小波變換[1] -- 認(rèn)識與 Haar 小波

2021-12-20 12:54 作者:nyasyamorina 0人讀過 | 我要投稿

~~ 懶得放封面了, 將就著看吧 ~~? ??

在我的十萬年前更新的專欄s [專欄集入口] 里討論過一種簡單的頻率分析和濾波的方法 -- 傅里葉變換(FT),? 這是把連續(xù)信號變?yōu)轭l率和相位的一種...變換,? 在頻域可以方便地對信號進(jìn)行濾波和壓縮 [專欄],? 但是FT無法很好地得出某一個頻率開始的時間,? 為此提出了窗口傅里葉變換(WFT),? 或者又可以叫短時傅里葉變換(STFT) [專欄],? 但WFT也有很大的缺陷:? 1) 分析 n 維數(shù)據(jù)會產(chǎn)生 2n 維的(頻率-時間)關(guān)系圖;? 2) 窗函數(shù)無法調(diào)整大小,? 意味著對于持續(xù)時間短的沖擊和持續(xù)時間長的大波,? WTF并不能很好地分析出來.

為了解決上述問題,? 提出了小波變換 (wavelet transform, WT).? 小波(wavelet)的意思是快速收斂的波,? 傅里葉變換里使用的核函數(shù)因為不收斂所以叫做大波.? 小波變換的特征是:? 分析信號的波函數(shù)的大小會隨著頻率變化而變化,? 也就說當(dāng)頻率高時小波會變得窄小,? 頻率低時小波會變得寬廣,? 如此帶來了非常高的動態(tài)范圍.? 并且對 n 維數(shù)據(jù)進(jìn)行小波變換僅會產(chǎn)生 n 維的頻率圖.**

**: 其實產(chǎn)生的頻率相應(yīng)經(jīng)過重新排列之后才能組成 n 維的頻率圖,? 這個是另外的內(nèi)容了.

使用函數(shù)空間(function space)描述小波變換里一層一層的頻率關(guān)系會非常方便,? 所以有必要來簡單敘述一下函數(shù)空間.

簡述函數(shù)空間

" - 什么是空間?? - 空間是點的集合."

假如有一系列函數(shù) $f_1%2C%5C%2Cf_2%2C%5C%2C%5Ccdots%2C%5C%2Cf_n$ ,? 那么由這些函數(shù)進(jìn)行線性組合? $%5Csum_%7Bk%3D1%7D%5Ena_kf_k$ ?為這些函數(shù)張成的函數(shù)空間上的一個點,? 其中 a? 為常數(shù).? 那么函數(shù)空間為這些函數(shù)所有可能的線性組合所組成的集合,? 其中 f? 為這個函數(shù)空間的基函數(shù).

如果定義了空間里的內(nèi)積,? 那么稱這個空間為內(nèi)積空間.? 定義兩函數(shù) f, g 的內(nèi)積? $%5Clangle%20f%2Cg%5Crangle%3A%3D%5Cint_Rf(x)%5Coverline%7Bg(x)%7Ddx$ .? 當(dāng)一個函數(shù) f 滿足 $%7C%7Cf%7C%7C%5E2%3D%5Clangle%20f%2Cf%5Crangle%3D1$ ,? 則稱這個函數(shù)為歸一的 (或標(biāo)準(zhǔn)的).? 當(dāng)兩函數(shù) f, g 滿足? $%5Clangle%20f%2Cg%5Crangle%3D0$ ?則稱這兩個函數(shù)互相正交.? 這些概念與一般的向量空間的類似的. 一般來說內(nèi)積括號寫為圓括號也是可以的,? 即? $(f%2Cg)$ .? 兩函數(shù) f, g 的相對誤差定義為? $%7C%7Cf-g%7C%7C%2F%7C%7Cf%7C%7C$ .

如果一個函數(shù) f 不屬于函數(shù)空間 V,? 那么存在唯一的函數(shù) v? ∈ V 使得? $%7C%7Cf-v0%7C%7C%3D%5Cmin_%7Bv%5Cin%20V%7D%7C%7Cf-v%7C%7C$ ,? 并稱 v? 是 f 在 V 上的投影.? 設(shè) V 的基函數(shù)?e?, ..., e? 為歸一正交的,? 那么 f 在 V 上的投影 v? 由? $v_0%3D%5Csum_%7Bk%3D1%7D%5Ena_ke_k%2C%5C%2Ca_k%3D%5Clangle%20f%2Ce_k%5Crangle$ 給出,? 這是容易證明的 [略].

假設(shè)函數(shù)空間 V? 是函數(shù)空間 V 的子空間,? 即 V? ? V,? 那么在 V 里所有與 V? 正交的元素的集合被稱為 V? 的正交補(bǔ),? 即? $V_0%5E%5Cperp%3A%3D%5Cleft%5C%7Bv%5Cin%20V%3B%5C%3B%5Clangle%20v%2Cv_0%5Crangle%3D0%2C%5C%2Cv_0%5Cin%20V_0%5Cright%5C%7D$ . 不難知道 V 里的任意函數(shù)都可以分解為 V? 的函數(shù)與 V? 的正交補(bǔ)的函數(shù),? 即? $v%3Dv_0%2Bv_1%2C%5C%2Cv%5Cin%20V%3B%5C%3Bv_0%5Cin%20V_0%3B%5C%3Bv_1%5Cin%20V_0%5E%5Cperp$ ,? 記這種關(guān)系為? $V%3DV_0%5Coplus%20V_0%5E%5Cperp$ .

小波變換里有兩個很重要的函數(shù):? 尺度函數(shù) 和 小波函數(shù),? 小波函數(shù)負(fù)責(zé)對信號的分解和重構(gòu),? 尺度函數(shù)負(fù)責(zé)構(gòu)建小波函數(shù)與對信號的近似.

Haar 小波變換作為小波變換里最簡單的例子,? 可以很好地建立起對小波變換的感覺

Haar 小波變換 -- 尺度函數(shù)和小波函數(shù)

Haar 尺度函數(shù)定義為? $%5CPhi(x)%3D%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Bmatrix%7D1%2C%5C%2Cx%5Cin%5B0%2C1)%5C%5C0%2C%5C%2Celse%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright.$ ,? 不難知道?Φ(x-k); k∈Z 是互相正交的,? 也就是說這些函數(shù)可以張成一個函數(shù)空間?V?.? 那么 V? 里的函數(shù)為? $%5Csum_%7Bk%5Cin%5Cmathbb%7BZ%7D%7Da_k%5CPhi(x-k)%5Cin%20V_0$ ,? 因為 Haar 尺度函數(shù)不是連續(xù)的,? 所以 V??里的函數(shù)也可能是不連續(xù)的,? 準(zhǔn)確來說當(dāng)? $a_%7Bk-1%7D%5Cneq%20a_k$ 時,? 函數(shù)在 x = k 處不連續(xù).? 由尺度函數(shù)的定義不難看出,? 由 Φ(x-k) 組成的變換的分辨率為 1.

考慮函數(shù)集 {Φ(2x-k); k∈Z},? 與上面類似,? 這個函數(shù)集里的函數(shù)也可以張成一個函數(shù)空間 V?,? 那么 V? 里的函數(shù)為? $%5Csum_%7Bk%5Cin%5Cmathbb%7BZ%7D%7Db_k%5CPhi(2x-k)%5Cin%20V_1$ ,? 并且間斷點為 x = k/2,? 分辨率為 0.5.? 特殊地,? 當(dāng)滿足 b?? = b???? 時,? 可以得到? $%5Csum_%7Bk%5Cin%5Cmathbb%7BZ%7D%7Db_%7B2k%7D%5CPhi(2x-2k)%2Bb_%7B2k%2B1%7D%5CPhi(2x-2k-1)%3D%5Csum_%7Bk%5Cin%5Cmathbb%7BZ%7D%7Db_%7B2k%7D%5CPhi(x-k)%5Cin%20V_0$ ,? 也就是說 V? 是 V? 的子空間.

類似地,? 可以提出分辨率為 0.25, 0.125, ... 的變換.? 以下給出一般的定義;? 設(shè) $j$ ?是一個整數(shù),? 那么由正交函數(shù)? $%5CPhi(2%5Ejx-k)%3B%5C%3Bk%5Cin%5Cmathbb%7BZ%7D$ 張成函數(shù)空間? $V_j$ ,? 其間斷點為 $x%3D2%5E%7B-j%7Dk$ ,? 分辨率為? $2%5E%7B-j%7D$ .? 并且有以下關(guān)系:? $%5Ccdots%5Csubset%20V_%7B-1%7D%5Csubset%20V_0%5Csubset%20V_1%5Csubset%5Ccdots$ .

為了把信號分解為頻率信息,? 需要在信號里找到屬于 V??但不屬于 V????的信息,? 于是引出小波函數(shù) ? 把 V? 分解為 V??? 和他的正交補(bǔ) W???.? 因為 W??是 V??的子空間,? 所以小波函數(shù)為? $%5Cphi(x)%3D%5Csum_%7Bk%5Cin%5Cmathbb%7BZ%7D%7Da_k%5CPhi(2x-k)$ ;??又因為 W??是 V??的正交補(bǔ),? 所以有? $%5Cforall%20k'%5Cin%5Cmathbb%7BZ%7D%3A%5C%3A%5Clangle%5Cphi(x)%2C%5CPhi(x-k')%5Crangle%3D0$ .? 滿足這兩點的最簡單的小波函數(shù)為? $%5Cphi(x)%3D%5CPhi(2x)-%5CPhi(2x-1)$ .? 那么 W??是由函數(shù)? $%5Cphi(2%5Ejx-k)%3B%5C%3Bk%5Cin%5Cmathbb%7BZ%7D$ ?張成的空間,? 并且有 $V_%7Bj%2B1%7D%3DV_%7Bj%7D%5Coplus%20W_j$ .

Haar小波變換 -- 分解和重構(gòu)

1) 信號近似:? 對于任意一個信號函數(shù) f 都不太可能剛好屬于函數(shù)空間 V?,? 因此需要對 f 進(jìn)行近似,? 也就是采樣.? 剛剛簡述函數(shù)空間里就已經(jīng)得到了 f 投影到 V? 的方法:?? $f_j(x)%3D%5Csum_%7Bk%5Cin%5Cmathbb%7BZ%7D%7Da_k%5E%7B(j)%7D%5CPhi(2%5Ejx-k)%3B%5C%3Ba_k%5E%7B(j)%7D%3D%5Cint_%7B2%5E%7B-j%7Dk%7D%5E%7B2%5E%7B-j%7D(k%2B1)%7Df(x)dx$ ,? 對于積分一般來說都是不好求的,? 所以可以近似地取? $a_k%5E%7B(j)%7D%5Capprox%20f(2%5E%7B-j%7D(k%2B0.5))$ .

2) 分解:? 采樣得到的信號從 V? 分解到 V??? 與 W??? 里,? 由尺度函數(shù)和小波函數(shù)不難得出以下關(guān)系式:?? $%5Csum_%7Bk%5Cin%5Cmathbb%7BZ%7D%7Da_k%5E%7B(j-1)%7D%5CPhi(2%5E%7Bj-1%7Dx-k)%5Cin%20V_%7Bj-1%7D%3B%5C%3Ba_%7Bk%7D%5E%7B(j-1)%7D%3D%5Cfrac%7Ba_%7B2k%7D%5E%7B(j)%7D%2Ba_%7B2k%2B1%7D%5E%7B(j)%7D%7D%7B2%7D$ ?和 $%5Csum_%7Bk%5Cin%5Cmathbb%7BZ%7D%7Db_%7Bk%7D%5E%7B(j-1)%7D%5Cphi(2%5E%7Bj-1%7Dx-k)%5Cin%20W_%7Bj-1%7D%3B%5C%3Bb_%7Bk%7D%5E%7B(j-1)%7D%3D%5Cfrac%7Ba_%7B2k%7D%5E%7B(j)%7D-a_%7B2k%2B1%7D%5E%7B(j)%7D%7D%7B2%7D$ .? 不斷迭代這個式子,? 可以得到足夠粗糙的原信號近似 a 和頻率分量 b.

3) 自定義操作:? 噪聲過濾,? 信號壓縮什么的跟 FT 里面的沒太大區(qū)別.

4) 重構(gòu):? 即是第二步分解的逆操作,? 由系數(shù)遞推式? $a_%7B2k%7D%5E%7B(j%2B1)%7D%3Da_%7Bk%7D%5E%7B(j)%7D%2Bb_%7Bk%7D%5E%7B(j)%7D$ ?和 $a_%7B2k%2B1%7D%5E%7B(j%2B1)%7D%3Da_%7Bk%7D%5E%7B(j)%7D-b_%7Bk%7D%5E%7B(j)%7D$ 給出.