高數(shù)-極限三大核心應(yīng)用，一個(gè)視頻搞定！
大餅老師 | 1-4 極限的應(yīng)用
無窮小的比較
極限的四則運(yùn)算法則
若lim f (x)= A, lim g (x)= B，則有
（1）lim[f(x)±g(x)] = lim f(x)± lim g(x)=A±B
（2）lim[f(x)g(x)]= lim f(x)·lim g(x)=AB
應(yīng)用1：無窮小的比較
注：■指的是有限值x?或無窮大∞
例如：limx→0 x2=0 limx→1/x =0
正確認(rèn)知：無窮小不是一個(gè)數(shù)，它是一個(gè)變量
零也是一個(gè)無窮小
1.2無窮小比較：無窮小趨向于0的速度快慢的比較
limx→0 x3/x2=limx→0 x=0
limx→0 x2/x3=limx→0 1/x =∞
limx→3 x2-9/x-3 =limx→0 (x+3)=6
limx→0 1-cosx/x2 =1/2
。limx→0 sinx/x =1
注：f(x)和g(x)是同一個(gè)自變量x的變化過程中的無窮小，且g(x)≠0.
常見等價(jià)無窮?。ū乇常?/strong>
x→0
sinx ~ x
tanx～x
arcsinx ~ x
arctanx ~ x
ln(1+x) ~ x
e?-1 ~ x
1-cosx ~ 1/2x2
a?-1 ~ xlna
(1+x)?-1 ~ ax
題型1：求極限
（1）確定型：代入法
（2）分式型未定型：找等價(jià)無窮小
（3）分式型未定型：提t(yī)anx
注意：當(dāng)無窮小加減無窮小，不能用等價(jià)無窮小。只有乘法或除法可以替換。
使用等價(jià)無窮小替換的注意事項(xiàng)：
（1）無窮小才能替換，即x→0，如習(xí)題(1) limx→1 tanx/x
（2）方塊思維（整體觀），如習(xí)題(2)limx→3
（3）當(dāng)無窮小量相加減時(shí)，不可將其中任意一個(gè)進(jìn)行替換，如習(xí)題(3)limx→0 tanx-sinx /x3
乘除用等價(jià)無窮小替換，加減用麥克勞林替換
題型2：無窮小比較
設(shè)f(x)= 2?+3?-2，則當(dāng)x→0時(shí)
A. f(x)是x的等價(jià)無窮小量
B. f(x)與x同階但非等價(jià)無窮小量?
C. f(x)是比x較高階無窮小量
D. f(x)是比x較低階無窮小量
- 第一步：判斷出是未定型
- 第二步：判斷出是分式型
- 第三步：用極限的加法運(yùn)算，拆成兩個(gè)極限，再找等價(jià)無窮小
注：■指的是有限值x?或無窮大∞.
lnx < x? <x? < c? <<d? <<x! << x?（x→+∞，0<a<b，1<c<d）
2??函數(shù)連續(xù)與間斷
（1）有定義
（2）有極限
（3）極限值等于函數(shù)值
連續(xù)特點(diǎn)：—筆畫
2. 間斷點(diǎn)定義：
設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x?某去心領(lǐng)域內(nèi)有定義，如果函數(shù)f(x)有下列三種情況之一，
（1）在x = x?沒有定義；
就稱f(x)在x?處不連續(xù)，或點(diǎn)x稱為函數(shù)f(x)的不連續(xù)點(diǎn)或間斷點(diǎn)
間斷特點(diǎn)：不是一筆畫
第一類間斷點(diǎn)（左、右極限都存在）
（1）可去間斷點(diǎn)
（2）跳躍間斷點(diǎn)
第二類間斷點(diǎn)（左、右極限至少一個(gè)不存在）
（1）無窮間斷點(diǎn)
（2）振蕩間斷點(diǎn)
間斷點(diǎn)判斷的兩步法：
（1）尋找間斷點(diǎn)
- 函數(shù)定義域邊界
- 分段函數(shù)分界點(diǎn)
（2）算左右極限
- 第一步：找間斷點(diǎn)：定義域
- 第二步：算左右極限
3??函數(shù)的漸近線
漸近線：曲線上一點(diǎn)M沿曲線無限遠(yuǎn)離原點(diǎn)或無限接近間斷點(diǎn)時(shí)，如果M到一條直線的距離無限趨近于零，那么這條直線稱為這條曲線的漸近線。
- 水平漸近線
- 斜漸近線
- 鉛直漸近線
（1）水平漸近線：
（2）斜漸近線：
（3）鉛直漸近線：
- 水平漸近線：y=c，c = lim x→∞ f(x)
- 分母→∞，f(x)→0
- 鉛直漸近線：x=a，lim x→a f(x)=∞
- f(x)是分式，讓分母=0
總結(jié)
家庭作業(yè)
