games101學(xué)習(xí)筆記01-向量與矩陣變換p3,p4
目錄
一、向量
1.1點(diǎn)乘
表示?運(yùn)算?幾何意義 （向量方向遠(yuǎn)近、判斷前后、投影距離）
1.2叉乘
表示?運(yùn)算?幾何意義 （判斷內(nèi)外，求法線）
二、矩陣變換
2.1二維矩陣變換
線性變換?平移變換?仿射變換
2.2齊次坐標(biāo)下的二維矩陣變換
為什么用齊次坐標(biāo)?齊次坐標(biāo)下的二維矩陣變換?組合變換
2.3齊次坐標(biāo)下的三維矩陣變換
三維旋轉(zhuǎn)與歐拉角?萬(wàn)向節(jié)死鎖
一、向量
1.1向量點(diǎn)乘
? ? ? ? 表示：a·b=|a|*|b|*cosθ，也等于x1x2+y1y2+z1z2;
?? ?? ? 另外，也可以用矩陣的形式表示向量點(diǎn)乘。
? ? ? ?運(yùn)算：點(diǎn)乘滿(mǎn)足交換律結(jié)合律。
?? ? ??幾何意義：
? ??? ?（1）求兩個(gè)向量夾角cos，用兩個(gè)方向向量的點(diǎn)乘可以直接得到cos。告訴我們兩個(gè)向量方向接近或遠(yuǎn)離。cos越接近1兩個(gè)向量越接近，越接近-1越遠(yuǎn)離。
?? ??? ?如下的蘭伯特光照模型就利用了這一點(diǎn)。通過(guò)物體表面法向量與光的反方向的遠(yuǎn)近，來(lái)計(jì)算某點(diǎn)的亮度。
（圖片來(lái)自b站技術(shù)美術(shù)百人計(jì)劃）
? ? ? ? （2）投影：投影可以用來(lái)分解向量（一般點(diǎn)乘要分解方向上的單位向量）
? ? ?? ?（3）判斷向前或向后。（跟方向點(diǎn)乘，大于0向前小于0向后）
? ?
1.2向量叉乘
?? ??? ?表示：|axb|=|a||b|sinθ，方向符合右手定則
????????矩陣表示：
?? ??? ?可以用矩陣表示。
?? ??? ?右手坐標(biāo)系：x x y=z；左手坐標(biāo)系：x x y = -z。
?? ??? ?下圖為右手坐標(biāo)系下的叉乘關(guān)系。
?? ??? ?運(yùn)算：叉乘不滿(mǎn)足交換律，交換需加負(fù)號(hào)。
?? ??? ?幾何意義：
?? ??? ?（1）求法線。任取平面兩不平行向量求叉乘得法線
?? ??? ?（2）判斷左和右、內(nèi)與外。在右手坐標(biāo)系中，如果axb是正，那么b在a左側(cè)。在右圖中，如果ap、bp、cp分別在ab、bc、ca的左側(cè)，就是在內(nèi)部。
?? ??? ?用向量點(diǎn)乘與叉乘，建坐標(biāo)系并將向量p分解在三個(gè)軸上如下：
矩陣x向量永遠(yuǎn)是矩陣在左向量在右，而向量都是列向量。
二、矩陣變換
2.1二維矩陣變換
?? ??? ?線性變換，包括旋轉(zhuǎn)rotate、切變shear、縮放scale、翻轉(zhuǎn)reflection等。在一般二維坐標(biāo)中的線性變換的形式如下：
????????具體的變換矩陣將在介紹齊次坐標(biāo)中給出。
? ? ? ? 值得一提的是，對(duì)旋轉(zhuǎn)變換而言，矩陣的逆等于矩陣的轉(zhuǎn)置，相當(dāng)于移動(dòng)-θ。也就是將下圖中的θ替換成-θ。? ? ? ? ?
?? ??? ?平移變換
?? ??? ?用向量加法實(shí)現(xiàn)。
?? ??? ?仿射變換affine
????????即包含線性變換也包含平移變換。
??? ??? ?然而，又要進(jìn)行矩陣乘法又要進(jìn)行向量相加，這種方式并不儉約。于是引入齊次坐標(biāo)。
2.2齊次坐標(biāo)下的二維矩陣變換
?? ??? ?齊次坐標(biāo)：比一般的坐標(biāo)多出一個(gè)維度，（x,y）->(x,y,w)。w=1表示坐標(biāo)，w=0表示向量。
?? ??? ?為什么引入齊次坐標(biāo)：無(wú)論線性變換還是矩陣變換都能用矩陣乘法完成，而且可以有效區(qū)分坐標(biāo)和向量。
?? ??? ?齊次坐標(biāo)下的2D變換如下：
?? ??? ?
?? ??? ?對(duì)比兩種坐標(biāo)的仿射變換：
?? ??? ?
?? ??? ?逆變換：變換的逆操作，變換矩陣為原變換矩陣的逆。
?? ??? ?
?? ??? ?對(duì)組合變換而言，?要用平移變換保證線性變換的中心在原點(diǎn)或者軸上，然后線性變換，然后再進(jìn)行適當(dāng)?shù)钠揭谱儞Q。
?? ??? ?組合變換交換順序并不相等。
?? ??? ?
2.3齊次坐標(biāo)下的三維矩陣變換
?? ??? ?齊次坐標(biāo)：
?? ??? ?
?? ??? ?齊次坐標(biāo)的仿射變換
?? ??? ?
?? ??? ?三維變換與二維變換大同小異，只有旋轉(zhuǎn)變換上稍有變化。?接下來(lái)只記錄旋轉(zhuǎn)的內(nèi)容。
?? ??? ?三維旋轉(zhuǎn)
?? ??? ?繞坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)的變換矩陣如下：
?? ??? ?
?? ??? ?旋轉(zhuǎn)矩陣為正交矩陣：旋轉(zhuǎn)的逆等于旋轉(zhuǎn)的轉(zhuǎn)置。
?? ??? ?通過(guò)這三種變換，用以下的方式，理論上可以擺出任何的角度，如下圖。這三個(gè)角稱(chēng)作歐拉角。
?? ??? ?
?? ??? ?
?? ??? ?
?? ??? ?
?? ??? ?繞任意過(guò)原點(diǎn)軸旋轉(zhuǎn)：
?? ?????只要加上平移變換，就可以繞空間中任意軸旋轉(zhuǎn)了。
?? ??? ?萬(wàn)向節(jié)死鎖：
?? ??? ?在unity中也有歐拉角的概念，但是一般都轉(zhuǎn)化成四元數(shù)進(jìn)行處理。原因是使用歐拉角的萬(wàn)向節(jié)可能會(huì)產(chǎn)生死鎖。
?? ??? ?萬(wàn)向節(jié)旋轉(zhuǎn)時(shí)，因?yàn)樘厥獾奈锢斫Y(jié)構(gòu)，最里層的軸旋轉(zhuǎn)會(huì)帶著外面的兩層一起旋轉(zhuǎn)，中層的軸旋轉(zhuǎn)會(huì)帶著外面的一層旋轉(zhuǎn)。因此根據(jù)繞軸旋轉(zhuǎn)的順序不同而產(chǎn)生不同結(jié)果。
?? ??? ?當(dāng)最里和最外層不動(dòng)，中間層旋轉(zhuǎn)90度時(shí)，中間和最里層的平面會(huì)重合（如下圖），也就是說(shuō)，直接少了一個(gè)旋轉(zhuǎn)方向。就是萬(wàn)向節(jié)死鎖。
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