淺談高等數(shù)學(xué)（2）

2022-01-19 15:38 作者:-YD-LM- 0人讀過 | 我要投稿

第二期極限的理解（二）

（自變量趨于無窮大時(shí)函數(shù)的極限? 數(shù)列的極限? 極限存在準(zhǔn)則）

在上期中，我們討論了自變量趨于常數(shù)時(shí)函數(shù)極限的理解。我們使用了一種新的描述方式： $%5Cvarepsilon-%5Cdelta$ 語言。它幫助我們來刻畫了“趨近”的過程。而自變量趨于無窮大時(shí)函數(shù)的極限，在中學(xué)階段并沒有提及，但這不妨礙我們的理解。簡單來說，就是一個(gè)函數(shù) $f(x)$ 當(dāng) $x$ 的絕對(duì)值不斷增大時(shí)，函數(shù)會(huì)無限趨近于一個(gè)常數(shù) $A$ ，那么常數(shù) $A$ 就叫做函數(shù) $f(x)$ 當(dāng) $x%5Crightarrow%5Cinfty$ 時(shí)的極限，記作

$%5Clim_%7Bx%5Crightarrow%5Cinfty%7Df(x)%3DA$ .

例如 $%5Clim_%7Bx%5Cto%20%5Cinfty%7D%5Cfrac1x%3D0%2C%20%5Clim_%7Bx%5Cto%20%5Cinfty%7D%5Cvert%20%5Carctan%20x%5Cvert%3D%5Cfrac%7B%5Cpi%7D2%2C......$

是不是感覺和之前很類似？我們?nèi)匀豢梢圆捎们笆龅乃伎挤绞?。在給定正數(shù) $%5Cvarepsilon$ 的情況下，將 $%5Cvert%20f(x)-A%5Cvert%3C%5Cvarepsilon$ 作為一個(gè)目標(biāo)，這個(gè)目標(biāo)可以通過自變量的絕對(duì)值增加到一定程度來達(dá)到，這個(gè)“程度”就是 $%7Cx%7C%3EX$ $(X%3E0)$ .其中 $X$ 能用以表示能無限增加的一個(gè)變量，方才的 $%5Cvarepsilon-%5Cdelta$ 語言也就變成了 $%5Cvarepsilon-X$ 語言。至于 $x$ 的定義域，那只要能保證函數(shù)曲線向兩邊都能延伸到無窮遠(yuǎn)，也就是 $%7Cx%7C$ 大于某一正數(shù)時(shí)有定義即可。有了上次的鋪墊，相信現(xiàn)在這已經(jīng)不難理解了。我們不多贅述，直接給出定義：

定義? 設(shè)函數(shù) $f(x)$ 當(dāng) $%7Cx%7C$ 大于某一正數(shù)時(shí)有定義。若

$%5Cforall%20%5Cvarepsilon%3E0%2C%5Cexists%20X%3E0%2C$ 使得當(dāng) $%7Cx%7C%3EX$ 時(shí)，都有 $%7Cf(x)-A%7C%3C%5Cvarepsilon.$

則常數(shù) $A$ 叫做函數(shù) $f(x)$ 當(dāng) $x%5Crightarrow%5Cinfty$ 時(shí)的極限，記作

$%5Clim_%7Bx%5Crightarrow%5Cinfty%7Df(x)%3DA$ .

把定義中 $%7Cx%7C%3EX$ 分別改為 $x%3EX$ 和 $x%3C-X$ ，則常數(shù) $A$ 分別叫做函數(shù) $f(x)$ 當(dāng) $x%5Crightarrow%2B%5Cinfty$ 時(shí)和 $x%5Crightarrow-%5Cinfty$ 時(shí)的極限，分別記作

$%5Clim_%7Bx%5Cto%20%2B%5Cinfty%7Df(x)%3DA(%5Clim_%7Bx%5Cto%20-%5Cinfty%7Df(x)%3DA).$

同樣地，由于無窮大分正負(fù)兩種，因此函數(shù) $f(x)$ 當(dāng) $x%5Crightarrow%5Cinfty$ 時(shí)有極限，等價(jià)于函數(shù) $f(x)$ 當(dāng) $x%5Crightarrow%2B%5Cinfty$ 時(shí)和 $x%5Crightarrow-%5Cinfty$ 時(shí)的極限均存在且相等。?

到這里，數(shù)列的極限就十分明晰了。數(shù)列的極限無非就是一個(gè)定義域?yàn)槿w正整數(shù)的函數(shù)當(dāng) $x%5Crightarrow%2B%5Cinfty$ 時(shí)的極限，甚至不需要再另外定義了。這正是我先不介紹數(shù)列極限的原因。

下面是截至目前所有文案的圖片（用GeoGebra繪制）：

紅線： $y%3Df(x)%3D%5Cfrac%7B1%7D%7Bx%7D$ ；紫色實(shí)線： $y%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D$ ；紫色虛線： $y%3D0.4%2Cy%3D0.6$ ；藍(lán)色實(shí)線： $x%3D2$ ；藍(lán)色虛線： $x%3D1.8%2Cx%3D2.2$ ；灰色虛線： $x%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B0.6%7D%2Cx%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B0.4%7D$ 。

取 $f(x)%3D%5Cfrac%7B1%7D%7Bx%7D$ ， $x_0%3D2$ ， $A%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D$ ， $%5Cvarepsilon%3D0.1$ ， $%5Cdelta%3D0.2$ 。（略去嚴(yán)格證明） $%5Clim_%7Bx%5Cto%202%7D%5Cfrac%7B1%7D%7Bx%7D%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D.$

深紫色線： $y%3Df(x)%3D1%2B%5Cfrac%7B1%7D%7Bx%7D$ ，淡紫色實(shí)線： $y%3D1$ ，淡紫色虛線： $y%3D1.2$ ，綠色虛線： $x%3D5$ 。取 $f(x)%3D1%2B%5Cfrac%7B1%7D%7Bx%7D$ ， $%5Cvarepsilon%3D0.2%2CX%3D5$ 。（略去嚴(yán)格證明） $%5Clim_%7Bx%5Cto%2B%5Cinfty%7D1%2B%5Cfrac%7B1%7D%7Bx%7D%3D1$ 。

下面介紹一個(gè)重要的極限存在準(zhǔn)則：

準(zhǔn)則Ⅰ（夾逼準(zhǔn)則）若

（1）當(dāng) $x%5Cin%5Cmathring%7BU%7D(x_0%2Cr)$ （或 $%7Cx%7C%3EM$ ）時(shí)，

$g(x)%5Cleq%20f(x)%5Cleq%20h(x)%3B$

（2） $%5Clim_%7B%5C%20x%5Cto%20x_0%5C%5C(x%5Cto%20%5Cinfty)%7Dg(x)%3D%5Clim_%7B%5C%20x%5Cto%20x_0%5C%5C(x%5Cto%20%5Cinfty)%7Dh(x)%3DA%2C$

那么 $%5Clim_%7B%5C%20x%5Cto%20x_0%5C%5C(x%5Cto%20%5Cinfty)%7Df(x)$ 存在，且等于 $A$ .

這個(gè)定理很好理解，請(qǐng)看下圖：

這就是我們?cè)诘谝黄谥写嬉傻?img type="latex" class="latex" src="http://api.bilibili.com/x/web-frontend/mathjax/tex?formula=%5Clim_%7Bx%5Cto%200%7D%5Cfrac%7B%5Csin%20x%7D%7Bx%7D" alt="%5Clim_%7Bx%5Cto%200%7D%5Cfrac%7B%5Csin%20x%7D%7Bx%7D">的求值問題。當(dāng)時(shí)我們猜測它是等于1的（圖中看不出這個(gè)函數(shù)在0處的間斷點(diǎn)）。觀察圖像，我們發(fā)現(xiàn)：當(dāng) $x%5Cin%20%5Cmathring%20U(0%2C%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B2%7D)$ 時(shí)， $%5Ccos%20x%5Cleq%20%5Cfrac%7B%5Csin%20x%7D%7Bx%7D%5Cleq1$ .（這個(gè)證明參見《高等數(shù)學(xué)》（同濟(jì)第七版）P46-P47，本人覺得其非常巧妙而有價(jià)值。上冊(cè)教材電子版鏈接我會(huì)在下期給出）而當(dāng) $x%5Cto%200$ 時(shí)， $%5Ccos%20x$ 和1都是趨近于1的， $%5Cfrac%7B%5Csin%20x%7D%7Bx%7D$ 又被夾在這兩個(gè)之間，那它就“別無選擇地”必須趨近于1.

這樣的數(shù)學(xué)思想我們并不是第一次遇到。例如在實(shí)數(shù)集內(nèi)解不等式 $(x%2B1)%5E2%5Cleq0$ 。這個(gè)方程所有人都會(huì)解，由于 $(x%2B1)%5E2%5Cgeq0$ 和已知條件得出 $(x%2B1)%5E2%3D0%5Cimplies%20x%3D-1.$ 這就是 $(x%2B1)%5E2$ 被夾在了0和0之間，所以只能等于0.這正是“夾逼”的體現(xiàn)。

$%5Clim_%7Bx%5Cto0%7D%5Cfrac%7B%5Csin%20x%7D%7Bx%7D%3D1$ 是一個(gè)重要極限。

然后介紹第二個(gè)極限存在準(zhǔn)則：

準(zhǔn)則Ⅱ?單調(diào)有界函數(shù)必有極限。

同樣地，我們?nèi)詳?shù)形結(jié)合地考慮它。

如圖4，觀察 $f(x)%3D1%2B%5Cfrac%7B1%7D%7Bx%7D$ 在 $x%5Cin%20(1%2C%2B%5Cinfty)$ 時(shí)的圖像。顯然它是有界（有界是指既有上界又有下界）的：小于等于0的任何數(shù)都是下界，大于等于1的數(shù)都是上界。它在這個(gè)區(qū)間內(nèi)也是單調(diào)增加的。這就是一個(gè)在某區(qū)間內(nèi)變動(dòng)的變量不能超過它的最小上界（也叫上確界），也就是說小于最小上界的任何數(shù)它（的絕對(duì)值）都能超過，而大于等于它的任何數(shù)它都不能超過。不僅如此，這個(gè)變量又必須不斷增加，那么變量只能趨于最小上界。

這一準(zhǔn)則其實(shí)又與夾逼準(zhǔn)則異曲同工。也就是說，一個(gè)變量在某一個(gè)逼近的過程中，大于等于一切小于最小上界的數(shù)（你可以把這樣的數(shù)想象成一個(gè)逼近于最小上界的數(shù)），又小于等于最小上界，那么由于夾逼準(zhǔn)則，這個(gè)變量就趨近于最小上界了。最大上界和單調(diào)遞減的情況同理。

下面介紹第二個(gè)重要極限：

這是 $f(x)%3D(1%2B%5Cfrac%7B1%7D%7Bx%7D)%5Ex$ 的圖像。這個(gè)函數(shù)在正整數(shù)范圍內(nèi)單調(diào)遞增，且恒小于3，這可以用二項(xiàng)式定理來說明。事實(shí)上，它在正實(shí)數(shù)范圍內(nèi)同樣如此，證明見《高等數(shù)學(xué)》（同濟(jì)第七版）P50.方便起見，我們記