一、勾股數(shù)的定義

n 維數(shù)組向量中，勾股數(shù)的無窮乘積是勾股數(shù)。

對于勾股數(shù)的無窮乘積是勾股數(shù)的解釋。分別以二維數(shù)組向量與三維數(shù)組向量為例。

首先來看二維數(shù)組向量的情形，例如二維數(shù)組向量 (3,4)，(5,12)，它們的模都是整數(shù)，所以它們都足勾股數(shù)，下面來看這兩個勾股數(shù)的乘積與向量的線性運(yùn)算間的聯(lián)系。

已知勾股數(shù)的乘積是勾股數(shù)，因此，向量(3,4) 與 向量 (5,12) 的乘積是勾股數(shù)，可以通過復(fù)數(shù)的乘法反映出來。

? ? ? (3+4i)(5+12i)＝-33+56i

為了看出復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算與向量的線性運(yùn)算的關(guān)系，我們對上式進(jìn)行一些改動如下。勾股數(shù)的乘積是勾股數(shù)的解釋：復(fù)數(shù)的乘法是一種線性運(yùn)算。

勾股數(shù) 3+4i 與 5+12i 相乘，相當(dāng)于作如下運(yùn)算。

3(5+12i)＝15+36i

4(-12+5i)＝-48+20i

(15+36i)+(-48+20i)＝-33+56i

(3+4i)(5+12i)＝-33+56i

因此，復(fù)數(shù)的乘法就相當(dāng)于向量間在作線性運(yùn)算，它并不局限于勾股數(shù)之間的運(yùn)算，勾股數(shù)之間的線性運(yùn)算只是向量線性運(yùn)算的形式而已。

再比如，復(fù)數(shù) 2+5i 與 7+6i 相乘，相當(dāng)于作如下運(yùn)算。

2(7+6i)＝14+12i

5(-6+7i)＝-30+35i

(14+12i)+(-30+35i)＝-16+47i

(2+5i)(7+6i)＝-16+47i

再比如，勾股數(shù) 3+4i 與 3+4i 相乘，相當(dāng)于作如下運(yùn)算。

3(3+4i)＝9+12i

4(-4+3i)＝-16+12i

(9+12i)+(-16+12i)＝-7+24i

(3+4i)(3+4i)＝-7+24i

......

象這樣的例子不勝枚舉，這迫使我重新認(rèn)識勾股數(shù)，不再把它簡單看作復(fù)數(shù)，而是看作滿足某種條件的 n 維數(shù)組向量，從而把勾股定理看作是與 n 維數(shù)組向量相關(guān)聯(lián)的定理，它對 n 維數(shù)組向量皆成立，而不僅局限于二維數(shù)組向量。同時，在向量的線性運(yùn)算中引入了勾股數(shù)，使得方程具有整數(shù)解。下面給出勾股數(shù)的定義。

勾股數(shù)的定義：勾股數(shù)是這樣一種 n 維數(shù)組向量，它是坐標(biāo)與模都是整數(shù)的 n 維數(shù)組向量。坐標(biāo)與模的關(guān)系服從勾股定理。

寫成公式的形式就是：

k?x?2+k?x?2+...+k?x?2=r*m2? 式中，所有的量都是整數(shù)，且均不為零。

下面這些向量都是勾股數(shù)

(3,4) (3,4,12) (3,4,12,84) (7,6,6) (2,2,

2,2,2,2,2,2,2)......

因?yàn)檫@些向量的坐標(biāo)都是整數(shù)且都滿足勾股定理。

3^2+4^2＝5^2

7^2+6^2+6^2＝11^2

3^2+4^2+12^2＝13^2

3^2+4^2+12^2+84^2＝85^2

2^2+2^2+2^2+2^2+2^2+2^2+2^2+2^2+

2^2=6^2

........

由于勾股數(shù)相乘與向量相乘是一回事，而且是線性運(yùn)算，因此，矩陣作為線性運(yùn)算的工作被引入順理成章。下面就來看看如何用矩陣乘法實(shí)現(xiàn)勾股數(shù)相乘仍然是勾股數(shù)這一命題的。

矩陣A：12? -5? ? 矩陣B： 4? ? ?3

? ? ? ? ? ? ? ? 5? 12? ? ? ? ? ? ? ? ? ?3? ? -4

矩陣A*B? ?33? ? ? 56??

? ? ? ? ? ? ? ? ? 56? ? ?-33

矩陣B*A? ?63? ? ? 16??

? ? ? ? ? ? ? ? ? 16? ? ?-63

從上述運(yùn)算可以看出，矩陣A 和 矩陣B的無論是行向量還是列向量都是勾股數(shù)，矩陣 A*B 或矩陣 B*A 的無論是行向量還是列向量也都是勾股數(shù)，這就和我在之前提出的勾股數(shù)的乘積是勾股數(shù)這一命題相一致，不過之前提出的有局限性，它僅是復(fù)平面上兩個復(fù)數(shù)且是勾股數(shù)的乘積是勾股數(shù)，現(xiàn)在我把這個概念拓展到了 n 維數(shù)組向量上，把勾股數(shù)拓展為符合某種特定條件的 n 維數(shù)組向量，這樣一來，勾股數(shù)的乘積是勾股數(shù)這一命題，就不僅是對復(fù)數(shù)來說，而是對 n 維數(shù)組向量來說，都是成立的。

矩陣相乘相當(dāng)于向量組與向量組相乘，得到一個新的向量組，這與向量與向量相乘沒有本質(zhì)上的區(qū)別。

得出的結(jié)論是：n 維數(shù)組向量中，勾股數(shù)的無窮乘積是勾股數(shù)。

三維勾股數(shù)的乘積也是勾股數(shù)，討論方法與上面的方法相同。例如

勾股數(shù) (3,2,6) 與 勾股數(shù) (1,4,8) 相乘，相當(dāng)于作如下運(yùn)算。

? ?1*3+1*2+1*6= 11

? ?4*3+4*2+4*6= 44

? ?8*3+8*2+8*6= 88

得到一個新的勾股數(shù)：(11,44,88)

把上述運(yùn)算以矩陣乘法表達(dá)如下：

矩陣A：3? 2? 6? ? 矩陣B：1? ?4? ? 8

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?1? ?4? ? 8

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?1? ?4? ? 8

矩陣A*B：11? ? 44? ? 88? ? ?

矩陣A：3? 2? 6? ? 矩陣B：1? ? ?4? ? 8

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?1? ? -4? ? 8

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?1? ? ?4? ? 8

矩陣A*B：11? ? 28? ? 88? ? ?

如果以勾股數(shù) (3,2,6) 與 勾股數(shù) (1,4,8) 為基礎(chǔ)構(gòu)建這樣兩個矩陣作乘法，則會得到一個勾股數(shù)組 (向量組的一種，因向量組中的行向量或列向量均是勾股數(shù)而得名) 。舉例如下：

?矩陣A：3? ? ?2? ? ?6? ? ??

? ? ? ? ? ? ? ?-2? ? -6? ? ?3? ? ?

? ? ? ? ? ? ? ? 6? ? -3? ? -2? ??

?矩陣B：4? ? ?-1? ? ?8? ? ??

? ? ? ? ? ? ? ?-1? ?? 8? ? -4? ? ? ? ? ??

? ? ? ? ? ? ? ? 8? ??-4? ?? ?1? ? ??

矩陣A*B：58? ? -11? ? 22

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 22? ?-58? ? 11

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 11? ?-22? ? 58

矩陣B*A： 62? ?-10? ? ? 5

? ? ? ? ? ? ? ? ? ?-43? ?-38? ? 26

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 38? ? 37? ? 34

可以看出，矩陣A*B 的向行量或列向量均是勾股數(shù)，矩陣B*A 的行向量均是勾股數(shù)，因此，它們都是勾股數(shù)組。

勾股數(shù)與正整數(shù)相乘仍然是勾股數(shù)，也可以用矩陣乘法來表示。例如

矩陣A：Z?(任意正整數(shù))

矩陣B：a?? ?a?? ?a?? …? ?a?

矩陣A*B：Z?a?? Z?a?? Z?a?? …? Z?a?

矩陣A*B 是行向量，它仍然是勾股數(shù)。

二、矩陣乘法滿足交換律

下面僅舉幾例說明＂矩陣乘法滿足交換律＂。

矩陣A：58? -11? ?22

? ? ? ? ? ? ? -22? ?58? -11

? ? ? ? ? ? ? ?11? -22? ?58

矩陣B：? 58? -22? ?11

? ? ? ? ? ? ? ? -11? ?58? -22

? ? ? ? ? ? ? ? ?22? -11? ?58

矩陣A*B：3969? ?-2156? ?2156

? ? ? ? ? ? ? ? ? -2156? ? 3969? -2156

? ? ? ? ? ? ? ? ? ?2156? ?-2156? ?3969

矩陣B*A：3969? ?-2156? ?2156? ?

? ? ? ? ? ? ? ? ? -2156? ? 3969? -2156

? ? ? ? ? ? ? ? ? ?2156? ?-2156? ?3969

矩陣A： 3? ? ? 12? ? ?? 84? ? ? ??4

? ? ? ? ? ? ? 12? ? ? ??3? ? ? ? 4? ? ? ?84

? ? ? ? ? ? ? 84? ? ? ?4? ? ???? 3? ? ???12

? ? ? ? ? ? ? ? 4? ? ?84? ? ?? 12? ? ? ? ? 3

矩陣B：-3? ? ? 12? ? ? ?84? ? ? ? -4

? ? ? ? ? ? ? 12? ? ? ?-3? ? ?? ?-4? ? ?? 84

? ? ? ? ? ? ? 84? ? ?? -4? ? ? ??-3? ? ? ?12

? ? ? ? ? ? ? ?-4? ? ??84? ? ?? 12? ? ?? ?-3

矩陣A*B：7175? ?? ? 0? ? ? ? ?0??? ? ? 1992

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 0? ?? ?7175? 1992??? ? ? 0

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 0? ?? ?7175? 1992??? ? ? 0

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1992? ?? ? 0? ? ? ? ?0??? ? ? 7175

矩陣B*A：7175? ?? ? 0? ? ? ? ?0??? ? ? 1992

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 0? ?? ?7175? 1992??? ? ? 0

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 0? ?? ?7175? 1992??? ? ? 0

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1992? ?? ? 0? ? ? ? ?0??? ? ? 7175

矩陣A：? ?3? ? 2? ? 6

? ? ? ? ? ? ? ? ?-2? ?-6? ? 3

? ? ? ? ? ? ? ? ? 6? ?-3? ?-2

矩陣B：? 3? ?-2? ? 6

? ? ? ? ? ? ? ? ?2? ?-6? ?-3

? ? ? ? ? ? ? ? ?6? ? 3? ?-2

矩陣A*B：49? ?? ?0? ?? ? 0

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?0? ?? 49? ?? ?0

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?0? ?? ?0? ?? ?49

矩陣B*A： 49? ?? ?0??? ? 0

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?0? ?? ?49??? ?0

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?0? ??? ?0??? ?49

從上面一些例子可以看出，矩陣乘法是可以滿足交換律的。

三、勾股定理與線性方程組的聯(lián)系。

n 元 n( n 是任意正整數(shù)) 次方程的一般形式如下：

a?x??+a???x?????1+…+a?x?+a?＝0

規(guī)定：所有的系數(shù)都不為零。

n 元 n 次方程組的形式如下：

k??x?+k??x?2+...+k??x??=b?2

k??x?+k??x?2+...+k??x??=b?2

k??x?+k??x?2+...+k??x??=b?2

......

k??x?+k??x?2+...+k??x??=b?2

方程組的系數(shù)構(gòu)成一個矩陣

? ? ?k??? k??? k??? ...? k??

? ? ?k??? k??? k??? ...? k??

? ? ?k??? k??? k??? ...? k??

? ? ?...? ? ...? ? ...? ? ...? ....

? ? ?k??? k??? k??? ...? k??

n 元二次方程組的形式如下：

k??x?2+k??x?2+...+k??x?2=b?2

k??x?2+k??x?2+...+k??x?2=b?2

k??x?2+k??x?2+...+k??x?2=b?2

.......................

k??x?2+k??x?2+...+k??x?2=b?2

?n 元二次方程組是 n 元 n 次方程組的特殊形式，關(guān)于n 元 n 次方程組的解的結(jié)構(gòu)還不太清楚。

勾股數(shù)與線性方程組的解。

下面是 n 元二次方程組的求解過程，從中可以看出它的解與勾股數(shù)之間的關(guān)系。

首先給出一個 三 元二次方程組：

9x?2+4x?2+16x?2＝172

20x?2+8x?2+4x?2＝222? ? ? ? ? ? ? ?①

x?2+9x?2+7x?2＝192

令 x?2=a，x?2=b，x?2=c，將方程組 ① 變成如下的形式

9a+4b+16c＝289

20a+8b+4c＝484? ? ? ? ? ? ? ?②

a+9b+7c＝361

這是一個線性方程組，下面解這個線性方程組，首先判斷一下這個方程組解的結(jié)構(gòu)。

計(jì)算方程組 ② 的系數(shù)矩陣的秩 R(A)

R(A)＝3

計(jì)算方程組 ② 增廣矩陣的秩? R(A，b)

R(A，b)＝3

由于 R(A)＝R(A，b)＝3

所以方程組 ② 有唯一解，因此，方程組 ① 也有唯一解。

對方程組 ② 構(gòu)成的增廣矩陣作線性變換

9? ? ? 4? ? ? ?16? ? 289

20? ? 8? ? ? ? 4? ? ?484

1? ? ? ?9? ? ? ?7? ? ?361

得到下面的矩陣

9? ? ? ?4? ? ? ? ?16? ? ? ? 289

0? ? ? -8? ? ? -284? ? -1424

0? ? ? ?0? ? ? 2388? ? 9552

上面這個矩陣對應(yīng)下面這個方程組。

9x?+4x?+16x?＝289

-8x?-284x?＝-1424? ? ? ? ? ? ? ?③

2388x?＝9552

求得方程組 ③ 的解為

a=9；b=36；c=4

由于方程組 ② 與方程組 ③ 為同解方程組，因此，此解也是方程組 ② 的解

。

再由 x?2=a，x?2=b，x?2=c，求得方程組 ① 的解。

x?=3，x?2=6，x?2=2

下面這個等式給出了方程組 ① 的解與勾股數(shù) (3,6,2) 的關(guān)系。

x?+x?+x?=32+62+22=72

探討：如果 n 元 n 次方程組的次數(shù)大于 2 ，并且每一項(xiàng)的次數(shù)又都相等，則不論方程組中的系數(shù)取任何不為零的值，方程組都無解，這便是費(fèi)馬大定理在 n 維數(shù)組向量中成立的情況。即下式便是費(fèi)馬大定理更一般的形式。

k?x??+k?x??+...+k?x??≠b??，當(dāng) n＞2時

上式又稱為費(fèi)馬大定理的推廣定理，它對 n 維數(shù)組向量都成立。必須指出的是費(fèi)馬大定理成立的前題是：向量的所有分量皆不相等，且所有分量都不為零。

四、勾股數(shù)函數(shù)。

專指從勾股數(shù)到勾股數(shù)的映射。

例如 A 是一個勾股數(shù)，Z 是一個正整數(shù)，則 Z*A 是一個勾股數(shù)。當(dāng) A＝(3,6,2) ， Z=2 時， Z*A=2(3,6,2)=(6,12,4)。這里的勾股數(shù) A 是 n 維數(shù)組向量。這是一個 A 到 Z*A 的映射。

對于 n 維勾股數(shù) A，存在正整數(shù) Z，使得 A+Z 仍然是勾股數(shù)，這是 A 到 A+Z的映射。例如? A＝(1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21,22,23,24)，存在 Z＝8，使得 A 的每一個元素加 8 后仍然是勾股數(shù)。B＝(3,4) 是勾股數(shù)，存在 Z＝17，使得 B+(17,17)仍然是勾股數(shù)。

A? 滿足勾股定理是勾股數(shù)。

1^2+2^2+3^2+4^2+5^2+6^2+7^2+8^2+9^2+10^2+11^2+12^2+13^2+14^2+15^2+16^2+17^2+18^2+19^2+20^2+21^2+22^2+23^2+24^2＝70^2

A+8? 仍然滿足勾股定理也是勾股數(shù)。

(1+8)^2+(2+8)^2+(3+8)^2+(4+8)^2+(5+8)^2+(6+8)^2+(7+8)^2+(8+8)^2+(9+8)^2+(10+8)^2+(11+8)^2+(12+8)^2+(13+8)^2+(14+8)^2+(15+8)^2+(16+8)^2+(17+8)^2+(18+8)^2+(19+8)^2+(20+8)^2+(21+8)^2+(22+8)^2+(23+8)^2+(24+8)^2＝106^2

n 維勾股數(shù)的乘積是 n 維勾股數(shù)，取其中一個勾股數(shù)作為常向量，當(dāng)另一個勾股數(shù)的值變化時，它們的乘積會有規(guī)律的變化。以二維勾股數(shù)為例說明。當(dāng)常量 A＝(3,4) 時，與(5,12)相乘，結(jié)果得 (-33,56)，也是勾股數(shù)。A 與(8,

15)相乘得 (-36,77)，是勾股數(shù)。因此，如果 (a,b) 是勾股數(shù)，(3,4)*(a,b) 也是勾股數(shù)。

自變量是勾股數(shù)的函數(shù)稱為勾股數(shù)函數(shù)，勾股數(shù)是一種特殊的 n 維數(shù)組向量，它的特殊性在于它的坐標(biāo)值與模長總是整數(shù)。

五、素?cái)?shù)與勾股數(shù)

在二維或三維數(shù)組向量中，如果它們的坐標(biāo)值均為素?cái)?shù)，則它們的坐標(biāo)的平方和不能寫成完全平方數(shù)，即這樣的二維或三維數(shù)組向量的模長不能取整數(shù)值。

以素?cái)?shù)作為坐標(biāo)值的 n 維向量中，4 維向量的模長可取整數(shù)值。例如，向量(5,7,29,151)，它的模長是 154。

5^2+7^2+29^2+151^2＝154^2

由此推斷：至少 4 個素?cái)?shù)的平方和才可以寫成完全平方數(shù)。

9個素?cái)?shù)的平方和中存在完全平方數(shù)。

2^2+5^2+7^2+11^2+13^2+17^2+19^2+23^2+37^2＝54^2

11^2+13^2+17^2+19^2+23^2+29^2+31^2+37^2+137^2＝153^2

16個素?cái)?shù)的平方和中存在完全平方數(shù)

。

11^2+13^2+17^2+19^2+23^2+29^2+31^2+37^2+41^2+47^2+59^2+67^2+71^2+73^2+79^2+83^2＝200^2

猜想：只有4個，9個，16個，25個，36…個不同素?cái)?shù)的平方和才是完全平方數(shù)。

如果 n＞1 維數(shù)組向量的坐標(biāo)值都是素?cái)?shù)，那么，只有當(dāng)數(shù)組向量的維數(shù)與數(shù)列｛4,9,16,25,36…｝中元素的個數(shù)相同時，這樣的數(shù)組向量的模長才有可能取得整數(shù)值。

數(shù)列｛4,9,16,25,36…｝中元素的間隔構(gòu)成等差數(shù)列｛5,7,9,11,13…｝。