被譽(yù)為“嚴(yán)格分析奠基者”柯西和他的微積分原理
被譽(yù)為“嚴(yán)格分析奠基者”柯西和他的微積分原理
經(jīng)過(guò)半個(gè)世紀(jì)的醞釀,牛頓與萊布尼茲終于完成了微積分創(chuàng)立過(guò)程中最后也是最關(guān)鍵的一步。而微積分的發(fā)展從這里才剛剛開(kāi)始。在第二次數(shù)學(xué)危機(jī)中,來(lái)自貝克萊主教的質(zhì)疑使得數(shù)學(xué)家們想盡辦法維護(hù)自己的尊嚴(yán),而柯西正是這場(chǎng)分析嚴(yán)格化運(yùn)動(dòng)中的奠基者,也是真正有影響的先驅(qū)。相比于牛頓、萊布尼茲創(chuàng)立的微積分而言,柯西的微積分原理有什么不同?與前人的微積分原理相比,柯西有什么繼承,又有什么進(jìn)一步的發(fā)展呢?讓我們一起尋找答案~
提到柯西,相信學(xué)過(guò)高等數(shù)學(xué)后,我們對(duì)他的名字都不陌生,隨口就能說(shuō)出很多以他的名字命名的數(shù)學(xué)定理或公式:柯西判別法、柯西不等式、柯西方程……
柯西在數(shù)學(xué)史上是受到一些爭(zhēng)議的。其中,主要原因是他對(duì)青年學(xué)者的創(chuàng)造的忽視。作為法國(guó)科學(xué)院的審稿人之一,柯西弄丟了阿貝爾的的重要論文,這使得阿貝爾的貢獻(xiàn)沒(méi)有及時(shí)得到認(rèn)可,而阿貝爾也在貧病交加中去世。同一年,他又弄丟了伽羅瓦的開(kāi)創(chuàng)性的論文手稿,這造成群論晚問(wèn)世約半個(gè)世紀(jì)。柯西去世前說(shuō)的最后一句話是:“人總是要死的,但是,他們的功績(jī)永存。”阿貝爾和伽羅瓦都死了,但是他們的功績(jī)差一點(diǎn)就永存在柯西家的角落里。
而柯西的確是一個(gè)數(shù)學(xué)天才,這一點(diǎn)也不可否認(rèn)。與其他很多偉大的數(shù)學(xué)家一樣,從小他就對(duì)數(shù)學(xué)產(chǎn)生了濃厚的熱愛(ài)。在少年時(shí),柯西的數(shù)學(xué)才華得到了大數(shù)學(xué)家拉格朗日、拉普拉斯的賞識(shí),并被預(yù)言在數(shù)學(xué)上定成大器。然而,因?yàn)槌錾诜▏?guó)大革命時(shí)期的緣故,艱苦的環(huán)境使得他長(zhǎng)得瘦小、發(fā)育不全。拉格朗日擔(dān)心這個(gè)瘦弱的孩子被累壞,所以給老柯西提出建議:在他17歲之前,不要讓他摸(高等)數(shù)學(xué)書(shū)”。長(zhǎng)大后的柯西曾在工學(xué)院學(xué)習(xí),也當(dāng)過(guò)交通道路工程師,之后才轉(zhuǎn)入純數(shù)學(xué)的研究。也是因?yàn)樯眢w欠佳,柯西在40歲之后,只在“上班時(shí)間”研究數(shù)學(xué)。即使這樣,他發(fā)表論文的數(shù)量依舊驚人,在數(shù)學(xué)史上是僅次于歐拉的多產(chǎn)的數(shù)學(xué)家。傳說(shuō)柯西年輕的時(shí)候向巴黎科學(xué)院學(xué)報(bào)投論文之快之多,使得印刷廠為了印制這些論文搶購(gòu)了巴黎市所有紙店的存貨,市面上紙價(jià)也大增,于是科學(xué)院通過(guò)決議,以后發(fā)表論文每篇篇幅不得超過(guò)4頁(yè)。
接下來(lái),我們將在柯西的眾多學(xué)術(shù)成果中拿出他在分析嚴(yán)格化中的工作著重談一談~
在微積分歷史上,柯西處于早期開(kāi)拓者和現(xiàn)代數(shù)學(xué)家之間的位置。前輩們創(chuàng)立了一個(gè)充滿直覺(jué)與質(zhì)樸的領(lǐng)域,而來(lái)自貝克萊主教的質(zhì)疑使得數(shù)學(xué)家們想盡辦法維護(hù)自己的尊嚴(yán)。在柯西之前,牛頓和萊布尼茨依據(jù)他們各自的思想獨(dú)立地創(chuàng)建了微積分原理。
牛頓建立微積分的過(guò)程中有兩大類(lèi)思想。第一類(lèi)思想建立在無(wú)限小量的基礎(chǔ)之上,在這一類(lèi)思想中又分了兩種,一種是建立在運(yùn)動(dòng)學(xué)的背景之上,把時(shí)間瞬作為基本的無(wú)限小量,其他變量的瞬都是時(shí)間瞬的某一倍數(shù);而第二種則擺脫了運(yùn)動(dòng)學(xué)的背景,把任何變量的瞬看作是不依賴(lài)于時(shí)間的靜止的無(wú)限小量,具有不可分量的色彩。第二類(lèi)思想是首末比的思想,牛頓將其解釋為:“消逝量的最終比實(shí)際上并非最終量之比,而是無(wú)限減小的量之比所趨向的極限。”這可以理解為函數(shù)因變量的增量與自變量的增量之比在自變量增量趨于0時(shí)的極限。牛頓晚年偏向于首末比思想,他嘗試?yán)梦掷挂詠?lái)的極限思想來(lái)加以說(shuō)明,但并沒(méi)有明確定義極限。牛頓首末比微積分原理的主要問(wèn)題在于,計(jì)算流數(shù)(導(dǎo)數(shù))時(shí),自變量先增加一個(gè)非零增量,求得變量增量之比的表達(dá)式之后,又令增量消逝為0。這里關(guān)于增量o的前后假設(shè)矛盾。
萊布尼茨建立微積分原理主要經(jīng)歷了兩個(gè)階段。第一個(gè)階段主要是關(guān)于特征三角形的研究,萊布尼茨從特征三角形的研究中主要意識(shí)到了求曲線的切線和求曲線下的面積這兩類(lèi)問(wèn)題與坐標(biāo)的差值變成無(wú)限小時(shí)的關(guān)系,并且意識(shí)到二者的互逆關(guān)系。第二個(gè)階段是把序列的求差求和運(yùn)算推廣到微積分運(yùn)算當(dāng)中,這依賴(lài)于萊布尼茨定義的微分。萊布尼茨把作為無(wú)窮小量的微分描述為正在消失或者剛出現(xiàn)的量,與已經(jīng)形成的量相對(duì)應(yīng)。微分不是0,但小于任意有限的量[3]。對(duì)于高階微分,萊布尼茨認(rèn)為高階微分和低階微分相比,如同點(diǎn)和直線相比一樣。這并不為同時(shí)代的許多數(shù)學(xué)家所理解。
在牛頓與萊布尼茨創(chuàng)建微積分之后,英國(guó)和歐洲大陸分別沿著他們的路線進(jìn)一步發(fā)展微積分。英國(guó)數(shù)學(xué)家以牛頓的流數(shù)術(shù)為基礎(chǔ),主要代表數(shù)學(xué)家是泰勒。由于幾何傳統(tǒng)與民族保守情緒,英國(guó)數(shù)學(xué)后期處于停滯狀態(tài)。歐洲大陸數(shù)學(xué)家以萊布尼茨的微分為基礎(chǔ),沿用萊布尼茨的記號(hào):表示求和,表示求差,發(fā)展出了眾多的微積分方法,主要代表數(shù)學(xué)家是歐拉。
雖然微積分的花園里春色滿園,但是關(guān)于微積分基礎(chǔ)的不牢固仍然是一個(gè)令人擔(dān)憂的問(wèn)題。問(wèn)題爆發(fā)于貝克萊主教的批判,一般認(rèn)為由以柯西為代表的數(shù)學(xué)家進(jìn)行了解決。
牛頓的微積分原理的缺點(diǎn)在于自相矛盾,萊布尼茨的微積分原理的缺點(diǎn)在于微分的本質(zhì)說(shuō)不清楚。這一事實(shí)既是柯西重建微積分原理的理由,也是柯西重建微積分原理的素材。1821年,柯西采用了以牛頓的微積分原理為共同思想,以萊布尼茨的符號(hào)為表現(xiàn)形式的微積分發(fā)展路線,并與后來(lái)的數(shù)學(xué)家黎曼、魏爾斯特拉斯、達(dá)布和勒貝格一道建立了現(xiàn)行微積分體系。由于萊布尼茨的微分說(shuō)不清楚,柯西只能沿著牛頓的首末比思想,利用達(dá)朗貝爾的極限概念對(duì)牛頓的首末比微積分原理加以說(shuō)明和發(fā)展。
柯西關(guān)于極限的定義是這樣的:“當(dāng)同一變量逐次所取的值無(wú)限趨向于一個(gè)固定的值,最終使它的值與該定值要多小就多小,那么最后這個(gè)定值就稱(chēng)為所有其他值的極限[4]。”以極限為基礎(chǔ),柯西把無(wú)限小量定義為以0為極限的變量,導(dǎo)數(shù)定義為差商的極限,微分則由導(dǎo)數(shù)導(dǎo)出,定積分定義為對(duì)于區(qū)間劃分求和后的極限??梢钥吹皆诳挛鞯奈⒎e分原理中,幾乎所有的基本概念都是依賴(lài)于極限定義的,其體系的結(jié)構(gòu)和現(xiàn)在的微積分結(jié)構(gòu)基本相同,形成了現(xiàn)代微積分原理的雛形。
在牛頓的首末比微積分原理中,由于幾何與運(yùn)動(dòng)學(xué)背景,流量可視為曲線下的面積,即柯西微積分原理中的定積分;由流量可得到流數(shù),同樣知道了流數(shù)也可反推流量,這樣流量也可視為反流數(shù),即柯西微積分原理中的原函數(shù)。牛頓默認(rèn)了反流數(shù)和積分是等同的東西,而在柯西的微積分原理體系中,二者在定義上是完全獨(dú)立的,在數(shù)值上由微積分基本定理聯(lián)系起來(lái),通過(guò)極限加以嚴(yán)格證明。由于微積分的方法幾乎都是沿著萊布尼茨的微積分原理發(fā)展起來(lái)的,柯西在重建微積分原理時(shí)理所應(yīng)當(dāng)?shù)匾堰@些方法囊括進(jìn)來(lái),從而雖然在牛頓的首末比微積分原理中并未給微分留任何位置,即使是考慮微分的表達(dá)形式很好用,柯西也必須定義微分。只是柯西的微分與萊布尼茨的微分已大相徑庭。萊布尼茨的微分是針對(duì)變量定義的,而柯西的微分是針對(duì)函數(shù)定義的。而這針對(duì)函數(shù)定義的微分,為了湊出的形式,最后會(huì)歸結(jié)為增量是如何過(guò)渡到微分,柯西利用恒等函數(shù),通過(guò)特殊代一般的邏輯完成這個(gè)過(guò)渡過(guò)程[4],詳情見(jiàn)附錄。
柯西的以極限為基礎(chǔ)、以牛頓的首末比思想為主要內(nèi)容、以萊布尼茲的符號(hào)為主要形式的微積分原理,相比于前人對(duì)許多基本概念給出了嚴(yán)格化的定義,使得微積分有了嚴(yán)格的基礎(chǔ)。但是由于大部分微積分方法是沿著萊布尼茲的微積分原理發(fā)展起來(lái)的,而柯西在將方法囊括進(jìn)來(lái)時(shí),更像是后驗(yàn)的極限語(yǔ)言的驗(yàn)證,而不具有“發(fā)明者的藝術(shù)”。
