今天再來分享一道數(shù)學題，話不多說，請看題

這里需要強調(diào)一下，下文中類似于a(n+1)這樣的，非特殊說明，指的都是字母a的下角標為(n+1),不是做乘法?。?！

sqrt(x)是指對x開方！?。?/span>

pi指的是圓周率?。?！

看完本題，我第一個想法是嘗試證明an是一個單調(diào)遞增的數(shù)列，bn是一個單調(diào)遞減的數(shù)列。然而在我把a2算出來后，這個想法就肯定是錯的了。

解法一：

這里我會把每一步拆開了為大家進行講解

由題目不難看出a（n+1）是an與bn的調(diào)和平均數(shù)，b(n+1) 是a(n+1)與bn的幾何平均數(shù)，所以不難得到an>a(n+1)>bn且a(n+1)>b(n+1)>bn.

考慮換元，令cn=bn/an(至于為什么不是an/bn是為接下來更方便地操作）

那么c(n+1)=b(n+1)/a(n+1)=sqrt(a(n+1)*bn)/(2an*bn/an+bn)=sqrt(an+bn/2an)=sqrt(cn+1/2),到這里，我們已經(jīng)找到了cn的遞推公式。

相信下一步大家一定已經(jīng)想到了——就是用余弦二倍角公式做迭代！??！

也就是上述的過程。

至此，我們已得到了cn的通項公式

接下來的思路自然就是通過cn來找出an和bn的通項公式。

我們先來找an的，如下

然后很自然地想到連乘：

當然連乘之后還是要處理一下子的，在分母乘一個sinθn,反復利用正弦二倍角公式

sinθn*cosθn=sin2θn/2=sin[θ(n-1)]/2,然后就可以套娃啦（doge

那么我們最后化簡得到結(jié)果，就是an的通項公式了

經(jīng)過最后一步簡簡單單的處理，這一道題就做完了?。?！

解法一呢其實也就是常規(guī)解法，沒有什么可圈可點之處，算得上是本手。

解法一不是重點，重點是我們的解法二，是數(shù)形結(jié)合的方法，可謂使妙手。

華羅庚先生曾說：“數(shù)無形時少直覺，形少數(shù)時難入微。”

解法二：

我們構(gòu)造一個半徑為三的圓O，使∠AOB=60°，DB,DA為圓的切線，G為劣弧AB的中點，EF為D處的切線分別于DB、DA交于E、F——————*

注意到AB的長度為b1=3,折線ADB的長度為a1=2*sqrt(3),弧AB的長度為pi.

注意到▲EDF~▲BDA，所以EF/BA=DF/DA，設(shè)折線AFEB的長度為x

所以x/2b1=(a1/2-x/4)/(a1/2)

整理得a1*x=2a1*b1-b1*x,即x=2a1*b1/(a1+b1)=a2.

注意到▲BEG~▲BGA，所以BG=sqrt(BE*AB)=sqrt(a2*b1)/2,即折線AGB的長度為2BG=sqrt(a2*b1)=b2.

我們只要不斷地重復*中的做法，當弧AB被等分為2^n時,bn就是圓內(nèi)的折線長度，an就是圓外折線的長度。

圓內(nèi)折線的長度肯定小于弧AB（根據(jù)兩點間線段最短可得），即bn<pi;

接下來只要證明圓外折線長度大于弧AB就可以了

這其實就是要證明AB的長度大于弧BC的長度。S扇形BOC=OB*（弧BC）/2，S▲ABO=AB*OB/2；因為后者大于前者，所以AB>弧BC。

至此，結(jié)論得證?。。?/p>

雖然法二我沒寫的很詳細，但這也確實是一步妙手。