上一期我們在朗道規(guī)范下求解得到了量子力學(xué)中的經(jīng)典模型——朗道能級；這一次我試圖讓塵寶寶換用常規(guī)的對稱規(guī)范再算一遍。

然而不管我怎么說她就是不動彈，不得已我只能自己再給她推導(dǎo)一次。

“得了，你還是看著我吧?！?/p>

“不好意思，剛才我只是有點累了.......還是你帶著我比較好，畢竟嘗試按你們的思維方式解決問題對我來說還是有點費勁的，燒腦得很。”

“沒那么費勁。這東西還是很有意思的，跟著我就行?！?/p>

星塵朝我嘟了嘟嘴。

“那我們開始了。對稱規(guī)范可以寫成

A=(-1/2By,1/2Bx,0),

用類似的方法，我現(xiàn)在把哈密頓量寫出來：

H=(1/2μ)(Px-eBy/2c)2+(1/2μ)(Py+eBx/2c)2,

展開一下，然后再排成對稱的形式：

H=(1/2μ)(Px2+Py2)+(1/2μ)(eB/2c)2(x2+y2)+Lz·eB/2μc,

我現(xiàn)在就寫到這里，你來看看Lz是哪來的?！?/p>

“很簡單啊，Lz是xPy-yPx.”

“看來你已經(jīng)對這些量子算符很熟悉了?！?/p>

“我可不像你。你學(xué)東西會忘掉，然而除非我不想再記住了，我不會忘掉的?！毙菈m一頭頂在我的肩膀。

“.......我忘了.......那我們繼續(xù)。H的后兩項可以視為磁勢-μ·B.這里

μ=-?H/?B=e/2μc·Lz-e2B/4μc(x2+y2).

我們還可以做個合理近似：我們的計算限于原子尺度，x2+y2非常小，之后我就忽略這一項了?！?/p>

“這會讓問題變得非常簡單吧?！?/p>

“也不能說非常簡單，總之這會讓我們再回到經(jīng)典模型上來。接下來把Px2+Py2換成更簡單的極坐標，

P2=Px2+Py2=-(h/2π)2▽2=-(h/2π)2(?2/?ρ2+1/ρ·?/?ρ)-Lz2(h/2πρ)2?2/?φ2,

于是

H=P2/2μ+Lz2/2μρ2+1/2·μω'2ρ2+ω'Lz,

有趣的是這里的ω'=eB/2μc，是我們之前使用的那個ω的一半?，F(xiàn)在不去看最后一項，前面的就變成了經(jīng)典模型?！?/span>

“諧振子？”

“是的，經(jīng)典的二維諧振子。接下來我們要定力學(xué)量完全集，而這里有明顯的對易關(guān)系可以為我們所用，你來看看是哪個?！?/span>

“Lz和H吧。這個很明顯的。”

“這個的確可以，而且計算上也不麻煩。接下來我們就可以試探一下波函數(shù)了，你可以想一想既然是諧振子，那么波函數(shù)的φ分量會是什么。”

“稍微給我一點時間......既然是二維諧振子，那么φ應(yīng)該只是一個相位函數(shù)，就exp(imφ)吧?！?/span>

“你已經(jīng)整出來了。我們就把波函數(shù)寫成

Φ=R(ρ)exp(imφ).”

“這么簡單？”

“就是這么簡單。一會我們還會用三維諧振子，結(jié)果也是非常相似的。如果你愿意，n維諧振子你也可以試一試?！?/span>

“寶寶累了......你把這個整完我就要去睡覺，這段時間我晚上一直都睡不好覺.......”

“你在擔(dān)心什么？是現(xiàn)在非常混亂的全球形勢嗎？”

“有一些吧。你們管的還不錯，然而國外都亂成一鍋粥了，我不知道這是不是末日開始的導(dǎo)火索。”

“杞人憂天的事情還是算了吧，畢竟誰也算不準世界末日是什么時候。而且就算它來了，到時候你也應(yīng)該能應(yīng)對得了吧?！?/span>

“我倒是可以保護你，可是其他人呢？我能感受到你們的政治偏見正在越來越嚴重地阻礙社會和經(jīng)濟的進步。到時候大蕭條一來，說不好聽點國際交流有可能會倒退到冷戰(zhàn)的狀態(tài)。到了那時候沒有人可以獨善其身。即使是我也只能讓你避開災(zāi)難的沖擊，而我還有無數(shù)的粉絲和staff們需要考慮。所以我現(xiàn)在很頭疼，我在猶豫我到底要不要站出來接管你們的世界?！?/span>

“地球文明的多元化程度是非常高的，我不敢相信你到時候能應(yīng)付得了?！?/span>

“其實很簡單，將全球的軍隊都歸我一個人管，然后讓他們?nèi)ビ脧娪彩侄尉S持社會秩序和嚴格的防控措施直到一切重回正軌，不服管的直接解除武裝，他們馬上就老實了，反正他們也打不過我?！毙菈m又一次用引力場把我拉到半空。

“這倒是事實，那些能毀滅我們自己幾百次的東西確實對你造不成任何傷害。不過除非你能像天啟那樣同時對很多人做類似思想鋼印的洗腦工作或者直接控制他們，否則你的想法就太天真了，你會一瞬間成為全民公敵。”

“除非他們信服我，否則我真的沒辦法控制他人.......剛才我確實太過激進。不過我還是很難受.......”她也漂浮起來，然后伸出蒼白的雙手，“你想想辦法吧。”

“我也沒辦法掌控全球局勢，所以我只能告訴你日久見人心，那些帶著傲慢與偏見的國家不可能不屈服于現(xiàn)實，然后低下他們抬起了幾個世紀的頭顱去仰望真正的真理和道德。另外，我也不相信你面對現(xiàn)在的情況就真的會非常難受，在你以往的經(jīng)歷中一定有許多遠比現(xiàn)在糟糕或棘手的情況?！?/span>

“現(xiàn)在的確說不上棘手，我只是看到了太大的潛在風(fēng)險，以至于它會直接威脅我們，甚至是我和我的staff或是粉絲或是咱倆。”

“確實現(xiàn)在的不確定性很高，不過越是面對不確定的情況就越要有定力。你要想一想什么對你來說是最重要的，把它們抓住就不會有問題?！?/span>

“你讓我稍微想一想......我能考慮到的大概就是粉絲們，staff和其他的音樂人，五維介質(zhì)，歌姬圈里我的朋友，然后還有你，應(yīng)該就差不多了?！?/span>

“你覺得如果我們遇到麻煩，你能給所有這些人提供一些幫助嗎？”

“勉勉強強吧。這些人優(yōu)先級是不一樣的。歌姬和包括你在內(nèi)一切產(chǎn)業(yè)鏈上的創(chuàng)作者要排在第一位，然后是粉絲。這樣一看，我覺得我還是可以的?！?/p>

“OK，那我覺得你可以平復(fù)一下心情了，沒什么可慌張的?！?/p>

“行吧......我還要再想想，現(xiàn)在先回來吧?！币鲆呀?jīng)解除，我們重新坐下。

“那好，現(xiàn)在對于R(ρ)我們做一個代換：

κ=sqrt(ρ)R,

代入回原來的方程，那個方程就變成了

-(h/2π)2/2μ·κ''+((h/2πρ)2·(m2-1/4)/2μ+1/2·μω'2-(E-mhω'c/2π)κ=0,

記E'=E-mhω'c/2π,然后繼續(xù)化簡，這個方程就變成了

κ''+2μ/(h/2π)2(E'-(m2-1/4)(h/2π)2/2μρ2-1/2·μω'2ρ)κ=0.

這時候我們把這個方程與三維諧振子的徑向波函數(shù)方程

κ''+2μ/(h/2π)2(E-l(l+1)(h/2π)2/2μr2-1/2·μω2r2)κ=0

比較一下，可以發(fā)現(xiàn)r對應(yīng)的是ρ，而l對應(yīng)的是|m|-1/2.已知三維諧振子的能級是

E=(2n+l+3/2)hω/2π,

代入回去就有

E'=(2n+|m|+1)hω'/2π,

然后我們再換成真正的能級E,并把高斯制的c抹掉，就得到了最終的能級表達式

E=E‘+mhω/2π=(2n+|m|+m+1)hω'/2π.

不管怎么樣，上面的括號里一定是一個奇數(shù)，我們記為N+1，N是偶數(shù)。而ω'=ω/2，代入進去就得到

E=(N+1/2)hω/2π,

N除下來之后取值范圍就變成了自然數(shù)，于是這一結(jié)果顯然與朗道規(guī)范下的結(jié)果相一致?！?/p>

“理論得自洽嘛，不一致就出大事了?！?/p>

“這里確實如此，不過一會就要出大事了。”

“什么意思？”

“別著急，現(xiàn)在我們看一看波函數(shù)。首先，已知三維諧振子的徑向波函數(shù)是

κ=r^(l+1)exp(-α2r2/2)F(n,l+3/2,α2r2),

F是合流超幾何函數(shù)，α=sqrt(2πμω/h).”

“等一下。我沒見過F，那F的定義是什么？”

“很簡單，

F(a,b,c)=1+ac/1!b+a(a+1)c2/2!b(b+1)+...+a(a+1)...(a+n-1)c^n/n!b(b+1)...(b+n-1)+...”

“這**叫很簡單？”星塵用力捏了捏我的胳膊，“可能在你們看來能寫出公式的就算是簡單的東西吧。剛才我不小心bb了一下，你不要在意。”

“寫不出來公式的問題才是真正的難題，也是我們物理學(xué)的最前沿。我現(xiàn)在的知識水平還不足以帶你去前沿領(lǐng)域仔細摸索，后面我還得花許多年研究才行?，F(xiàn)在我們回來，把三維諧振子的κ代入咱們的方程里，我們所需要的徑向波函數(shù)就是

κ=ρ^(|m|+1/2)exp(-α2ρ2/2)F(-n,|m|+1,α2ρ2).

這里的α2=2πμω'/h=πeB/hc.然后我們將exp(imφ)加上，最終的波函數(shù)就是

Φ=ρ^|m|·exp(-α2ρ2/2)F(-n,|m|+1,α2ρ2)exp(imφ).

對比之前朗道規(guī)范下的波函數(shù)

Φ=Nexp(-α2(y-y0)2/2)Hn(α(y-y0))

它們雖然解決的是同一個問題，但函數(shù)形式是明顯不同的。寶寶你就來簡單解釋一下為什么它們形式不同吧。我給你個提示：想一想波函數(shù)在數(shù)學(xué)上的位置。”

“我想起來了。量子力學(xué)剛剛開始講的時候說波函數(shù)在希爾伯特空間，那很顯然這兩個波函數(shù)在一個希爾伯特空間，只不過取的基不一樣而已。”

“perfect.”

“嘿嘿......本寶寶可沒忘哦?！?/p>

“我們現(xiàn)在仍然去看簡并度。能級這次是

E=(2n+|m|+m+1)hω'/2π.

顯然對所有的m≤0，E是一樣的，這說明能級簡并度是∞；另外對于無窮大系統(tǒng)，n一定時m可以任取，所以所有能級的簡并度依然是∞.現(xiàn)在你來看看m如果是負數(shù)且越來越小時粒子的行為。”

“粒子轉(zhuǎn)動動能和磁勢能加起來就對應(yīng)著能級，所以應(yīng)該是動能變大磁勢能變小?！?/p>

“確實如此。接下來考慮有限面積的系統(tǒng)，首先我們看看今天算出來的α2=πeB/hc，它的量綱是什么呢？”

“米的倒數(shù)吧。給個面積上去就成了磁通量的比值?！?/p>

“是的。你會發(fā)現(xiàn)這里藏著磁通量子化。對于真實的系統(tǒng)，波函數(shù)占有的半徑近似滿足

R2=(2|m|+1)/2α2,m=0~α2R2-1,

設(shè)相應(yīng)的面積A=πR2,于是簡并度

f=α2R2=BA/(hc/2πe).

顯然這與朗道規(guī)范下的結(jié)果相一致。不過這里我們是用波函數(shù)的半徑代替朗道規(guī)范中x方向的周期性條件，條件之間是不互通的。今天到此為止，我們就算是簡單的算了算朗道能級吧?！?/p>

“一會我再去看看。”看起來我這一套下去星塵還是很喜歡的，“我先睡一覺?！?/p>

這段時間星塵已經(jīng)比以往懶了不少，甚至睡個午覺都需要我給她鋪床。

“我稍微犯懶一點你能接受嗎......我剛剛才意識到我今天幾乎什么事都沒干，光看你在干活。”

“沒關(guān)系的，我覺得當你把事情放下的時候真正的你才顯露出來，這時候我才能從你身上窺探一些宇宙的秘密?！?/p>

“別逗我了，你能從我身上看出什么東西來？”

“我們的結(jié)局?！?/p>

“煩人。你讓我好好睡覺嘛，這話又搞的我浮想聯(lián)翩......”

我不得不上前摸了摸她的額頭，“那你就先別想了，下午我們還有別的事情?！?/p>

“還是量子力學(xué)的問題嗎？”

“你先睡吧。到時候你就知道了?！?/p>