預(yù)備知識：

1. 混合積：向量a與b的外積，再與向量c作內(nèi)積，結(jié)果是一個數(shù)量，稱為三向量依順序a，b，c的混合積，記為（a，b，c），即（a，b，c）=（axb）c；

2. 混合積性質(zhì)：

   a.當(dāng)a，b，c組成右手系時，（a，b，c）>0；

   b.當(dāng)a，b，c組成左手系時，（a，b，c）<0；

3. 幾何意義：（a，b，c）是以a，b，c為鄰邊的平行六面體的體積；

4. 性質(zhì)：

   a.（a，a，c）=0；

   b.（a，b，c）=（b，c，a）=（c，a，b）=-（b，a，c）=-（c，b，a）=-（a，c，b）；

   c.（a1+a2，b，c）=（a1，b，c）+（a2，b，c）；

   d.（λa，b，c）=λ（a，b，c）（λ是實數(shù)）；

5. 三向量a，b，c共面的充要條件是（a，b，c）=0。
   

6. 矩陣乘法運算律——
   

   a.結(jié)合律：（AB）C=A（BC）

   b.左分配律：A（B+C）=AB+AC

   c.右分配律：（B+C）D=BD+CD

   d.若A是n級矩陣，單位矩陣為E，則有：AE=EA=A

   e.矩陣乘法與數(shù)量乘法滿足：k（AB）=（kA）B=A（kB）

   f.可逆方陣：設(shè)A為n階方陣，若存在n階方陣B，使AB=BA=E，則稱B為A的逆方陣，而稱A為可逆方陣。

7. 矩陣A可逆的充要條件：|A|不為0——|A|為矩陣A對應(yīng)的行列式。

8. 矩陣對應(yīng)行列式滿足：|AB|=|A||B|；

9. 設(shè)A與B都是數(shù)域K上的n級矩陣，如果AB=E，那么A與B都是可逆矩陣，并且A^（-1）=B，B^（-1）=A。

10. A的伴隨矩陣A*滿足：A*=|A|A^（-1）

11. E（i，j）為單位矩陣i，j行對調(diào)——
    

    方陣A可逆，A對調(diào)i，j行成B矩陣：B=E（i，j）A

    方陣A可逆，A對調(diào)i，j列成B矩陣：B=AE（i，j）

12. 矩陣的轉(zhuǎn)置：把n級矩陣A的行與列互換得到的矩陣稱為A的轉(zhuǎn)置，記作A'，|A'|=|A|。

13. 定義：設(shè)A為方陣，若A'=A，則稱A為對稱矩陣，若A'=-A，則稱A為反對稱矩陣。

14. 定義：如果AB=BA，則稱A與B可交換。

15. 矩陣轉(zhuǎn)置運算律——

    （A+B）'=A'+B'

    （kA）'=kA'

    （AB）'=B'A'

參考資料：

1. 《數(shù)學(xué)分析習(xí)題演練》（周民強?編著）

2. 《解析幾何》（呂林根 許子道?編）

3. 《高等代數(shù)——大學(xué)高等代數(shù)課程創(chuàng)新教材》（丘維聲 著）

數(shù)學(xué)分析——

例題（來自《數(shù)學(xué)分析習(xí)題演練（周民強?編著）》）——

求數(shù)列極限：I=lim[（n+1）^α-n^α]（0<α<1）.

解：

1. 0

   <=I=lim[（n+1）^α-n^α]

   =lim n^α[（1+1/n）^α-1]

   <=lim?n^α[（1+1/n）-1]

   =lim 1/n^（1-α）

   =0

2. 由夾逼準(zhǔn)則：I=0.

解析幾何——

例題（來自《解析幾何（呂林根 許子道?編）》）——

設(shè)向徑OA=r1，OB=r2，OC=r3，證明R=（r1xr2）+（r2xr3）+（r3xr1）垂直于ABC平面.

解：證明向量垂直于平面內(nèi)兩個不共線向量即可——

1. AB=OB-OA=r2-r1，AC=OC-OA=r3-r1；

2. R AB

   =[（r1xr2）+（r2xr3）+（r3xr1）]（r2-r1）

   =[（r1xr2）+（r2xr3）+（r3xr1）]r2-[（r1xr2）+（r2xr3）+（r3xr1）]r1

   =（r1，r2，r2）+（r2，r3，r2）+（r3，r1，r2）-（r1，r2，r1）-（r2，r3，r1）-（r3，r1，r1）

   =（r3，r1，r2）-（r2，r3，r1）

   =0，則R垂直于AB，

   R?AC
   

   =[（r1xr2）+（r2xr3）+（r3xr1）]（r3-r1）

   =[（r1xr2）+（r2xr3）+（r3xr1）]r3-[（r1xr2）+（r2xr3）+（r3xr1）]r1

   =（r1，r2，r3）+（r2，r3，r3）+（r3，r1，r3）-（r1，r2，r1）-（r2，r3，r1）-（r3，r1，r1）

   =（r1，r2，r3）-（r2，r3，r1）

   =0，則R垂直于AC，

   所以R垂直于ABC平面.

高等代數(shù)——

例題（來自《高等代數(shù)——大學(xué)高等代數(shù)課程創(chuàng)新教材（丘維聲 著）》）——

證明：如果A是冪零矩陣，它的冪零指數(shù)為k，那么I-A可逆；并且求（I-A）^（-1）。

證：

1. A是冪零矩陣，它的冪零指數(shù)為k，即A^k=0；

2. I

   =I-0

   =I-A^k

   =（I-A）[I+A+A^2+……+A^（k-1）]，則I-A可逆，

   （I-A）^（-1）=I+A+A^2+……+A^（k-1）.

到這里！