本想寫我在學解析幾何時發(fā)現(xiàn)的一種證明圓錐曲線光學性質的方法，結果今天早上起來一看咕咕的新視頻

想法和我如出一轍：

1.?先畫出以橢圓為軌跡運動物體的速度矢量

2.?根據橢圓兩線之和為定值的定義，使該矢量在兩條線上的分速度大小相等，一個指向焦點，另一個背離焦點

3. 物體運動方向就是軌跡的切線

根據1.2兩條條件構造出的速度矢量的方向不得不使∠1=∠2，繼而推出∠2=∠3

結合條件3，我們自然而然的得到橢圓的光學性質

詳細一點的解釋以及升華咕咕已經做的完美了，我就不多講了（被打）

同理可以得到拋物線和雙曲線的幾何性質

在之后的學習中我還發(fā)現(xiàn)這種方法還可以運用到部分極值問題中

例：求的最小值

原式

大部分同學在這里想的是考慮構造圓去解決問題，

但作為一名新時代高中生自然要用騷一點的做法：

上述表達式的值就被轉化為圖中的值

如果我們將先增大到一個足夠大的值使兩點均在x軸上方，并且同時給兩點一個豎直向下的速度（）將會有如下幾個過程：

：與同時減小，說明此時還不是最小

（？是一個未知數，我們暫時還不知道）：仍然減小，但是已經開始增大（此時點在x軸下方但點在x軸上方）但是速度在上的分速度大小，大于在上的分速度大小，（此時速度在上的分速度越大那么減小得越快，在上的分速度越大那么增大得越快）也就是這一瞬間的值還在減小，說明此時還不是最小

：此時仍然減小，也在增大，但是速度在上的分速度大小，等于在上的分速度大小，也就是這一瞬間的值不變（或者說達到了一個平衡，即的減小和的增大的平衡）

：仍然減小，也仍舊在增大，但此時但是速度在上的分速度大小，小于在上的分速度大小，總的來說就是已經開始增大

：兩點均在x軸下方，和兩者同時增大

根據上述分析我們可以得出的值隨y值變化的曲線差不多是這樣：

由于兩點速度相同，且在和上分速度大小相等

在兩個速度和分速度構成的三角形中有兩邊對應相等：速度相等，分速度相等，又有一個直角，所以兩個三角形全等，故

所以

所以有

（因為點在x軸下，所以縱坐標是負的，要加上一個負號來修正）

解得，帶入原式即可得到最小值為

上述分析看起來繁多，但實際上很多都是顯而易見的東西（可能是我太啰嗦了【doge】），特別是分析過程那一步真正在做題時我?guī)缀跏菦]動什么腦子，真正寫在草稿上的可能就只有幾張圖和：

再來看一題看似很難的“壓軸題”：

設是面積為1的等腰直角三角形，是斜邊的中點，點?在所在平面內，記?與??的面積分別為?，?，且?。當??且時，?;記?，則實數?的取值范圍為。

第一空：（）解析略

第二空：在第一空中若以D為原點，AB方向為x軸方向，DC方向為y軸方向，我們可以知道P的軌跡即為,當然啦，關于CD對稱的也成立，但是討論都一樣，所以只需要討論其中一條軌跡即可

讓P從最下端出發(fā)，往上“動起來”，我們可以很清晰地觀察發(fā)現(xiàn)，P在上移過程中，P點速度在BP直線上的分速度始終大于在AP直線上的分速度，所以P點上移過程中，PB長度的增加速度始終大于AP長度的增加速度，又注意到BP長度始終小于AP長度，所以點P跑到無窮遠處時，??取最小值，換句話說：BP長度一開始小于AP長度，且PB始終在追趕AP，兩者的差距隨P點上移而減小，但即使這樣PB長度仍小于PA

求得，同時a的最大值即為P點在x軸上時取得，綜上得，原本看似復雜的問題，也經不住拷打，被解決了。

如有錯誤，還請各位大佬討論指出