A-1-2拋體運(yùn)動(dòng)(1/2)

2023-08-28 13:55 作者:夏莉家的魯魯 0人讀過 | 我要投稿

1.2.1 運(yùn)動(dòng)方程

這里我們主要討論的是斜拋運(yùn)動(dòng)。

矢量形式

$%5Cbegin%7Bcases%7D%20%5Cvec%20v%3D%5Cvec%20v_0%2B%5Cvec%20gt%20%5C%5C%20%5Cvec%20r%3D%5Cvec%20v_0%20t%2B%5Cdfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Cvec%20gt%5E2%20%5Cend%7Bcases%7D$

水平豎直分解

初速度 $v_0$ ，拋射角（與水平方向夾角）為 $%5Calpha$ 的斜拋運(yùn)動(dòng)可以沿水平和豎直方向分解，其中水平方向?yàn)閯蛩僦本€運(yùn)動(dòng)，速度為 $v_0%5Ccos%5Calpha$ ，豎直方向?yàn)閯蜃兯僦本€運(yùn)動(dòng)，初速為 $v_0%5Csin%5Calpha$ ，加速度為 $-g$ （以向上為正方向）.

斜拋的運(yùn)動(dòng)方程為：

$%5Cbegin%7Bcases%7D%20v_x%3Dv_0%5Ccos%5Calpha%5C%5C%20v_y%3Dv_0%5Csin%5Calpha-gt%5C%5C%20x%3Dv_0%5Ccos%5Calpha%20t%5C%5C%20y%3Dv_0%5Csin%5Calpha%20t-%5Cdfrac%7B1%7D%7B2%7Dgt%5E2%20%5Cend%7Bcases%7D$

軌跡方程

上面后兩個(gè)方程可以看成 $x%EF%BC%8Cy$ 關(guān)于t的參數(shù)方程，將其中參數(shù)消去，可以得到斜拋運(yùn)動(dòng)的軌跡方程：

$y%3Dx%5Ctan%5Calpha%20-%5Cdfrac%7Bg%7D%7B2v_0%5E2%5Ccos%5E2%5Calpha%7Dx%5E2$

方程中同時(shí)出現(xiàn)了 $%5Ctan%5Calpha%E5%92%8C%5Ccos%5Calpha$ ，為了后續(xù)計(jì)算方便，我們利用

$1%2B%5Ctan%5E2%5Calpha%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Ccos%5E2%5Calpha%7D$

將上式換成如下形式：

$y%3Dx%5Ctan%5Calpha-(1%2B%5Ctan%5E2%5Calpha)%5Cdfrac%7Bg%7D%7B2v_0%5E2%7Dx%5E2$

1.2.2 斜面最大射程

一物體從傾角為 $%5Ctheta$ 的斜面底端，向上做斜拋運(yùn)動(dòng)，初速度 $v_0$ 一定，求在斜面上最大射程。

題中是從下往上斜拋，如果換成從上往下，將本節(jié)中所有 $%5Ctheta$ 換成 $-%5Ctheta$ 即可。這里列舉幾種求解方法：

1.軌跡方程

聯(lián)立軌跡方程與斜面方程：

$%5Cbegin%7Bcases%7D%20y%3Dx%5Ctan%5Calpha-(1%2B%5Ctan%5E2%5Calpha)%5Cdfrac%7Bg%7D%7B2v_0%5E2%7Dx%5E2%5C%5C%20y%3Dx%5Ctan%5Ctheta%20%5Cend%7Bcases%7D$

得：

$(1%2B%5Ctan%5E2%5Calpha)%5Cdfrac%7Bg%7D%7B2v_0%5E2%7Dx%5E2%2B(%5Ctan%5Ctheta-%5Ctan%5Calpha)x%3D0$

該方程可以整理為關(guān)于 $%5Ctan%5Calpha$ 的二次方程：

$gx%5E2%5Ctan%5E2%5Calpha-2v_0%5E2x%5Ctan%5Calpha%2B(gx%5E2%2B2v_0%5E2x%5Ctan%5Ctheta)%3D0$

該方程意味著，斜面上每一個(gè)落點(diǎn)，都對應(yīng)2個(gè)拋射角，從下圖可以看出，當(dāng)2個(gè)拋射角相等時(shí)，對應(yīng)位移最大，此時(shí)

$%5CDelta%3D4x%5E2(-g%5E2x%5E2-2gv_0%5E2%5Ctan%5Ctheta%20%5Ccdot%20x%2Bv_0%5E4)%3D0$

舍去 $x%5E2%3D0$ ，取正根得

$x_m%3D%5Cdfrac%7Bv_0%5E2%7D%7Bg%7D(%5Csqrt%7B1%2B%5Ctan%5E2%5Ctheta%7D-%5Ctan%5Ctheta)%3D%5Cdfrac%7Bv_0%5E2(1-%5Csin%5Ctheta)%7D%7Bg%5Ccos%5Ctheta%7D$

最大射程

$s%3D%5Cdfrac%7Bx%7D%7B%5Ccos%5Ctheta%7D%3D%5Cdfrac%7Bv_0%5E2(1-%5Csin%5Ctheta)%7D%7Bg%5Ccos%5Ctheta%7D%3D%5Cdfrac%7Bv_0%5E2%7D%7Bg(1%2B%5Csin%5Ctheta)%7D$

2.沿斜面分解

如圖，我們沿著斜面和垂直斜面重新建立坐標(biāo)系，將斜拋運(yùn)動(dòng)分別沿 $x%2Cy$ 方向分解，推得運(yùn)動(dòng)方程：

$%5Cbegin%7Bcases%7D%20v_x%3Dv_0%5Ccos(%5Calpha-%5Ctheta)-g%5Csin%5Ctheta%20t%5C%5C%20v_y%3Dv_0%5Csin(%5Calpha-%5Ctheta)-g%5Ccos%20%5Ctheta%20t%5C%5C%20x%3Dv_0%5Ccos(%5Calpha-%5Ctheta)%20t-%5Cdfrac%7B1%7D%7B2%7Dg%5Csin%5Ctheta%20t%5E2%5C%5C%20y%3Dv_0%5Csin(%5Calpha-%5Ctheta)%20t-%5Cdfrac%7B1%7D%7B2%7Dg%5Ccos%5Ctheta%20t%5E2%20%5Cend%7Bcases%7D$

物體沿斜面運(yùn)動(dòng)最遠(yuǎn)時(shí)， $y%3D0$ ，代入得

$t%3D%5Cdfrac%7B2v_0%5Csin(%5Calpha-%5Ctheta)%7D%7Bg%5Ccos%5Ctheta%7D$

再代入 $x$ 的運(yùn)動(dòng)方程：

$x%3D%5Cdfrac%7B2v_0%5E2%5Csin(%5Calpha-%5Ctheta)cos(%5Calpha-%5Ctheta)%7D%7Bg%5Ccos%5Ctheta%7D-%5Cdfrac%7B2v_0%5E2%5Csin%5E2(%5Calpha-%5Ctheta)%5Csin%5Ctheta%7D%7Bg%5Ccos%5E2%5Ctheta%7D$

$%3D%5Cdfrac%7B2v_0%5E2%5Csin(%5Calpha-%5Ctheta)%7D%7Bg%5Ccos%5E2%5Ctheta%7D%5Bcos(%5Calpha-%5Ctheta)%5Ccos%5Ctheta-%5Csin(%5Calpha-%5Ctheta)%5Csin%5Ctheta%5D$

$%3D%5Cdfrac%7B2v_0%5E2%5Csin(%5Calpha-%5Ctheta)%5Ccos%5Calpha%7D%7Bg%5Ccos%5E2%5Ctheta%7D$

$%3D%5Cdfrac%7Bv_0%5E2%5B%5Csin(2%5Calpha-%5Ctheta)-%5Csin%5Ctheta%5D%7D%7Bg%5Ccos%5E2%5Ctheta%7D$

已知，當(dāng)

$%5Csin(2%5Calpha-%5Ctheta)%3D1%EF%BC%8C2%5Calpha-%5Ctheta%3D%5Cdfrac%7B%5Cpi%7D%7B2%7D$

時(shí)，射程最遠(yuǎn)，對應(yīng)射程

$x%3D%5Cdfrac%7Bv_0%5E2(1-%5Csin%5Ctheta)%7D%7Bg%5Ccos%5E2%5Ctheta%7D%3D%5Cdfrac%7Bv_0%5E2%7D%7Bg(1%2B%5Csin%5Ctheta)%7D$

由 $x$ 的表達(dá)式我們還發(fā)現(xiàn)，當(dāng)兩個(gè)不同的拋射角 $%5Calpha_1%2C%5Calpha_2$ 滿足 $%5Csin(2%5Calpha_1-%5Ctheta)%3D%5Csin(2%5Calpha_2-%5Ctheta)$ 時(shí)，兩次在斜面上的射程相等，此時(shí)

$2%5Calpha_1-%5Ctheta%2B2%5Calpha_2-%5Ctheta%3D%5Cpi%EF%BC%8C%5Calpha_1%2B%5Calpha_2%3D%5Cdfrac%7B%5Cpi%7D%7B2%7D-%5Ctheta$

另外，將運(yùn)動(dòng)沿斜面分解時(shí)，還可以輕松求出物體與斜面間的最大距離

$h_m%3D%5Cdfrac%7Bv_0%5E2%5Csin%5E2(%5Calpha-%5Ctheta)%7D%7B2g%5Ccos%20%5Ctheta%7D$

3.包絡(luò)線

當(dāng)參數(shù) $%5Calpha$ 變化時(shí)，我們觀察軌跡方程圖像的變化：

我們發(fā)現(xiàn)曲線掃過的面積有一個(gè)明顯的邊界，這個(gè)邊界稱為拋物線的包絡(luò)線，斜拋運(yùn)動(dòng)的包絡(luò)線也是一條拋物線，其表達(dá)式可以如此求得：

由圖像可知，只要某點(diǎn)位于包絡(luò)線下方，那么總能找到一個(gè)對應(yīng)的拋射角，使得軌跡經(jīng)過該點(diǎn)。反而言之，如果某點(diǎn)位于包絡(luò)線上方，那么就找不到對應(yīng)的拋射角，即關(guān)于 $%5Calpha$ 的方程無解。我們將軌跡方程寫成以 $%5Ctan%5Calpha$ 為變量的形式：

$-%5Cdfrac%7Bgx%5E2%7D%7B2v%5E2_0%7D%5Ctan%5E2%5Calpha%2Bx%5Ctan%5Calpha-(%5Cdfrac%7Bgx%5E2%7D%7B2v%5E2_0%7D%2By)%3D0$

這是一個(gè)二次方程，剛好找不到拋射角的臨界情況對應(yīng)

$%5CDelta%3Dx%5E2-4(%5Cdfrac%7Bgx%5E2%7D%7B2v%5E2_0%7D)(%5Cdfrac%7Bgx%5E2%7D%7B2v%5E2_0%7D%2By)%3D0$

解得

$y%3D%5Cdfrac%7Bv_0%5E2%7D%7B2g%7D-%5Cdfrac%7Bgx%5E2%7D%7B2v_0%5E2%7D$

此即包絡(luò)線方程。由于包絡(luò)線表示斜拋范圍的邊界，可以直接用來求解最大射程：聯(lián)立

$%5Cbegin%7Bcases%7D%20y%3D%5Cdfrac%7Bv_0%5E2%7D%7B2g%7D-%5Cdfrac%7Bgx%5E2%7D%7B2v_0%5E2%7D%5C%5C%20y%3Dx%5Ctan%5Ctheta%20%5Cend%7Bcases%7D$

得水平最大位移

$x_m%3D%5Cdfrac%7Bv_0%5E2(1-%5Csin%5Ctheta)%7D%7Bg%5Ccos%5Ctheta%7D$

除以 $%5Ccos%5Ctheta$ 得最大射程。

4.矢量圖

由運(yùn)動(dòng)方程的矢量形式，可以畫出如下速度和位移的矢量圖：

容易看出，兩矢量圖的上半部分相似，我們可以將右圖縮小t倍，平移到左圖中：

由于 $BD%5Ccdot%20AD%3D%5Cdfrac%7B1%7D%7B2%7Dgr$ ，只要 $BD%5Ccdot%20AD$ 最大，射程 $r$ 即取最大。

在 $%5Ctriangle%20ABD$ 中

$AB%5E2%3DAD%5E2%2BBD%5E2-2AB%5Ccdot%20BD%5Ccos%5Cangle%20ADB$

其中 $%5Cangle%20ADB%EF%BC%8CAB$ 均為定值，當(dāng) $BD%5Ccdot%20AD$ 最大時(shí)，

$BD%3DAD%EF%BC%8C%5Cangle%20DAB%3D%5Cangle%20DBA%3D%5Cangle%20FAB$

此時(shí) $AB$ 為 $%5Cangle%20FAD$ 角平分線，即只要沿著斜面與豎直方向的角平分線拋射物體，物體射程一定最遠(yuǎn)。此時(shí)

$%5Cdfrac%7B%5Cpi%7D%7B2%7D-%5Calpha%3D%5Cdfrac%7B%5Cpi%7D%7B4%7D-%5Cdfrac%7B%5Ctheta%7D%7B2%7D$

對應(yīng)最遠(yuǎn)射程

$S_%7Bmax%7D%3D%5Cdfrac%7B2AD%5Ccdot%20BD%7D%7Bg%7D%3D%5Cdfrac%7B2(%5Cdfrac%7Bv_0%7D%7B2%5Ccos(%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B4%7D-%5Cfrac%7B%5Ctheta%7D%7B2%7D)%7D)%5E2%7D%7Bg%7D%3D%5Cdfrac%7Bv_0%5E2%7D%7Bg(1%2B%5Csin%5Ctheta)%7D$

標(biāo)簽：高中物理競賽物理競賽

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