一、數(shù)值與數(shù)制

數(shù)值就是數(shù)據(jù)的真值，怎么來(lái)記錄某個(gè)數(shù)的值呢？就引出了數(shù)制的概念，也稱計(jì)數(shù)制，根據(jù)計(jì)數(shù)規(guī)則和特點(diǎn)的不同，分為進(jìn)位計(jì)數(shù)制和非進(jìn)位計(jì)數(shù)制。

1）?????? 非進(jìn)位計(jì)數(shù)制：表示數(shù)值大小的數(shù)碼與它在數(shù)中的位置無(wú)關(guān)或不采用進(jìn)位原則的計(jì)數(shù)體制。?

代表：羅馬數(shù)字。（該計(jì)數(shù)制與計(jì)算機(jī)組成沒(méi)直接關(guān)系，這里不討論了，感興趣可自行查閱）

2）?????? 進(jìn)位計(jì)數(shù)制：表示數(shù)值大小的數(shù)碼與它在數(shù)中的位置有關(guān)，采用進(jìn)位原則的計(jì)數(shù)體制。

代表：日常生活中的十進(jìn)制，中國(guó)古人的天干、地支計(jì)年發(fā)，時(shí)間的60進(jìn)制、12進(jìn)制、24進(jìn)制等等。

計(jì)算機(jī)：二進(jìn)制，16進(jìn)制和8進(jìn)制是二進(jìn)制的助記方式，看了后面的進(jìn)制轉(zhuǎn)換就理解這一點(diǎn)了。

所以在計(jì)算機(jī)世界里，一定要熟悉二進(jìn)制?。。?！

我們這里不是講數(shù)學(xué)，其他的任意進(jìn)制就不提了，這里只介紹計(jì)算機(jī)里用的最多的十進(jìn)制、二進(jìn)制、十六進(jìn)制（八進(jìn)制在計(jì)算機(jī)里用的也不多（例如Linux文件系統(tǒng)中文件的訪問(wèn)權(quán)限每一位對(duì)應(yīng)一種rwx，3位二進(jìn)制正好對(duì)應(yīng)一位八進(jìn)制，轉(zhuǎn)換方式類似十六進(jìn)制，可以用后面介紹的直接替換法），后面就不單獨(dú)介紹了。

在進(jìn)位計(jì)數(shù)制中有重要的兩個(gè)概念：基數(shù)和位權(quán)。

1）?????? 基數(shù)：表示某進(jìn)位制所具有的數(shù)字符號(hào)的個(gè)數(shù)。

例如：????十進(jìn)制的基數(shù)：0~9（10個(gè)符號(hào)）；

????????? ? ? ?二進(jìn)制的基數(shù)：0~1（2個(gè)符號(hào)）；

????????????? ?十六進(jìn)制的基數(shù)：數(shù)字0~9，字母A~F（16個(gè)符號(hào)）；

十進(jìn)制與二進(jìn)制和十六進(jìn)制之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系如下表：

所謂進(jìn)位計(jì)數(shù)制，從表里也能看出來(lái)，就是逢幾進(jìn)一，十進(jìn)制是逢十進(jìn)一，二進(jìn)制是逢二進(jìn)一，十六進(jìn)制是逢十六進(jìn)一。

2）?????? 位權(quán)（簡(jiǎn)稱權(quán)）：表示某進(jìn)位制的數(shù)中不同位置上數(shù)字的權(quán)重（基數(shù)^位權(quán)）。

例如：十進(jìn)制數(shù)135.79，1的權(quán)重就是10^2，3的權(quán)重就是10^1，5的權(quán)重就是10^0，7的權(quán)重就是10^-1，9的權(quán)重就是10^-2；

二進(jìn)制數(shù)101.1，從左到右1的權(quán)重分別是2^2、2^0 、2^-1；

十六進(jìn)制數(shù)A7.C，A（相當(dāng)于十進(jìn)制的10）的權(quán)重就是16^1；7的權(quán)重就是16^0，C（相當(dāng)于十進(jìn)制的12）的權(quán)重就是16^-1；

有了基數(shù)和權(quán)的概念，進(jìn)制計(jì)數(shù)的兩種表示方式之間的關(guān)系就一目了然了：

1）?????? 并列表示法：

如十進(jìn)制數(shù)（4562）10、二進(jìn)制數(shù)（01101111）2、十六進(jìn)制數(shù)（A7BF）16, 也常用B代表二進(jìn)制，H代表16進(jìn)制（或前綴加0x），D代表十進(jìn)制（沒(méi)標(biāo)注，默認(rèn)是10進(jìn)制）。

2）?????? 多項(xiàng)式表示法：

如M進(jìn)制數(shù)（N）M＝dn-1(M)n-1十dn-2(M)n-2十…十d1(M)1十d0(M)0十d-1(M)-1十 d-2(M)-2十…十d-m(M)-m＝

等號(hào)左邊是它的并列表示法，右邊是它的多項(xiàng)式表示法。

人類世界是十進(jìn)制的，計(jì)算機(jī)是二進(jìn)制的，我們要熟悉計(jì)算機(jī)里的數(shù)據(jù)表示形式，就要熟練掌握十進(jìn)制與二進(jìn)制之間的相互轉(zhuǎn)換。

二、進(jìn)制轉(zhuǎn)換

1）任意進(jìn)制轉(zhuǎn)換為十進(jìn)制（當(dāng)然包括二進(jìn)制和十六進(jìn)制轉(zhuǎn)換為十進(jìn)制）的方法：

任意進(jìn)制數(shù)按它自己的基數(shù)加權(quán)以十進(jìn)制展開(kāi)后，進(jìn)行的十進(jìn)制運(yùn)算得到的結(jié)果就是它對(duì)應(yīng)的十進(jìn)制數(shù)制表示。

例如：二進(jìn)制數(shù)1101.101轉(zhuǎn)換為對(duì)應(yīng)的十進(jìn)制數(shù)，

（1101.101）2 ＝（1×2^3十1×2^2十0×2^1十1×2^0十1×2^-1十0×2^-2＋1×2^-3）10

＝（8＋4十1十0.5＋0.125）10 ＝（13．625）10

十六進(jìn)制數(shù)1101.101轉(zhuǎn)換為對(duì)應(yīng)的十進(jìn)制數(shù)，

（BD8.4）16 ＝（11×16^2十13×16^1十8×16^0十4×16^-1）10 ＝（2816十208十8十0.25）10 ＝（3032.25）10

?

2）?????? 將十進(jìn)制轉(zhuǎn)換為二進(jìn)制或十六進(jìn)制

A.?? 基數(shù)乘除法：基數(shù)乘／除法分為基數(shù)乘法和基數(shù)除法兩種，整數(shù)部分用除法，小數(shù)部分用乘法。

例如：（25.6875）10 ＝（？）2，（687.3）10＝（？）16

整數(shù)部分除以2或16取余數(shù)，除到商為零為止，將每次得到的余數(shù)，按照小數(shù)點(diǎn)在頭頂的順序排列，什么意思呢？過(guò)程如下：

（25）10 ＝（11001）2

??

?（678）10 ＝（2AF）16

? ? ??

小數(shù)部分乘以2或16取整數(shù)，乘到小數(shù)部分為零為止（有些時(shí)候達(dá)不到，只能取近似值，例如十進(jìn)制0.32以二進(jìn)制表示只能取近似），將每次得到的整數(shù)，按照小數(shù)點(diǎn)在頭頂的順序排列，過(guò)程如下：

綜上：（25.6875）10 ＝（11001.1011）2，（687.3）10＝（2AF.4CC……）16

B.??? 降冪法

適合數(shù)值較小的十進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換為二進(jìn)制數(shù)，因?yàn)椋?/span>

2^10 = 1024， 2^9 = 512， 2^8 = 256， 2^7 = 128， 2^6 = 64, ……

可將十進(jìn)制數(shù)直接拆分成2的整數(shù)次冪求和式，從而得到對(duì)應(yīng)的二進(jìn)制數(shù)，例如：

（1234）10 = 1024 + 128 + 64 + 16+ 2 =2^10 + 2^7 + 2^6 + 2^4+ 2^1=（10011010010）2

3）???????? 二進(jìn)制與十六進(jìn)制之間的轉(zhuǎn)換---直接替換法

一位十六進(jìn)制數(shù)對(duì)應(yīng)4位二進(jìn)制數(shù)：

十六進(jìn)制0? ?? 1? ? ? 2????? 3???? 4???? ?5? ? ? 6???? 7???? 8??? ?9???? A??? B? ? ? C???? D???? E???? F

二進(jìn)制0000? 0001? 0010? 0011? 0100? 0101? 0110?? 0111? 1000? l001? 1010? 1011? 1100? 1101? 1110? 1111

例如：將二進(jìn)制數(shù)1010110110.110111轉(zhuǎn)換為十六進(jìn)制數(shù)。

注意補(bǔ)零的位置：首尾補(bǔ)零。

所以??????? （1010110110.110111）2＝（2B6.DC）16

??? 例2.4? 將十六進(jìn)制數(shù)5D.6E轉(zhuǎn)換為二進(jìn)制數(shù)。

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??

所以? （5D.6E）16＝（1011101．0110111）2

最后要把首尾的零去掉。

本文只介紹計(jì)算機(jī)中常用的進(jìn)制間轉(zhuǎn)換方法，任意進(jìn)制間轉(zhuǎn)換（屬于數(shù)學(xué)問(wèn)題）的其他方法感興趣的可自行查閱。

本文介紹的轉(zhuǎn)化方法都是有數(shù)學(xué)證明的，本文只介紹怎么用，對(duì)原因感興趣的可自行查閱。

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