上次我們算出了三角形的高，中線，角平分線的公式，當(dāng)時(shí)我算出來(lái)的高的公式是√(-a?-b?-c?+2a2b2+2b2c2+2c2a2)/2c。當(dāng)時(shí)我以為括號(hào)里的式不能再化簡(jiǎn)了，直到后來(lái)看到一個(gè)視頻，講了如何因式分解式子 a?+b?+c?-2a2b2-2b2c2-2c2a2，他將a看作字母，b，c看作數(shù)，進(jìn)行因式分解，但是過(guò)程我不記得了，就順著這個(gè)思路進(jìn)行分解： 原式＝a?-2a2b2-2a2c2+b?+c?-2b2c2 ＝a?-2（b2+c2）a2+b?+c?-2b2c2 ＝a?-2（b2+c2）a2+（b2-c2）2 到這一步后，我一開始想用平方差公式和十字相乘法進(jìn)行因式分解，但是發(fā)現(xiàn)用了平方差后就無(wú)法用十字相乘法分解了。思考了一段時(shí)間后，我想到了配方，： a?-2（b2+c2）a2+b?+c?-2b2c2 ＝a?-2（b2+c2）a2+b?+c?+2b2c2-4b2c2 ＝a?-2（b2+c2）a2+（b2+c2）2-4b2c2 ＝（a2-b2-c2）2-（2bc）2 ＝（a2-b2-c2+2bc）（a2-b2-c2+2bc） 這樣，我們就把這個(gè)式子分解了 所以三角形邊長(zhǎng)為c的邊上的高 h＝√[（a2-b2-c2+2bc）（a2-b2-c2+2bc）]/2c 面積S＝√[（a2-b2-c2+2bc）（a2-b2-c2+2bc）]/4 在求出三角形的中線長(zhǎng)和角平分線長(zhǎng)的公式后，我又想，能不能求出三角形頂點(diǎn)和將它的對(duì)邊分成m,n兩份的點(diǎn)的連線（我稱之為分邊線）的長(zhǎng)度，以及將一個(gè)內(nèi)角分為α和β兩部分的線段（我稱之為分角線）的長(zhǎng)呢？也就是下面兩幅圖中的CD長(zhǎng)

圖1 分邊線

圖2 分角線 （1）分邊線CD 和上次的思路一樣，我仍然用余弦定理得出兩個(gè)等式，然后相減 a2＝m2+l2-2mlcosα ① b2＝n2+l2-2nlcos（180°-α） ＝n2+l2+2nlcosα ② ①-②，得a2-b2 ＝m2-n2-2lcosα（m+n） ＝（m+n）（m-n）-（m+n）2lcosα ＝（m+n）（m-n-2lcosα） ＝c（m-n-2lcosα） ＝mc-nc-2clcosα 所以2clcosα＝mc-nc-a2+b2 由余弦定理可以得到， cosα＝（m2+l2-a2）/（2ml） 所以2cl·（m2+l2-a2）/（2ml） ＝mc-nc-a2+b2 消去2l，兩邊同乘m，得 c（m2+l2-a2）=m2c-mnc-ma2+mb2 所以cm2+cl2-ca2＝m2c-mnc-ma2+mb2 消去cm2，將ca2變?yōu)閙a2+na2并移到右邊，得 cl2＝ma2+na2+mb2-ma2-mnc 約去ma2和-ma2，兩邊同除以c，得 l2＝（na2+mb2-mnc）/c ＝a2n/c+b2m/c+mn 所以l＝√（a2n/c+b2m/c+mn） （2）分角線CD 一開始，我打算用之前的方法，用余弦定理得出兩個(gè)式子，然后不斷變化，得出結(jié)果。但是我發(fā)現(xiàn)這種方法計(jì)算量很大（我懶得算了），所以我放棄了這種方法。 接著，我想到了數(shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)化思想。只要我用a，b，c，α，β表示出m/c，n/c以及mn，就可以直接代入分邊線的公式得出分角線的公式。 這時(shí)就用到了面積法。 由于△BDC和△ADC在BD，AD邊上的高相等，所以 S△BDC∶S△ADC＝BD∶AD 又因?yàn)镾△BDC＝1/2×alsinα S△ADC＝1/2 ×blsinβ 所以S△BDC∶S△ADC＝asinα∶bsinβ 所以asinα∶bsinβ＝BD∶AD＝m∶n 所以m∶n∶c＝asinα：bsinβ：asinα+bsinβ 所以n/c＝bsinβ/（asinα+bsinβ） m/c＝asinα/（asinα+bsinβ） 那么怎么表示mn呢？ 因?yàn)閙∶n∶c＝asinα：bsinβ：asinα+bsinβ 所以我們可以設(shè) c＝k（asinα+bsinβ） m＝kasinα，n＝kbsinβ k＝c/（asinα+bsinβ） 所以mn＝k2absinαsinβ ＝abc2sinαsinβ/（asinα+bsinβ）2 所以l2＝a2n/c+b2m/c+mn ＝a2bsinβ/（asinα+bsinβ）+b2asinα/（asinα+bsinβ）+abc2sinαsinβ/（asinα+bsinβ）2 ＝ab（asinβ+bsinα）（asinα+bsinβ）/（asinα+bsinβ）2+abc2sinαsinβ/（asinα+bsinβ）2 ＝