【夢幻聯(lián)動】方程法解行程×二次函數(shù)×和定差小積大
網(wǎng)上有家長提問：
兩輛車分別從甲乙兩地同時出發(fā)相向而行，快車行80km后和慢車在途中丙地相遇，相遇后慢車立即掉頭與快車繼續(xù)向乙地行駛，當快車到達乙地時，兩車最遠可能相距幾千米？
他說：
“⑨老師麻煩看下這道行程問題，我知道可以用比例做但是必須要用字母來表示才行啊，那如果我用方程的話，比如設慢車走了x千米，方程中好像會出現(xiàn)x的平方？如果方程沒錯的話，難道是要解二次方程嗎？”
【思路】
這是一道正比例模型的行程問題；
我們需要用到多個字母來表達正比例關系（比例方程）；
通過比例關系得到目標的二次函數(shù)表達式；
聯(lián)動最值原理“和定差小積大”可得到表達式的最值.
【步驟】
【詳解】
行程問題一定要畫行程圖，畫一條直線段，一端是甲地，另一端是乙地，中間靠右是丙地[1]；
快車以v1的速度從甲出發(fā)，慢車以v2的速度從乙出發(fā)，兩車經(jīng)歷了共同的時間t1后相遇于丙地，那么甲地到丙地的距離與丙地到乙地的距離之比就是v1×t1∶v2×t1=v1∶v2；[2]
接下來考慮行程圖丙乙段內(nèi)部，相遇后兩車同時同地從丙地出發(fā)向乙地行駛，快車車速仍是v1，慢車車速仍是v2，設快車經(jīng)歷了t2的時間從丙地到乙地，那么在相同的t2時間里，快車走的距離與慢車走的距離之比就是v1×t2∶v2×t2=v1∶v2；[3]
第2條中“甲丙”比“丙乙”等于v1∶v2，第3條中“丙乙”比“相遇后慢車路程”[4]也等于v1∶v2，于是聯(lián)立成比例[5]——甲丙∶丙乙＝丙乙∶相遇后慢車路程；
已知“甲丙”是80km，另設“丙乙”為x km，比例可重寫為——
80∶x＝x∶相遇后慢車路程；將比例寫成分數(shù)形式[6]——
80/x=x/相遇后慢車路程；接著等式兩邊取倒數(shù)[7]——
x/80=相遇后慢車路程/x；然后等式兩邊擴x倍[8]——
(x/80)×(x)=(相遇后慢車路程/x)×(x)
x2/80=相遇后慢車路程；觀察行程圖丙乙段，快車到達乙地時，兩車之間的距離是“丙乙”減去“相遇后慢車路程”，即——
x－x2/80；兩車相距：
x－x2/80
＝80x/80－x2/80
＝(80x-x2)/80
＝x(80-x)/80；相遇后當快車到達乙地，慢車與快車的距離是一個關于x的二次表達式“x－x2/80”，將它因式分解為“x(80-x)/80”，然后注意到分子“x”部分與“80-x”部分，這兩部分若是相加會得到固定的和[9]；
根據(jù)最值原理“和定差小積大”——
①當“x”與“80-x”的差距越來越小時，它們的乘積越來越大；
②當“x”等于“80-x”即x=80-x也就是x=40時，它們的乘積最大；
③當“x”與“80-x”的乘積最大時，表達式“x(80-x)/80”也達到最大；
④當表達式“x(80-x)/80”達到最大時，相遇后兩車距離“x－x2/80”也達到最大；將“x=40”代入相遇后兩車距離表達式“x－x2/80”最終可得——
x－x2/80
＝x(80-x)/80
＝40×40/80
＝20 （千米）
答：兩車最遠可能相距20千米.
【總結】
這是一道正比例模型的行程問題，記得畫行程圖來梳理比例關系；
我們需要用到多個字母來表達正比例關系，但不要怕字母多，充分運用比例可以約掉大部分字母；
最終我們得到的并非方程而是一個目標函數(shù)[10]；
目標函數(shù)含有x的二次項，并非線性[11]；
嘗試將目標函數(shù)“x－x2/80”合并為一項“(80x-x2)/80”再因式分解成“x(80-x)/80”；
既然是求最值，聯(lián)想到最值原理“和定差小積大”；
代入最值條件“x=40”，最終求出兩車最遠距離.
【參考】
^因為從出發(fā)到相遇的相同時間內(nèi)快車比慢車走的路程多，所以相遇地點丙地應該在中點偏右，但在實際畫圖時丙地又應該盡量靠中點，這樣才能方便在丙乙段內(nèi)部畫出第二階段的細節(jié).
^這是一個經(jīng)典的正比例相遇模型：快車走了v1×t1千米，慢車走了v2×t1千米，兩車運動的時間相等，根據(jù)比的性質(zhì)（比的前項與后項同時除以相同的非零數(shù)比值不變），約去相同的時間t1，快、慢車的路程之比即速度之比.
^這同樣是一個正比例模型：快車走了v1×t2千米，慢車走了v2×t2千米，兩車運動的時間相等，根據(jù)比的性質(zhì)（比的前項與后項同時除以相同的非零數(shù)比值不變），約去相同的時間t2，快、慢車的路程之比即速度之比.
^相遇后慢車路程也就是慢車折返距離，也就是相遇后慢車掉頭從丙地出發(fā)開往乙地，當快車到乙地時慢車已經(jīng)走過的路程.
^比值相等的兩個比可以寫成比例，例如，1:2的比值是1/2，2:4的比值是1/2，于是1:2=2:4.
^比“a∶b”等于除法“a÷b”也等于分數(shù)“a/b”.
^若分子分母不為0的兩個分數(shù)相等，則它們的倒數(shù)仍然相等，例如1/2=2/4→2/1=4/2=2.
^等式的性質(zhì)：等式兩邊同時乘一個數(shù)仍然保持相等.
^x+(80-x)=80.
^我們的目標是求兩車相距幾千米，而題目條件不足以得到關于這個距離的方程（含有x的等式），只能得到兩車距離的表達式“x-x2/80”，我們把這個含有x的表達式叫做目標函數(shù).
^也就是不能簡單認為x越大，目標函數(shù)越大.
