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【種花家務(wù)·幾何】1-1-07角的度量和畫法『數(shù)理化自學(xué)叢書6677版』

2023-11-08 12:42 作者:山嵓 0人讀過 | 我要投稿

【閱前提示】本篇出自『數(shù)理化自學(xué)叢書6677版』，此版叢書是“數(shù)理化自學(xué)叢書編委會”于1963-1966年陸續(xù)出版，并于1977年正式再版的基礎(chǔ)自學(xué)教材，本系列叢書共包含17本，層次大致相當(dāng)于如今的初高中水平，其最大特點(diǎn)就是可用于“自學(xué)”。當(dāng)然由于本書是大半個世紀(jì)前的教材，很多概念已經(jīng)與如今迥異，因此不建議零基礎(chǔ)學(xué)生直接拿來自學(xué)。不過這套叢書卻很適合像我這樣已接受過基礎(chǔ)教育但卻很不扎實(shí)的學(xué)酥重新自修以查漏補(bǔ)缺。另外，黑字是教材原文，彩字是我寫的注解。

【山話嵓語】我在原有“自學(xué)叢書”系列17冊的基礎(chǔ)上又添加了1冊八五人教甲種本《微積分初步》，原因有二：一則，我是雙魚座，有一定程度的偶雙癥，但“自學(xué)叢書”系列中代數(shù)4冊、幾何5冊實(shí)在令我刺撓，因此就需要加入一本代數(shù)，使兩邊能夠?qū)ε计胶?；二則，我認(rèn)為《微積分初步》這本書對“準(zhǔn)大學(xué)生”很重要，以我的慘痛教訓(xùn)為例，大一高數(shù)第一堂課，我是直接蒙圈，學(xué)了個寂寞。另外大學(xué)物理的前置條件是必須有基礎(chǔ)微積分知識，因此我所讀院校的大學(xué)物理課是推遲開課；而比較生猛的大學(xué)則是直接開課，然后在緒論課中猛灌基礎(chǔ)高數(shù)（例如田光善舒幼生老師的力學(xué)課）。我選擇在“自學(xué)叢書”17本的基礎(chǔ)上添加這本《微積分初步》，就是希望小伙伴升大學(xué)前可以看看，不至于像我當(dāng)年那樣被高數(shù)打了個措手不及。?

第一章直線、角、平行線——角和垂線?

§1-7角的度量和畫法

【01】我們要知道一個角的大小，可以用量角器來度量。量角器（圖1·37）是一個半圓形塑料板制成的。其中的點(diǎn) O 是半圓形的圓心，把這個半圓弧等分成 180 個小格子，每一個小格表示 1 度，并在小格刻線的下面標(biāo)明 0 到 180 每隔 10 度的度數(shù)，為了度量角度方便起見，在同一個量角器上標(biāo)出次序正好相反的兩排度數(shù)。

【02】我們用量角器度量角的度數(shù)時，先把量角器的圓心 O 放在角的頂點(diǎn)上，并使量角器上標(biāo)明 0 度那條刻度線對準(zhǔn)角的一邊，角的另一邊所對準(zhǔn)的刻度線上所標(biāo)明的度數(shù)，就是這個角的度數(shù)。

【03】如圖13·8所示，∠ABC＝60°，其中量角器上的圓心 O 與 ∠ABC 的頂點(diǎn) B 重合在一起，又角的邊 BA 與量角器上的 0° 刻線重合，角的另一邊 BC 與量角器上的 60° 刻線重合。

【04】反過來，我們也可以用量角器畫出已知度數(shù)的角和畫出與已知角相等的角。例如我們要畫出等于 35° 的角，可先在平面上定一個點(diǎn) O（圖1·39），然后把量角器上的圓心對準(zhǔn)點(diǎn) O，再沿著量角器半圓周上的刻度定出 E，F(xiàn) 兩點(diǎn)，從點(diǎn) O 作射線 OE,OF，得出 ∠EOF 就是所要畫的 35° 角。

【05】我們還可以用量角器畫出等于幾個角的和或者兩個角的差的角，如圖1·40中的 ∠ABC＝∠1＋∠2＋∠3? 。

【06】如圖1·41中的 ∠EOF＝∠4－∠5? 。

【07】從角的相加可以看到，如果兩個角共有一個頂點(diǎn)和一條公共的邊，而且其他兩邊落在公共邊的兩旁，這樣的兩個角叫做互為鄰角。例如圖1·40中 ∠1 與 ∠2；∠2 與 ∠3 都是鄰角。

【08】用量角器還可以畫出等于一個已知角的整數(shù)倍的角。例如，要畫一個角等于已知角 a 的 3 倍，它的畫法就象上面所說的畫等于幾個角的和一樣，只要在角 a 上加上2個角 a 就可以了。如圖1·42中的 ∠POQ＝∠POR＋∠ROS＋∠SOQ＝∠a＋∠a＋∠a＝3∠a? 。

【09】用量角器還可以等分一個角。先量出這個角的度數(shù)，以等分的份數(shù)去除這個角的度數(shù)，計算出每一份的度數(shù)后，按照這個度數(shù)畫出所有的等分角線。例如，三等分 ∠AOB（圖1·43）。先量得 ∠AOB＝66°，則每一份是 66°÷3＝22°? 。再以 O 為頂點(diǎn)，作 ∠AOE＝∠EOF＝22°? 。那末 OD 和 OF 就是 ∠AOB 的兩條三等分線。

【10】如果把一個角分成二等分時，則中間那條射線叫做角平分線。

【11】在圖1·44中 ∠AOC＝∠COB，射線 OC 就是 ∠AOB 的平分線，反過來，如果知道 OC 是 ∠AOB 的平分線，那末 ∠AOC＝∠COB? 。

【12】講到這里，我們已經(jīng)學(xué)會用量角器來畫出幾個角的和、兩個角的差、一個角的整數(shù)倍和一個角的幾等分的角。但是，量角器的最小刻度是 1°，如果要畫的那個角的度數(shù)不是整數(shù)，例如 35.3°，它的一邊就在量角器上 35° 與 36° 之間，因此在畫的時候就必須用目測來估計這邊的位置，這樣畫出來的角就不可能很精確，總會有一些誤差。所以，用量角器畫角是一種近似畫角的方法。但只要我們在畫角的時候注意到它的精確度，是可以畫出誤差小于 1° 的角，這樣，就認(rèn)為是達(dá)到畫角的要求了。

【13】取一張紙，在它的一邊上標(biāo)出一點(diǎn) O（如圖1·45）作為平角的頂點(diǎn)，OA 和 OB 分別是這個平角的兩邊，事實(shí)上 A,O,B 在一直線上了。

【14】如果把這張紙折過來，使折痕過點(diǎn) O，并且射線 OA 與 OB 相重合，這時這個折痕就把這個平角分成相等的兩個角，其中的每一個角都是平角的一半。我們把平角的一半叫做直角，通常用記號“ $%7C%5C!%5Cunderline%7B%5Cquad%7D%20%5Cmkern%20-19mu%5Clarge_%7B%20_%7B%20%5Curcorner%7D%7D$ ”或“ $%7C%5C!%5Cunderline%7B%5Cquad%7D%20%5Cmkern%20-19mu%5Clarge_%7B_%20%7B%5Ccirc%7D%7Bd%7D%7D%20$ ”來表示直角。

【15】在上圖中的 ∠AOC＝∠COB，而且 ∠AOB 是平角，所以它們都是直角。直角的大小通常用字母 d 來表示，就是 ∠AOC＝d，∠COB＝d? 。平角等于 2d? 。周角等于 4d。

【16】因?yàn)樗械钠浇嵌枷嗟龋虼似浇堑囊话胍蚕嗟?。所以直角都相等?br>

【17】我們從量角器上所刻的度數(shù)可以知道，一個平角是 180°? 。因?yàn)橐粋€周角是平角的 2 倍，所以周角是 360°? 。一個直角是平角的一半，所以直角是 90°? 。

【18】我們再看圖1·46中所畫的這些角：

【19】其中的 ∠A 和 ∠B 都小于直角。這種小于直角而大于 0° 的角叫做銳角（0° 的角可理解為一條射線沒有轉(zhuǎn)動時的角）。

【20】其中的 ∠C 和 ∠D 都此直角大。這種大于直角而小于平角的角叫做鈍角。

【21】也可以有大于平角的角（圖1·47）。但是現(xiàn)在我們所研究的都是小子或等于平角的角；至于比平角大的角，除非特別指明，一般我們不研究。

【22】為了要精確地表示一個角的大小，我們把一度分成 60 等分，每一份叫做一分，再把一分分成 60 等分，每一份叫做一秒。用度、分、秒等單位來計量角的大小，那就精確得多了。度、分、秒分別用符號“ ° ”、“ ′ ”、“ ″ ”來表示。例如一個角是 32度25分30秒，可以寫成 32°25'30”? 。

例1.如圖1·48中 ∠AOB＝∠DOC，圖中還有相等的角嗎？為什么？

【解】因?yàn)?∠AOB＝∠DOC，如果這個等式的兩邊同時加上 ∠BOC，就有 ∠AOB＋∠BOC＝∠DOC＋∠BOC，相加，得 ∠AOC＝∠DOB? 。這是因?yàn)椤暗攘考拥攘科浜腿韵嗟取钡木壒省?/p>

例2.如圖1·49中，已知 ∠AOC＝∠BOD，一定有 ∠AOB＝∠COD，為什么？

【解】因?yàn)?∠AOC＝∠BOD，如果這個等式的兩邊同時減去 ∠BOC，就有 ∠AOC－∠BOC＝∠BOD－∠BOC，相減，得 ∠AOB＝∠COD? 。這是因?yàn)椤暗攘繙p等量其差仍相等”的緣故。

例3.如圖1·50中，∠AOB 是直角，∠1＝21°30'，∠2＝50°15′，∠3 是多少度？

【解】因?yàn)?∠AOB＝90°，∠1＝21°30'，∠2＝50°15′? ?！?∠3＝90°－(21°30'＋50°15')＝90°－71°45＝18°15'? 。答：∠3＝18°15'? 。

例4.計算窗框（圖1·51）相鄰兩根木條間所夾的角 a 是多少度？已知窗框間的夾角都是相等的。

【解】因?yàn)橐粋€平角等于180°? 。窗框之間的夾角 a 都是相等的，如圖共有 6 個角a，∴ ∠a＝180°÷6＝30°? 。答：∠a＝30°? 。

例5.從點(diǎn) O 引四條射線 OA,OB,OC 和 OD（圖1.52），如果 ∠AOB,∠BOC,∠COD 和 ∠DOA的度數(shù)之比是 1:2:3:4，求這四個角各是幾度？

【解】

????????因?yàn)橐粋€周角等于 360°，∴ ∠AOB＋∠BOC＋∠COD＋∠DOA＝360°? 。

????????已知 ∠AOB:∠BOC:∠COD:∠DOA＝1:2:3:4，我們從算術(shù)里的配分比例方法，求得

???????? $%5Csmall%5Cbegin%7Beqnarray%7D%0A%26%26%5Cangle%20AOB%3D%26360%5E%5Ccirc%5Ctimes%5Cfrac1%7B1%2B2%2B3%2B4%7D%3D%26360%5E%5Ccirc%5Ctimes%5Cfrac1%7B10%7D%3D36%5E%5Ccirc%2C%5C%5C%0A%26%26%5Cangle%20BOC%26%3D360%5E%5Ccirc%5Ctimes%5Cfrac%7B2%7D%7B10%7D%3D72%5E%5Ccirc%2C%5C%5C%26%26%5Cangle%20COD%26%3D360%5E%5Ccirc%5Ctimes%5Cfrac%7B3%7D%7B10%7D%3D108%5E%5Ccirc%2C%5C%5C%26%26%5Cangle%20DOA%26%3D360%5E%5Ccirc%5Ctimes%5Cfrac%7B4%7D%7B10%7D%3D144%5E%5Ccirc.%0A%5Cend%7Beqnarray%7D%0A$