【經(jīng)典教程翻譯】卡爾曼與貝葉斯濾波器：離散貝葉斯濾波器（上）

2023-02-22 21:38 作者:MyEncyclopedia公號 0人讀過 | 我要投稿

本期繼續(xù)大神 Roger Labbe 的?Kalman and Bayesian Filters in Python。本文為第二章離散貝葉斯過濾器，通過逐漸復(fù)雜的例子建立離散貝葉斯的直覺觀念。

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【經(jīng)典教程翻譯】卡爾曼與貝葉斯濾波器：直覺理解濾波器背后的原理（上）

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【經(jīng)典教程翻譯】卡爾曼與貝葉斯濾波器：直覺理解濾波器背后的原理（下：濾波器的思考框架）

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離散貝葉斯濾波器

卡爾曼濾波器屬于稱為貝葉斯濾波器的濾波器家族。大多數(shù)卡爾曼濾波器的教科書介紹了貝葉斯公式，也許顯示了它如何影響卡爾曼濾波器方程，但大多數(shù)情況下討論的非常抽象。

這種方法需要對數(shù)學(xué)的幾個領(lǐng)域有相當復(fù)雜的理解，盡管它仍然把理解和形成直覺的大部分工作留給了讀者。

我將使用不同的方式來展開這個主題，我對 Dieter Fox 和 Sebastian Thrun 的工作感激不盡。他們通過跟蹤穿過走廊的物體來建立貝葉斯統(tǒng)計如何工作的直覺——他們使用機器人，我使用狗。我喜歡狗，它們比機器人更難以預(yù)測，這給濾波帶來了有趣的困難。我能找到的第一個發(fā)布的例子似乎是 Fox 1999 (Monte carlo localization: Efficient position estimation for mobile robots)，F(xiàn)ox 2003 (Bayesian Filters for Location Estimation) 中有一個更完整的例子。Sebastian Thrun 在他出色的 Udacity 課程 Artificial Intelligence for Robotics ?中也使用了這個公式。事實上，如果您喜歡看視頻，我強烈建議您暫停閱讀本書，轉(zhuǎn)而閱讀該課程的前幾課，然后再返回本書以更深入地探討該主題。

現(xiàn)在讓我們使用一個簡單的思想實驗，就像我們對 g-h 濾波器所做的一樣，看看我們?nèi)绾瓮茢嗍褂酶怕蔬M行濾波和跟蹤。

追蹤小狗

讓我們從一個簡單的問題開始。我們有一個歡迎狗的工作空間，所以人們帶著他們的狗來工作。偶爾，這些狗會走出辦公室，穿過大廳。我們希望能夠追蹤他們。因此，在黑客馬拉松期間，有人發(fā)明了一種聲納傳感器，可以掛在狗的項圈上。它發(fā)出信號，聆聽回聲，根據(jù)回聲返回的速度，我們可以判斷狗是否在敞開的門口前。它還會感知狗何時行走，并報告狗移動的方向。它通過 wifi 連接到網(wǎng)絡(luò)并每秒發(fā)送一次更新。

我想追蹤我的小狗 Simon ，所以我將設(shè)備系在它的項圈上，然后啟動 Python，準備編寫代碼來追蹤它穿過大樓。乍一看，這似乎是不可能的。如果我開始聽 Simon 衣領(lǐng)上的傳感器，我可能會讀到door、hall、hall等等。我如何使用該信息確定 Simon 的位置？

為了使問題足夠小以便于繪制，我們假設(shè)走廊中只有 10 個位置，我們將其編號為 0 到 9，其中 1 在 0 的右邊。出于稍后將清楚的原因，我們還將假設(shè)走廊是圓形或矩形的。如果你從位置 9 向右移動，你將在位置 0。

當我開始聽傳感器時，我沒有理由相信Simon在走廊的任何特定位置。從我的角度來看，他處于任何位置的可能性都是一樣的。有 10 個位置，所以他在任何給定位置的概率是 1/10。

讓我們在 NumPy 數(shù)組中表示我們對他的位置的信念。我可以使用 Python List，但 NumPy 數(shù)組提供了我們即將使用的功能。

In?[3]:

在貝葉斯統(tǒng)計中，這稱為先驗。它是合并測量或其他信息之前的概率。更完整地說，這稱為先驗概率分布。概率分布是一個事件所有可能概率的集合。概率分布總和為 1，因為某些事情必須發(fā)生；該分布列出了所有可能的事件和每個事件的概率。

我相信您以前使用過概率——例如“今天下雨的概率是 30%”。最后一段聽起來更多。但是貝葉斯統(tǒng)計是概率的一場革命，因為它將概率視為對單個事件的信念。讓我們舉個例子。我知道如果我無限次地擲一枚公平的硬幣，我將得到 50% 的正面和 50% 的反面。這被稱為頻率派統(tǒng)計，以區(qū)別于貝葉斯統(tǒng)計，來計算基于事件發(fā)生的頻率。

我又擲了一次硬幣，讓它落地。我認為它以哪種方式著陸？頻率派概率論對此無話可說。它只會說 50% 的硬幣以正面朝上。在某些方面，將概率分配給硬幣的當前狀態(tài)是沒有意義的。它要么是正面，要么是反面，我們只是不知道是哪一個。貝葉斯將其視為對單個事件的信念——我相信或知道這個特定的拋硬幣是正面的強度是 50%。有些人反對“信念”一詞；信念可能意味著在沒有證據(jù)的情況下認為某事是真實的。在本書中，它始終是我們知識強度的衡量標準。隨著我們的進行，我們將了解更多相關(guān)信息。

貝葉斯統(tǒng)計考慮了過去的信息（先驗信息）。我們觀察到每 100 天下 4 次雨。由此我可以說明天下雨的可能性是 1/25。這不是天氣預(yù)報的方式。如果我知道今天在下雨并且風暴前線停滯不前，那么明天很可能會下雨。天氣預(yù)報是貝葉斯的。

在實踐中，統(tǒng)計學(xué)家混合使用頻率派和貝葉斯技術(shù)。有時很難或不可能找到先驗，因而頻率派占主導(dǎo)地位。在本書中我們可以找到先驗。當我談?wù)撃呈碌母怕蕰r，我指的是在給定過去事件的情況下某些特定事物為真的概率。當我這樣做時，我采用了貝葉斯方法。

現(xiàn)在讓我們創(chuàng)建走廊的地圖。我們將把前兩扇門靠在一起，然后將另一扇門放在更遠的地方。我們將 1 用于門，0 用于墻：

In?[4]:

我開始在網(wǎng)絡(luò)上監(jiān)聽 Simon 的傳輸，我從傳感器獲得的第一個數(shù)據(jù)是door。目前假設(shè)傳感器總是返回正確的答案。由此我斷定他在一扇門前，但哪一扇呢？我沒有理由相信他在第一、第二或第三扇門前。我能做的是為每扇門分配一個概率。所有門的可能性都一樣，而且一共有三扇門，所以我為每扇門分配了 1/3 的概率。

In?[5]:

這種分布稱為分類分布，它是描述觀察概率的離散分布 $n$ 結(jié)果。這是一個多峰分布，因為我們對我們的狗的位置有多種看法。當然，我們并不是說我們認為他同時在三個不同的位置，只是我們將我們的知識范圍縮小到這三個位置之一。我的（貝葉斯）信念是，有 33.3% 的機會在 0 號門，33.3% 的機會在 1 號門，33.3% 的機會在 8 號門。

這是兩個方面的改進。我已經(jīng)拒絕了一些不可能的走廊位置，我對剩余位置的信念強度從 10% 增加到 33%。隨著我們知識的提高，概率將接近 100%。

關(guān)于分布的眾數(shù)的幾句話。給定一個數(shù)字列表，例如 {1, 2, 2, 2, 3, 3, 4}，眾數(shù)是最常出現(xiàn)的數(shù)字。對于這個集合，眾數(shù)是 2。一個分布可以包含多個眾數(shù)。列表 {1, 2, 2, 2, 3, 3, 4, 4, 4} 的眾數(shù)是 2 和 4，因為它們都出現(xiàn)了三次。我們說前者是單峰的，后者是多峰的。

用于此分布的另一個術(shù)語是直方圖。直方圖以圖形方式描述了一組數(shù)字的分布。上面的條形圖是一個直方圖。

我在上面的代碼中手工編碼了belief數(shù)組。我們將如何在代碼中實現(xiàn)它？我們用 1 表示門，用 0 表示墻，所以我們將走廊變量乘以百分比，如下所示；

In?[6]:

讓我們把 Python 放在一邊，稍微思考一下這個問題。假設(shè)我們要從 Simon 的傳感器中讀取以下內(nèi)容：

門
向右移
門

我們能推斷出Simon的位置嗎？當然！考慮到走廊的布局，只有一個地方可以得到這個序列，那就是在左端。因此我們可以自信地說Simon在第二個門口。如果你不清楚，假設(shè)Simon是從第二或第三扇門開始的。向右移動后，他的傳感器會返回“墻”。這與傳感器讀數(shù)不符，所以我們知道他不是從那里開始的。對于所有剩余的起始位置，我們可以繼續(xù)使用該邏輯。唯一的可能，就是他現(xiàn)在就在第二道門前。我們的信念是：

In?[7]:

我設(shè)計了走廊布局和傳感器讀數(shù)，以便快速為我們提供準確的答案。真正的問題并不是那么明確。但這應(yīng)該觸發(fā)你的直覺——第一個傳感器讀數(shù)只給了我們Simon位置的低概率 (0.333)，但在位置更新和另一個傳感器讀數(shù)之后，我們更了解他在哪里。你可能會懷疑，如果你有一個很長的走廊，有很多門，那么在幾次傳感器讀數(shù)和位置更新之后，我們要么能夠知道Simon在哪里，要么將可能性縮小到少數(shù)可能性。當一組傳感器讀數(shù)僅匹配一個或幾個起始位置時，這是可能的。

我們現(xiàn)在可以實施這個解決方案，但讓我們考慮這個問題在現(xiàn)實世界中的復(fù)雜性。

有噪聲的傳感器

完美的傳感器很少見。如果Simon坐在門前抓撓自己，傳感器可能不會檢測到門，或者如果他沒有面朝走廊，傳感器就會誤讀。因此，當我得到 door ，就不能使用 1/3 作為概率。我要給每扇門分配不到1/3，給每個空白墻位置分配一個小概率。就像是

乍一看，這似乎是無法克服的。如果傳感器有噪音，就會對每條數(shù)據(jù)產(chǎn)生懷疑。如果我們總是不確定，我們怎么能得出結(jié)論呢？

對于上述問題，答案是有概率的。我們已經(jīng)很樂意為狗的位置分配概率信念；現(xiàn)在我們必須考慮由傳感器噪聲引起的額外不確定性。

假設(shè)我們得到了door的讀數(shù)，并假設(shè)測試表明傳感器正確的可能性是錯誤的 3 倍。我們應(yīng)該在有門的地方將概率分布縮放 3 倍。如果我們這樣做，結(jié)果將不再是概率分布，但我們稍后會學(xué)習如何解決這個問題。

讓我們在 Python 代碼中看一下。這里我使用變量z來表示測量。z或者y是測量文獻中的習慣選擇。作為一名程序員，我更喜歡有意義的變量名，但我希望您能夠閱讀文獻或其他濾波代碼，所以我現(xiàn)在將開始介紹這些縮寫名稱。

In?[8]:

這不是概率分布，因為它的總和不等于 1.0。但代碼基本上做對了——門被分配的數(shù)字 (0.3) 比墻 (0.1) 高 3 倍。我們需要做的就是對結(jié)果進行歸一化，以便概率總和正確為 1.0。歸一化是通過將每個元素除以列表中所有元素的總和來完成的。使用 NumPy 很容易：

Out[9]:

FilterPy 使用以下函數(shù)實現(xiàn)此normalize功能：

說“正確的可能性是錯誤的 3 倍”有點奇怪。我們正在研究概率，所以讓我們指定傳感器正確的概率，并從中計算比例因子。方程式是

$scale%20%3D%20%20%5Cfrac%7Bprob_%7Bcorrect%7D%7D%7Bprob_%7Bincorrect%7D%7D%20%3D%20%5Cfrac%7Bprob_%7Bcorrect%7D%7D%20%7B1-prob_%7Bcorrect%7D%7D%0A$

此外，for循環(huán)很麻煩。作為一般規(guī)則，您將希望避免for在 NumPy 代碼中使用循環(huán)。NumPy 是在 C 和 Fortran 中實現(xiàn)的，因此如果您避免 for 循環(huán)，結(jié)果通常比等效循環(huán)運行速度快 100 倍。

我們?nèi)绾螖[脫這個for循環(huán)？NumPy 允許您使用布爾數(shù)組索引數(shù)組。您使用邏輯運算符創(chuàng)建一個布爾數(shù)組。我們可以找到走廊中的所有門：

Out[10]:

當您使用布爾數(shù)組作為另一個數(shù)組的索引時，它只返回索引所在的元素True。因此我們可以如此代替 for

教你 NumPy 超出了本書的范圍。我將使用慣用的 NumPy 結(jié)構(gòu)，并在我第一次展示它們時對其進行解釋。如果您是 NumPy 的新手，有很多博客文章和視頻介紹如何高效且地道地使用 NumPy。

這是我們的改進版本：

In?[11]:

我們可以從輸出中看到，總和現(xiàn)在是 1.0，門與墻的概率仍然是原來的三倍。結(jié)果也符合我們的直覺，門的概率必須小于 0.333，而墻的概率必須大于 0.0。最后，它應(yīng)該符合我們的直覺，即我們還沒有得到任何信息可以讓我們區(qū)分任何給定的門或墻的位置，所以所有的門位置應(yīng)該具有相同的值，墻的位置也應(yīng)該如此。

這個結(jié)果稱為后驗，是后驗概率分布的簡稱。它們都表示合并測量信息后的概率分布（在此上下文中后驗表示“之后”）。回顧一下，先驗是包含測量信息之前的概率分布。

另一個術(shù)語是似然。當我們計算時，belief[hall==z] *= scale 我們正在計算每個位置被測量的可能性。似然值不是概率分布，因為它總和不為一。

這些的組合給出了等式

$%5Cmathtt%7Bposterior%7D%20%3D%20%5Cfrac%7B%5Cmathtt%7Blikelihood%7D%20%5Ctimes%20%5Cmathtt%7Bprior%7D%7D%7B%5Cmathtt%7Bnormalization%7D%7D%0A$

當我們談?wù)摓V波器的輸出時，我們通常將執(zhí)行預(yù)測后的狀態(tài)稱為先驗或預(yù)測，并將更新后的狀態(tài)稱為后驗或狀態(tài)估計。

學(xué)習和內(nèi)化這些術(shù)語非常重要，因為大多數(shù)文獻都廣泛使用它們。

scaled_update()執(zhí)行了此計算？確實如此。讓我把它改寫成這種形式：

In?[12]:

這個功能并不完全通用。它包含有關(guān)走廊的知識，以及我們?nèi)绾螌y量值與其匹配。我們總是努力編寫通用函數(shù)。這里我們將從函數(shù)中移除似然計算，并要求調(diào)用者自己計算似然。

這是該算法的完整實現(xiàn)：

似然的計算因問題而異。例如，傳感器可能不會只返回 1 或 0，而是返回float 0 和 1 之間的值，表示在門前的概率。它可能會使用計算機視覺并報告一個斑點形狀，然后您可以概率地將其與門匹配。它可能會使用聲納并返回距離讀數(shù)。在每種情況下，似然的計算都會不同。我們將在本書中看到許多這樣的例子，并學(xué)習如何進行這些計算。

FilterPy 實現(xiàn)update. 這是完全通用形式的先前示例：

In?[13]:

Out[13]:

結(jié)合運動測量值

回想一下，當我們結(jié)合一系列測量和運動更新時，我們能夠以多快的速度找到一個精確的解決方案。然而，這發(fā)生在一個完美傳感器的虛構(gòu)世界中。我們能否找到帶有噪聲傳感器的精確解決方案？

不幸的是，答案是否定的。即使傳感器讀數(shù)與極其復(fù)雜的走廊地圖完美匹配，我們也不能 100% 確定狗在特定位置，畢竟，每個傳感器讀數(shù)都有錯誤的可能性很??！自然地，在更典型的情況下，大多數(shù)傳感器讀數(shù)都是正確的，我們可能接近 100% 確定我們的答案，但永遠不會 100% 確定。這可能看起來很復(fù)雜，但讓我們繼續(xù)進行數(shù)學(xué)編程。

首先讓我們處理簡單的情況——假設(shè)運動傳感器是完美的，它報告說狗向右移動了一個空間。我們將如何改變我們的belief陣列？

我希望經(jīng)過片刻的思考后，很明顯我們應(yīng)該將所有值向右移動一個空格。如果我們之前認為 Simon 有 50% 的機會在位置 3，那么在他向右移動一個位置后我們應(yīng)該相信他有 50% 的機會在位置 4。走廊是圓形的，所以我們將使用模運算來執(zhí)行移位。

In?[14]:

我們可以看到我們正確地將所有值向右移動了一個位置，從數(shù)組的末尾回到開頭。

下一個單元格對此進行動畫處理，以便您可以看到它的運行情況。使用滑塊及時向前和向后移動。這模擬了Simon在走廊里走來走去。它尚未包含新的測量值，因此概率分布不會改變形狀，只會改變位置。

In?[15]:

復(fù)習術(shù)語

讓我們暫停一下來回顧一下術(shù)語。我在上一章介紹了這個術(shù)語，但讓我們花點時間來幫助鞏固你的知識。

系統(tǒng)是我們試圖建?；驗V波的對象。這里的系統(tǒng)是我們的狗。狀態(tài)是其當前配置或值。在本章中，狀態(tài)是我們狗的位置。我們很少知道實際狀態(tài)，所以我們說我們的濾波器產(chǎn)生系統(tǒng)的狀態(tài)估計。在實踐中，這通常被稱為狀態(tài)，所以要小心理解上下文。

預(yù)測和更新測量的一個周期稱為狀態(tài)的或系統(tǒng)的迭代，它是時間迭代的簡稱。另一個術(shù)語是系統(tǒng)傳播。它指的是系統(tǒng)的狀態(tài)如何隨時間變化。對于濾波器，時間通常是離散的步長，例如 1 秒。對于我們的狗追蹤器，系統(tǒng)狀態(tài)是狗的位置，狀態(tài)迭代是經(jīng)過離散時間后的位置。

我們使用過程模型對系統(tǒng)行為進行建模。在這里，我們的過程模型是狗在每個時間步移動一個或多個位置。這不是一個關(guān)于狗行為的特別準確的模型。模型中的錯誤稱為系統(tǒng)錯誤或過程錯誤。

預(yù)測是我們的新先驗。時間向前發(fā)展，我們在不知道測量結(jié)果的情況下做出了預(yù)測。

讓我們舉個例子。狗的當前位置是 17 m。我們的迭代時長為 2 秒，狗以 15 m/s 的速度行進。我們預(yù)測他將在兩秒鐘內(nèi)到達哪里？

顯然，

$%5Cbegin%7Baligned%7D%0A%5Cbar%20x%20%26%3D%2017%20%2B%20(15*2)%20%5C%5C%0A%26%3D%2047%0A%5Cend%7Baligned%7D%0A$

我在變量上使用條形圖來表示它們是先驗（預(yù)測）。我們可以這樣寫過程模型的等式：

$%5Cbar%20x_%7Bk%2B1%7D%20%3D%20f_x(%5Cbullet)%20%2B%20x_k%0A$

$x_k$ 是當前位置或狀態(tài)。如果狗在 17 m 處，則 $x_k%20%3D%2017$ .

$f_x(%5Cbullet)$ 是 x 的狀態(tài)傳播函數(shù)。它描述了 $x_k$ 在一個時間步內(nèi)發(fā)生變化多少。對于我們的示例，它執(zhí)行計算 $15%20%5Ccdot%202$ ，所以我們將其定義為

$f_x(v_x%2C%20t)%20%3D%20v_k%20t%0A$

給預(yù)測增加不確定性

perfect_predict()假設(shè)完美的測量，但所有傳感器都有噪音。如果傳感器報告我們的狗移動了一個空間，但他實際上移動了兩個空間，或者零個空間怎么辦？這聽起來像是一個無法克服的問題，但讓我們對其建模并看看會發(fā)生什么。

假設(shè)傳感器的移動測量有 80% 的可能性是正確的，有 10% 的可能性向右超過一個位置，有 10% 的可能性低于向左的位置。也就是說，如果移動測量值為 4（即向右移動 4 個空格），則狗向右移動 4 個空格的可能性為 80%，向右移動 3 個空格的可能性為 10%，向右移動 5 個空格的可能性為 10%。

數(shù)組中的每個結(jié)果現(xiàn)在都需要包含 3 種不同情況的概率。例如，考慮測量值 2。如果我們 100% 確定狗從位置 3 開始，那么他有 80% 的機會在 5，10% 的機會在 4 或 6。讓我們嘗試編碼:

In?[16]:

它似乎工作正?！，F(xiàn)在，當我們的信念不是 100% 確定時會發(fā)生什么？

In?[17]:

Out[17]:

這里的結(jié)果比較復(fù)雜，但你應(yīng)該仍然能夠在腦海中計算出來。0.04 （新位置3）是由于 0.4 （原位置2）有10%過低測量導(dǎo)致的。0.38 （新位置4）是由于以下原因：80% 的機會我們從原位置2移動了 2 個位置（0.4$\times $0.8)%20%E5%92%8C%2010%25%20%E7%9A%84%E6%9C%BA%E4%BC%9A%E4%BB%8E%E5%8E%9F%E4%BD%8D%E7%BD%AE3%20%E8%BF%87%E4%BD%8E%E6%B5%8B%E9%87%8F%20(0.6$ \times$0.1)。過高的測量值在這里不起作用，因為如果我們從 0.4 和 0.6 對應(yīng)的位置得到過高測量值都會超過這個位置。我強烈建議做一些例子，直到所有這些都非常清楚，因為接下來的大部分內(nèi)容都取決于對這一步的理解。

如果您在執(zhí)行更新后查看概率，您可能會感到沮喪。在上面的示例中，我們從兩個位置的概率 0.4 和 0.6 開始；執(zhí)行更新后，概率不僅降低了，而且分散在地圖上。

這不是巧合，也不是精心挑選的例子的結(jié)果——預(yù)測總是正確的。如果傳感器有噪聲，我們會丟失一些關(guān)于每個預(yù)測的信息。假設(shè)我們要進行無限次預(yù)測——結(jié)果會是什么？如果我們在每一步都丟失信息，我們最終肯定會完全沒有信息，我們的概率將平均分布在數(shù)組中belief。讓我們嘗試 100 次迭代。情節(jié)是動畫的；使用滑塊更改步數(shù)。

In?[18]:

In?[19]:

在 100 次迭代之后，我們幾乎丟失了所有信息，即使我們 100% 確定我們從位置 0 開始。你可以隨意修改數(shù)字以查看不同更新次數(shù)的效果。例如，在 100 次更新后留下少量信息，在 50 次更新后留下很多信息，但是經(jīng)過 200 次迭代，基本上所有信息都丟失了。

而且，如果您在線查看此內(nèi)容，這里是該輸出的動畫。

我不會在本書的其余部分生成這些獨立的動畫。請參閱前言以獲取在 Web 上免費運行本書或在您的計算機上安裝 IPython 。這將允許您運行所有單元格并查看動畫。練習這段代碼非常重要，而不僅僅是被動地閱讀。

用卷積抽象

我們假設(shè)運動誤差最多是一個位置。但錯誤可能是兩個、三個或更多位置。作為程序員，我們總是希望抽象我們的代碼，使其適用于所有情況。

這很容易用卷積解決。卷積用另一個函數(shù)修改一個函數(shù)。在我們的例子中，我們正在使用傳感器的誤差函數(shù)修改概率分布。predict_move()是一個卷積的實現(xiàn)，雖然我們沒有這樣稱呼它。形式上，卷積定義為

$(f%20%5Cast%20g)%20(t)%20%3D%20%5Cint_0%5Et%20%5C!f(%5Ctau)%20%5C%2C%20g(t-%5Ctau)%20%5C%2C%20%5Cmathrm%7Bd%7D%5Ctau%0A$

$f%5Cast%20g$ 是將 f 與 g 進行卷積的符號。這并不意味著倍增。

積分用于連續(xù)函數(shù)，但我們使用的是離散函數(shù)。我們用求和代替積分，用數(shù)組括號代替括號。

$(f%20%5Cast%20g)%20%5Bt%5D%20%3D%20%5Csum%5Climits_%7B%5Ctau%3D0%7D%5Et%20%5C!f%5B%5Ctau%5D%20%5C%2C%20g%5Bt-%5Ctau%5D%0A$

predict_move()正在計算這個方程 - 它計算一系列乘法的總和。

可汗學(xué)院對卷積有很好的介紹，維基百科有一些關(guān)于卷積的優(yōu)秀動畫。但是大意已經(jīng)很清楚了。您將一個稱為內(nèi)核的數(shù)組滑過另一個數(shù)組，將當前單元格的鄰居與第二個數(shù)組的值相乘。在上面的示例中，我們使用 0.8 表示移動到正確位置的概率，0.1 表示過低，0.1 表示過高。我們用 array 表示這個內(nèi)核[0.1, 0.8, 0.1]。我們需要做的就是編寫一個循環(huán)遍歷數(shù)組的每個元素，乘以內(nèi)核，然后對結(jié)果求和。為了強調(diào)信念是一種概率分布，我將其命名為pdf。

In?[20]:

代碼雖然實現(xiàn)了算法，但運行速度非常慢。SciPy在ndimage.filters模塊中提供了一個卷積方法 convolve()。我們需要在卷積之前將 pdf 移動 offset，np.roll()就可以。這樣，移動和預(yù)測可以用一行來實現(xiàn)：

FilterPy 使用 discrete_bayes.predict() 函數(shù)來實現(xiàn)。

In?[21]: