上次證明了數(shù)列xn=（1+1/n）^n是存在極限的，我們記這個(gè)極限值為e，也就是我們常用的自然對(duì)數(shù)的底數(shù)。

今天來聊這個(gè)值的近似計(jì)算和誤差估計(jì)。

37數(shù)e的近似計(jì)算法

1.數(shù)e的近似計(jì)算

分析——

1. 先和上次一樣把數(shù)列xn=（1+1/n）^n展開——

   xn=（1+1/n）^n

   =1+1+（1/2!）[1-（1/n）]+（1/3!）[1-（1/n）][1-（2/n）]+……+（1/n!）[1-（1/n）][1-（2/n）]……[1-（n-1）/n]

   ——這個(gè)式子去求e的近似值，計(jì)算量會(huì)很大，所以，我們考慮用另一個(gè)極限相同的數(shù)列去進(jìn)行e的近似計(jì)算。

2. 我們上次在證明這個(gè)數(shù)列的有界性的時(shí)候，引入了一個(gè)新的數(shù)列——

   yn=1+1+1/2!+1/3!+……+1/n!，顯然，有xn<yn；

3. 下面我們就來證明yn的極限也是e。

證明——

1. 已知xn<yn，令n趨向于無窮大，有，lim xn<=lim yn，即e<=lim?yn；

2. 我們取的前k+1項(xiàng)sk+1，k+1<n，則有sk+1<xn，即

   1+1+（1/2!）[1-（1/n）]+（1/3!）[1-（1/n）][1-（2/n）]+……+（1/k!）[1-（1/n）][1-（2/n）]……[1-（k-1）/n]<xn；

3. 令2中不等式兩側(cè)n趨向于無窮大，得到——

   lim {1+1+（1/2!）[1-（1/n）]+（1/3!）[1-（1/n）][1-（2/n）]+……+（1/k!）[1-（1/n）][1-（2/n）]……[1-（k-1）/n]}<lim xn，

   即2+（1/2!）+（1/3!）+……+（1/k!）<e；

4. 注意到3中所得不等式左側(cè)即為數(shù)列yn第k項(xiàng)，yk=1+1+1/2!+1/3!+……+1/k!，所以，對(duì)于任意給定的數(shù)值n，都有yn<e，令n趨向于無窮大，則有lim?yn<=e；

5. 綜合1、4，lim?yn=e。

所以，我們用yn的取值作為e的近似值，計(jì)算上會(huì)簡單許多。下面我們來看看，這種近似方式取值的誤差有多少。

2.yn與e的誤差估計(jì)

分析——

1. 已知lim?yn=e，而我們要求的誤差值是e-yk，即lim?yn-yk，其中k為給定的正整數(shù)；

2. 我們用另一種形式改寫一下lim?yn-yk=lim yk+b-yk，其中k為給定的正整數(shù)，等式左邊n趨向于無窮大，等式右邊則是b趨向于無窮大；

3. 由于給定k之后，yk即為確定的數(shù)，則lim?yk+b-yk=lim?yk+b-lim?yk=lim（yk+b-yk），轉(zhuǎn)而考察數(shù)列{yk+b-yk}的極限值——

分析——

1. yk+b-yk

   ={2+（1/2!）+（1/3!）+……+[1/（k+b）!]}-{2+（1/2!）+（1/3!）+……+（1/k!）}

   =[1/（k+1）!]+[1/（k+2）!]+[1/（k+3）!]+……+[1/（k+b）!]

   =[1/（k+1）!]?{1+1/（k+2）+1/（k+2）（k+3）+……+[1/（k+2）（k+3）…（k+b）]}；

2. 注意到，k+j>=k+2，其中j為整數(shù)，且j>=2，則我們可以做一步放縮——

   yk+b-yk

   =[1/（k+1）!]?{1+1/（k+2）+……+[1/（k+2）（k+3）…（k+b）]}

   <=[1/（k+1）!]?{1+1/（k+2）+1/（k+2）^2+……1/（k+2）^（b-1）}

   =[1/（k+1）!]{1-[1/（k+2）]^b}/{1-[1/（k+2）]}；——等比數(shù)列求和公式；

3. 令b趨向于無窮，則有

   lim（yk+b-yk）<=lim?[1/（k+1）!]{1-[1/（k+2）]^b}/{1-[1/（k+2）]}=?[1/（k+1）!]?[（k+2）/（k+1）]，

   即e-yk<=?[1/（k+1）!]?[（k+2）/（k+1）]。

最后，再進(jìn)一步改寫，將這個(gè)誤差值改寫成更簡潔的形式——

分析——

1. [（k+2）/（k+1）]=1+1/（k+1）<1+1/k=（k+1）/k；

2. e-yk<=?[1/（k+1）!]?[（k+2）/（k+1）]<?[1/（k+1）!][?（k+1）/k]=1/k!k；

3. 即用yn來逼近e的誤差值，小于1/n!n。

下次我們將由此證明e是無理數(shù)。