? ? ? 上一節(jié)我們比較了導(dǎo)數(shù)極限定理與原函數(shù)存在定理，并且提到了導(dǎo)數(shù)極限定理可以用來求一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)。那么針對于函數(shù)求導(dǎo)問題，我們就有三種方法：

? ? ?（1）導(dǎo)數(shù)公式

? ? ?（2）導(dǎo)數(shù)定義

? ? ?（3）導(dǎo)數(shù)極限定理

? ? ?那么這三種方法之間有什么區(qū)別？我們在函數(shù)求導(dǎo)中應(yīng)該利用什么方法？其中公式法是用來求區(qū)間內(nèi)的導(dǎo)函數(shù)，導(dǎo)數(shù)定義和導(dǎo)數(shù)極限定理則是用來求一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)。在實(shí)際求導(dǎo)中，導(dǎo)數(shù)公式使用的最為廣泛。但是導(dǎo)數(shù)公式卻存在失效的情況。在公式法求導(dǎo)結(jié)果中有可能會新增無定義點(diǎn)。那么對于公式法求導(dǎo)結(jié)果的無定義點(diǎn)，我們不能直接判斷導(dǎo)數(shù)不存在，而往往需要通過導(dǎo)數(shù)定義去求這一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)來補(bǔ)齊導(dǎo)函數(shù)在這一點(diǎn)的定義，解決這一點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)公式失效的問題。如題：

? ?

我們使用求導(dǎo)公式求導(dǎo)，結(jié)果為：

? ?我們可以發(fā)現(xiàn)，公式法求導(dǎo)結(jié)果在x=0處無定義。但是f(x)本身卻在x=0處有定義。也就是說公式法求導(dǎo)結(jié)果在原本函數(shù)的基礎(chǔ)上新增了一個無定義點(diǎn)x=0。那么，函數(shù)f(x)在x=0處是否不可導(dǎo)？答案是否定的。我們在x=0處使用導(dǎo)數(shù)定義：

? ? 使用導(dǎo)數(shù)定義之后發(fā)現(xiàn)x=0處的導(dǎo)數(shù)為0，函數(shù)在該點(diǎn)可導(dǎo)。所以導(dǎo)數(shù)公式的求導(dǎo)結(jié)果只是導(dǎo)函數(shù)的一部分，在x=0處導(dǎo)數(shù)公式失效需要使用導(dǎo)數(shù)定義求導(dǎo)。兩者結(jié)果合起來形成導(dǎo)函數(shù)的表達(dá)式，是一個分段函數(shù)。

? ? 那么問題來了。在x=0處只能使用導(dǎo)數(shù)定義求導(dǎo)嗎？我們發(fā)現(xiàn)：

? ?（1）f(x)是初等函數(shù)。初等函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)連續(xù)。而f(x)在x=0處有定義，意味著函數(shù)在該點(diǎn)連續(xù)。

? ?（2）導(dǎo)數(shù)公式的求導(dǎo)結(jié)果在x=0的去心鄰域內(nèi)有定義，意味著函數(shù)在x=0的去心鄰域內(nèi)可導(dǎo)。

?? 函數(shù)連續(xù)，去心鄰域可導(dǎo)，正好滿足導(dǎo)數(shù)極限定理的適用前提。所以在x=0處，除了使用導(dǎo)數(shù)定義，還可以使用導(dǎo)數(shù)極限定理：

? ?可以看到，使用導(dǎo)數(shù)極限定理依然可以計(jì)算出導(dǎo)數(shù)為0。那么針對導(dǎo)數(shù)公式失效的情況，我們選擇導(dǎo)數(shù)定義還是導(dǎo)數(shù)極限定理？導(dǎo)數(shù)極限定理此時有一個巨大的優(yōu)勢，就是它是基于導(dǎo)數(shù)公式的求導(dǎo)結(jié)果進(jìn)行計(jì)算的。導(dǎo)函數(shù)極限的那個導(dǎo)函數(shù)正是公式法的求導(dǎo)結(jié)果。而導(dǎo)數(shù)定義只能拋棄公式法的求導(dǎo)結(jié)果，重新構(gòu)造一個新的極限進(jìn)行計(jì)算。這意味著，在導(dǎo)數(shù)公式失效的情況下，使用導(dǎo)數(shù)極限定理往往更快得到求導(dǎo)結(jié)果。比如例題2：

? ? 可以看到，求導(dǎo)公式在x=0處失效。那么請問函數(shù)在x=0處可導(dǎo)嗎？可以發(fā)現(xiàn)，利用導(dǎo)函數(shù)極限定理可以立刻判斷不可導(dǎo)，因?yàn)閷?dǎo)數(shù)極限為無窮。而如果利用導(dǎo)數(shù)定義你得重新構(gòu)造一個極限。

? ?由于導(dǎo)數(shù)極限定理的兩個前提條件，很多人錯誤地認(rèn)為導(dǎo)函數(shù)極限定理對做題沒有幫助。實(shí)際上它是優(yōu)于導(dǎo)數(shù)定義的。因?yàn)樵诰唧w函數(shù)求導(dǎo)時，這兩個條件往往天然滿足。

? （1）連續(xù)性。初等函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)連續(xù)，間斷點(diǎn)要么出現(xiàn)在無定義點(diǎn)處，要么出現(xiàn)在分段函數(shù)的分段點(diǎn)。所以連續(xù)性很好滿足。

? （2）去心鄰域可導(dǎo)。導(dǎo)數(shù)極限定理是基于公式法的求導(dǎo)結(jié)果的。而求導(dǎo)結(jié)果在去心鄰域有定義保證了可導(dǎo)性。

? ?導(dǎo)數(shù)極限定理優(yōu)于導(dǎo)數(shù)定義的地方正是在于它是基于導(dǎo)數(shù)公式的，是直接在求導(dǎo)結(jié)果上計(jì)算極限的，而無需構(gòu)造新的極限式子。此外，分段函數(shù)分段點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)也可以利用導(dǎo)數(shù)極限定理進(jìn)行求取。