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?

方差分析是一種常見的統(tǒng)計模型，顧名思義，方差分析的目的是比較平均值。

為了說明該方法，讓我們考慮以下樣例，該樣例為學(xué)生在碩士學(xué)位課程中的最終統(tǒng)計考試成績（分?jǐn)?shù)介于0到20之間）。這是我們的因變量?

?！胺纸M”變量將是學(xué)生參加輔導(dǎo)課的方式，采用“自愿參與”，“非自愿參與”的方式。最后是“不參與”（不參加或拒絕參加的學(xué)生）。為了形成組，我們有兩個變量。第一個是學(xué)生的性別（“ F”和“ M”），第二個是學(xué)生的身份（取決于他們是否獲得許可）。

1. 


2. > tail(base)

3. PART GEN ORIG? NOTE

4. 112 ? vol ??? ? ? ?F????? R1 16.50

5. 113?? non_vol.???? M????? R1 11.50

6. 114?? non_vol.???? F????? R1 10.25

7. 115?? non_vol.???? F????? R1 10.75

8. 116?? non_vol.???? F?? ? ?a ?10.50

9. 117 ? vol ? ? ? ? ?M????? R1 15.75

在開始多因素分析之前，讓我們從單因素分析開始。我們可以查看分?jǐn)?shù)的變化，具體取決于分組變量?

1. > boxplot(base$NOTE~base$PAR

2. > abline(h=mean(base$NOTE),lty=2,col="re

?

我們還可以根據(jù)性別來查看?

> boxplot(NOTE~GEN,ylim=c(6,20))

?

?

在方差分析中，假設(shè)?

，

?

?指定可能的處理方式（這里有3種）。

我們將考慮對?

作為補充假設(shè)?

。然后，我們將估計兩個模型。

第一個是約束模型。

1. > sum(residuals(lm(NOTE~1,data=base))^2)

2. [1] 947.4979

對應(yīng)于

1. > (SCR0=sum((base$NOTE-mean(base$NOTE))^2))

2. [1] 947.4979

第二，我們進(jìn)行回歸，

1. > sum(residuals(lm(NOTE~PART,data=base))^2)

2. [1] 112.5032

當(dāng)我們與子組的平均值進(jìn)行比較時，就等于查看了誤差，

1. >

2. > (SCR1=sum((base$NOTE-base$moyNOTE)^2))

3. [1] 112.5032

費舍爾的統(tǒng)計數(shù)據(jù)

1. > (F=(SCR0-SCR1)*(nrow(base)-3)/SCR1/(3-1))

2. [1] 423.0518

判斷我們是否處于接受或拒絕假設(shè)的范圍內(nèi)?

，可以看一下臨界值，它對應(yīng)于費舍爾定律的95％分位數(shù)，

1. > qf(.95,3-1,nrow(base)-3)

2. [1] 3.075853

由于遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過了這個臨界值，我們拒絕?

。我們還可以計算p值

1. > 1-pf(F,3-1,nrow(base)-3)

2. [1] 0

在這里（通常）為零。它對應(yīng)于我們通過函數(shù)得到的

1. Analysis of Variance Table

2. 


3. Response: NOTE

4. Df Sum Sq Mean Sq F value??? Pr(>F)

5. PART??????? 2 834.99? 417.50? 423.05 < 2.2e-16 ***

6. Residuals 114 112.50??? 0.99

7. ---

或者

1. 


2. 


3. Terms:

4. PART Residuals

5. Sum of Squares? 834.9946? 112.5032

6. Deg. of Freedom??????? 2?????? 114

7. 


8. Residual standard error: 0.9934135

9. Estimated effects may be unbalanced

可以總結(jié)為

1. Analysis of Variance Table

2. 


3. Response: NOTE

4. Df??? Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)

5. PART??????? 2 834.99? 417.50? 423.05 < 2.2e-16 ***

6. Residuals 114 112.50??? 0.99

7. ---

?

我們在這里可以看到分?jǐn)?shù)并非獨立于分組變量。

我們可以進(jìn)一步挖掘。Tukey檢驗提供“多重檢驗”，它將成對地查看均值的差異，

1. 


2. Tukey multiple comparisons of means

3. 95% family-wise confidence level

4. 


5. 


6. $PART

7. diff?????? lwr????? upr??? p adj

8. non_vol.-non_part.?? 0.60416 -0.04784 1.2561 0.07539

9. volontaire-non_part. 6.66379? 5.92912 7.3984 0.00000

10. volontaire-non_vol.? 6.05962? 5.54078 6.5784 0.00000

我們在這里看到，“非自愿”和“非參與”之間的差異不顯著為非零?；蚋唵蔚卣f，假設(shè)我們將接受零為零的假設(shè)。另一方面，“自愿”參加的得分明顯高于“非自愿”參加或不參加的得分。我們還可以成對查看學(xué)生的檢驗，

1. 


2. Pairwise comparisons using t tests with pooled SD

3. 


4. data:? NOTE and PART

5. 


6. non_part. non_vol.

7. non_vol.?? 0.03????? -

8. volontaire <2e-16??? <2e-16

如果我們將“非自愿”和“非參與”這兩種方式結(jié)合起來，并將這種方式與“自愿”方式進(jìn)行比較，我們最終將對平均值進(jìn)行檢驗，

1. 


2. Welch Two Sample t-test

3. 


4. data:? NOTE[PART == "volontaire"] and NOTE[PART != "volontaire"]

5. t = 29.511, df = 50.73, p-value < 2.2e-16

6. alternative hypothesis: true difference in means is not equal to 0

7. 95 percent confidence interval:

8. 5.749719 6.589231

9. sample estimates:

10. mean of x mean of y

11. 16.66379? 10.49432

我們看到，我們在這里接受了“志愿者”學(xué)生的成績與其他學(xué)生不同的假設(shè)。

在繼續(xù)之前，請記住在模型中

在某種意義上說，與對應(yīng)于同調(diào)模型?

?不依賴分組?

。

我們可以使用Bartlett檢驗（該檢驗將檢驗方差的同質(zhì)性）來檢驗該假設(shè)，請記住，如果p值超過5％，則假設(shè)“方差齊整性”得到了驗證

1. 


2. Bartlett test of homogeneity of variances

3. 


4. data:? base$NOTE and base$PART

5. Bartlett's K-squared = 0.5524, df = 2, p-value = 0.7587

更進(jìn)一步，我們可以嘗試對性別進(jìn)行方差分析的兩因素分析，通常要根據(jù)我們的分組情況，也可以根據(jù)性別對變量進(jìn)行分析。當(dāng)均值的形式為零時，我們將講一個沒有相互作用的模型?

，我們可以包括我們考慮的交互

總的來說，我們的模型

其中，按實驗處理方式表示與觀察到的平均值平均值的偏差，而按組表示與所觀察到的平均值平均值的偏差。這樣可以通過添加一些約束來識別模型。最大似然估計：

對應(yīng)于總體平均值

對應(yīng)于每次實驗的平均值（或更確切地說，它與總體平均值的偏差），

最后

是

我們對一組進(jìn)行方差分析

對于約束模型，

?

?和?

?表示實驗次數(shù)和組數(shù)

方差分解公式在這里給出

我們將進(jìn)行手動計算，

1. 


2. Terms:

3. PART??? GENRE PART:GENRE Residuals

4. Sum of Squares? 834.9946? 20.9618???? 3.4398?? 88.1017

5. Deg. of Freedom??????? 2??????? 1????????? 2?????? 111

6. 


7. Residual standard error: 0.8909034

8. Estimated effects may be unbalanced

總結(jié)結(jié)果

1. Analysis of Variance Table

2. 


3. Response: NOTE

4. Df Sum Sq Mean Sq? F value??? Pr(>F)

5. PART???????? 2 834.99? 417.50 526.0081 < 2.2e-16 ***

6. GENRE??????? 1? 20.96?? 20.96? 26.4099 1.194e-06 ***

7. PART:GENRE?? 2?? 3.44??? 1.72?? 2.1669??? 0.1194

8. Residuals? 111? 88.10??? 0.79

9. ---

由于實驗組與對照組之間似乎沒有任何交互作用，因此可以將其從方差分析中刪除。

1. Analysis of Variance Table

2. 


3. Response: NOTE

4. Df Sum Sq Mean Sq F value??? Pr(>F)

5. PART??????? 2 834.99? 417.50 515.364 < 2.2e-16 ***

6. GENRE?????? 1? 20.96?? 20.96? 25.875 1.461e-06 ***

7. Residuals 113? 91.54??? 0.81

8. ---

從結(jié)果可以看到（自愿）參加課程會有所幫助。

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