎn)單直接解決高效問(wèn)題。而現(xiàn)在的高考數(shù)學(xué)考的越來(lái)越難，對(duì)初等數(shù)學(xué)的技法的要求越來(lái)越高，這種導(dǎo)向除了有利于學(xué)習(xí)理論數(shù)學(xué)與理論物理的人以外，實(shí)在是本末倒置。