《線性代數(shù)》高清教學(xué)視頻 “驚嘆號(hào)”系列 宋浩老師
每做一次對(duì)換，奇偶性改變
余子式和代數(shù)余子式
拉普拉斯定理：
代數(shù)余子式的正負(fù)由被選中的元素的行序號(hào)和列序號(hào)之和來(lái)確定。如本題中選中了前兩行和前兩列，所以(-1)^(1+2+1+2)=1
行列式相乘：（只適用于同階的行列式相乘）
類似于矩陣相乘(做題時(shí)用的不多)
特殊行列式的計(jì)算：
有字母的話，一般放分母，但要注意分母不為零。
范德蒙行列式：
反對(duì)稱的奇數(shù)階：D=0，偶數(shù)階沒(méi)有特殊性質(zhì)。
對(duì)稱階沒(méi)有相應(yīng)性質(zhì)。
齊次方程（方程個(gè)數(shù)等于未知數(shù)個(gè)數(shù)）有非零解的充要條件是 D=0（克萊姆法則在做題的時(shí)候很少用）
矩陣相等的前提是同型矩陣。
只有方陣才有主對(duì)角線和次對(duì)角線
若AB=AC，但B不一定等于C（無(wú)論A是否是零矩陣）
若AB有意義，則BA不一定有意義（不一定可以相乘）
若AB=BA，則A,B必須是同階的方陣。
一般來(lái)說(shuō)（AB）^K ≠ (BA)^K
本集提到的特殊矩陣都是方陣。
數(shù)量矩陣：aE（a為任意常數(shù)，可以為0）
雖然EA=AE，但等號(hào)兩邊的E的維數(shù)不一定相同，因?yàn)锳不一定是方陣，這點(diǎn)要注意。
任何矩陣與對(duì)角型矩陣相乘的結(jié)果相當(dāng)于用對(duì)角型矩陣每一行的對(duì)角元素乘以另一個(gè)矩陣的對(duì)應(yīng)行
對(duì)稱矩陣，A的轉(zhuǎn)置等于本身。
定理1：
若A,B均為對(duì)稱矩陣，那么AB也是對(duì)稱矩陣的充要條件是A,B可交換（ AB=BA）
對(duì)于任意矩陣A，AAT和ATA都是對(duì)稱矩陣。
證明對(duì)稱矩陣的思路就是 矩陣的轉(zhuǎn)置等于矩陣本身。
若A是對(duì)稱矩陣，B為任意矩陣，那么BTAB也是對(duì)稱矩陣。
反對(duì)稱矩陣對(duì)角線元素全為0，且AT=-A（若A為反對(duì)稱矩陣）。
（反）對(duì)稱矩陣間的和差都是（反）對(duì)稱矩陣，但乘積一般不是（反）對(duì)稱矩陣。
矩陣沒(méi)有除法，也不會(huì)放在分母上即沒(méi)有1/A。
逆矩陣：A-1 * A = A * A-1= E
||A|A|=A^(n+1)
只有方陣才有逆矩陣和伴隨矩陣。
按行求余子式，按列放。
對(duì)任意方陣A，都有A*A = AA* = |A|E（A*為伴隨矩陣).
對(duì)于任意方陣都有伴隨矩陣，但不一定有逆矩陣。如果|A|≠0，那么A的逆矩陣存在。
|A*| = |A|^(n-1)(|A|可以等于0)
前提：A為方陣。
若AB=E，則B是且唯一是A的逆矩陣。（A的逆矩陣是唯一的）
若|A|≠0，那么A存在逆矩陣。
若|A|≠0,則稱矩陣A非奇異、非退化，滿秩。
A-1 = A*/|A|
求逆矩陣的方法：
1、伴隨矩陣法
A可逆，A的伴隨矩陣也可逆。
|A|A-1 =A*
（A*）* =A |A|^(n-2)
除了從左往右第四個(gè)，其余全是標(biāo)準(zhǔn)型
標(biāo)準(zhǔn)型，對(duì)角線以外的元素為0
注意，子塊必須滿足矩陣相乘的條件。
本題用拉普拉斯定理來(lái)證明H可逆。
若A可逆，且AX=0,那么X為零矩陣（因?yàn)閄=A-1 * 0=0）
矩陣的初等變換：
注意：A是方陣
任意矩陣可以通過(guò)初等變化變?yōu)闃?biāo)準(zhǔn)型
初等變化包括行的變化和列的變化。
A經(jīng)初等變化得到矩陣B，則A與B等價(jià)。
初等方陣：E做一次初等變換得到的矩陣。
初等方陣均可逆，其逆矩陣也是初等方陣，其轉(zhuǎn)置也是初等方陣 。
下面的i,j都表示行標(biāo)。
左乘初等方陣，相當(dāng)于對(duì)A實(shí)施了同等的行變化，右乘初等方陣，相當(dāng)于對(duì)A實(shí)施了同等的列變化。
做證明題時(shí)，左右乘初等方陣，證明等價(jià)很有用。
要注意A是否可逆：可以通過(guò)是否能化為標(biāo)準(zhǔn)型看出
任意矩陣（可以不是方針）都可以化為標(biāo)準(zhǔn)型
嚴(yán)格增加意味著必須越來(lái)越大，而不能出現(xiàn)相等（即只能大于，不能大于等于 ）
行簡(jiǎn)化階梯型的定義：
初等變換不影響矩陣的秩。
矩陣的行秩等于列秩。
β是α的線性組合。
若k1a1 + k2a2 + k3a3.... = 0，且k1,k2,k3,,,不全為0，則稱a1,a2,a3,,,線性相關(guān)
零向量可以由任意向量表示。
向量組中任一向量可由向量組（包括該向量在內(nèi)）表示。
兩個(gè)向量組等價(jià)：兩個(gè)向量組中的向量可以相互由另一向量組的向量來(lái)表示。
- 向量組中兩向量成比例，則線性相關(guān)。
- 含有零向量的向量組必定線性相關(guān)。
- 一個(gè)零向量必定線性相關(guān)。
- 一個(gè)非零向量必定線性無(wú)關(guān)。
- 若有一個(gè)向量α相關(guān)，那么α必定是零向量。
- 若α1,,,,αr相關(guān)，那么α1,,,,αs相關(guān)（s≥r，此處的下標(biāo)指代向量的個(gè)數(shù)）
- 若α1,,,,αr無(wú)關(guān)，那么α1,,,,αs無(wú)關(guān)（s≤r，此處的下標(biāo)指代向量的個(gè)數(shù)）
- 若某一向量組相關(guān)，那么減少它們的維數(shù)，它們也相關(guān)。
- 若某一向量組無(wú)關(guān)，那么增加它們的維數(shù)，它們也無(wú)關(guān)。
- n個(gè)n維向量，若D≠0，則無(wú)關(guān)，否則線性相關(guān)。
注意，“根據(jù)向量，豎著寫！”
即 它們的線性組合也相互之間無(wú)關(guān)。
極大線性無(wú)關(guān)組可以不唯一。但任意兩個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組無(wú)關(guān)組所含的向量的個(gè)數(shù)相同。
全是零向量的向量組沒(méi)有極大線性無(wú)關(guān)組。
任何一個(gè)向量組與它的極大線性無(wú)關(guān)組等價(jià)。
極大線性無(wú)關(guān)組之間相互等價(jià)，且所含向量個(gè)數(shù)相同。
向量組的秩：極大無(wú)關(guān)組含向量的個(gè)數(shù)。
向量組的秩小于min(向量個(gè)數(shù)，向量維數(shù))
線性無(wú)關(guān)的充要條件：r=s(r為向量組的秩，s為向量的個(gè)數(shù))
相關(guān)的充要條件：r<s
若兩個(gè)向量組等價(jià)，那它們的秩相等。但是秩相等，向量組不一定等價(jià)。
行秩：行向量組的秩。
列秩：列向量組的秩。
矩陣的秩等于行秩也等于列秩。
r(AB) ≤min{r(A),r(B)}
初等行變換不改變矩陣列向量組的線性關(guān)系。
判斷兩個(gè)向量是否線性無(wú)關(guān)：看它們是否成比例。
化成行簡(jiǎn)化階梯形
注意是所在的列作為極大無(wú)關(guān)組。
記得化簡(jiǎn)為行簡(jiǎn)化階梯形，除了首非零元以外的未知數(shù)都是自由未知數(shù)。
齊次方程組一定有解。
齊次方程要么沒(méi)有非零解，要么有無(wú)窮多個(gè)非零解，同時(shí)它一定有零解。
基礎(chǔ)解系的個(gè)數(shù)：n - r (n是未知數(shù)個(gè)數(shù)，r是系數(shù)矩陣的秩)
λ 可以為 0， 但是特征向量（特征向量是列向量）α 為非零向量。（α稱為對(duì)應(yīng)于λ 的特征向量）
特征向量α只能對(duì)應(yīng)一個(gè)特征值
注意，C2,C3不同時(shí)為0
注意，并不是說(shuō)行列式等于對(duì)角線的乘積，而是指行列式的其中一項(xiàng)是對(duì)角線相乘。
K重特征根對(duì)應(yīng)的線性無(wú)關(guān)的特征向量的個(gè)數(shù)不超過(guò)K。
Kλ是KA的特征值。
λ^n 是 A^n的特征值。
A,B有相同特征值， 但不能證明AB相似。
注意，該定理是“充要條件”
推論：如果A有n個(gè)互異的特征根，那么A一定相似于對(duì)角形。（但反過(guò)來(lái)不一定成立）
注意P = (α1,α2,α3,,,,), Λ=(λ1,λ2,λ3)，注意對(duì)應(yīng)關(guān)系。
有幾重特征根就有一個(gè)基礎(chǔ)解系。
零向量和任何向量都正交。
和自身正交的向量一定是零向量。
正交向量組：組內(nèi)的任意向量?jī)蓛烧?，且組內(nèi)不含零向量。
一組線性無(wú)關(guān)的標(biāo)準(zhǔn)正交向量組，求與之等價(jià)的正交向量組。
再對(duì)β1，β2，β3，，，βs做標(biāo)準(zhǔn)化，即可得到標(biāo)準(zhǔn)正交向量組。
若AAT = E，則稱A為正交矩陣。
若A是正交矩陣，那么AT，A^-1也是正交矩陣，且A^-1 = AT。
若A，B正交，那么AB也正交。
若A是正交矩陣，α和β都是列向量，那么
(Aα,Aβ) = (α, β)
例 ：證明A是正交矩陣。（圖片中寫錯(cuò)了， 沒(méi)有“|A|=1”這個(gè)條件）
n階實(shí)對(duì)稱矩陣，它的特征向量的元素和特征根都是實(shí)數(shù)。
實(shí)對(duì)稱矩陣的不同特征值的特征向量正交。
正交相似：P為正交矩陣（正交矩陣一定可逆）。
矩陣的對(duì)角化：
前提，A為n階方陣，且有n個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量。
實(shí)對(duì)稱矩陣一定能正交對(duì)角化。
二次型矩陣一定對(duì)稱。
根據(jù)矩陣轉(zhuǎn)換成表達(dá)式，只需將對(duì)稱位置上的系數(shù)想加。
合同：A,B均為方陣，若存在可逆矩陣C，使得CTAC=B，則稱AB合同。
合同的性質(zhì)：
A,B合同，則秩相等，且A的轉(zhuǎn)置合同B的轉(zhuǎn)置
A，B合同，則A是對(duì)稱矩陣的充要條件是B也是對(duì)稱矩陣。
A，B合同，且A，B均可逆，則A的逆和B的逆合同
前兩個(gè)都是y1-y2,y1+y2,后面都是y3,y4,y5,,,
初等變換法例題：
任何二次型都可以化為標(biāo)準(zhǔn)型，也可以化為規(guī)范型。
標(biāo)準(zhǔn)型：除了對(duì)角線元素以外的元素為0
規(guī)范型：對(duì)角線元素必須先是一個(gè)或多個(gè)1，再是1個(gè)或多個(gè)-1,最后是1個(gè)或多個(gè)0，中間必須連續(xù)，不可中斷。
先做列變換，再做相應(yīng)的行變換。注意，做一次列變換和行變換之后，得到的一定是對(duì)稱矩陣。
規(guī)范型矩陣的秩：-1和1的個(gè)數(shù)（其實(shí)也是該矩陣的秩）
正慣性指數(shù)：正項(xiàng)的個(gè)數(shù)
負(fù)慣性指數(shù)：負(fù)項(xiàng)的個(gè)數(shù)
符號(hào)差：正指數(shù)- 負(fù)指數(shù)
合同的充要條件：有相同的秩和相同的正（負(fù)）慣性指數(shù)
正交變換法：
此處的x是向量，x=(x1,x2,x3,,,)
假設(shè)A是n階矩陣，正慣性指數(shù)是n
A與單位陣合同。
A正定的其中一個(gè)充要條件：A的各階順序主子式大于0
牢記A是二次型矩陣。
