????????導數(shù)是微積分中的重要概念。在微積分中是非常重要的部分。

????????當自變量的增量趨于零時，因變量的增量與自變量的增量的極限。再一個函數(shù)存在導數(shù)時，稱這個函數(shù)可導或者可微分?？蓪У暮瘮?shù)一定連續(xù)，不連續(xù)的函數(shù)一定不可導。導數(shù)實質(zhì)上就是一個求極限的過程，導數(shù)的四則運算法則來自于極限的四則運算法則。

導數(shù)的定義：

????????設(shè)函數(shù)f（x）在點xo的某個鄰域N（xo，δ）內(nèi)有定義，當自變量x在xo處有增量△x[設(shè)xo+△x∈N（xo，δ）]，函數(shù)y=f（x）相應的增量為△y=f（xo+△x）-f（xo）。

????????如果當△x→0時，函數(shù)的增量△y與自變量的增量△x之比的極限lim△y/△x=lim[f（xo+△x）-f（xo）]/△x存在，就稱這個極限值為f（x）在xo處的導數(shù)或變化率，通?？梢杂洖閒′（xo）或f′（x）|x=xo。

函數(shù)的可導性與導函數(shù)：

????????一般地，假設(shè)一元函數(shù)y=f（x）在點xo的某個鄰域N（xo，δ）內(nèi)有定義，當自變量的增量△x=x-xo時，函數(shù)相應增量為△y=f（xo+△x）-f（xo），若函數(shù)增量△y與自變量增量△x之比當△x→0使得極限存在且有限，就說f（x）在xo點可導，并將這個極限稱之為f在xo點的導數(shù)或變化率。

????????“點動成線”：若函數(shù)f在區(qū)間I的每一點都可導，就可以得到一個以I為定義域的新函數(shù)，記作f（x）′或y′，稱之為f的導函數(shù)，我們簡稱為導數(shù)。

導數(shù)的幾何意義：

????????函數(shù)f（x）在xo點的導數(shù)f′（xo）的幾何意義：表示函數(shù)曲線在Po[xo，f（xo）]點的切線斜率。

導數(shù)在科學上的應用：

????????導數(shù)與物理、幾何、代數(shù)關(guān)系密切，在幾何中可求切線；在代數(shù)中可求瞬時變化率；在物理中可求速度，加速度。

????????導數(shù)亦名紀數(shù)、微商，是由速度變化問題和曲線的切線問題而抽象出來的數(shù)學概念，又稱變化率。

導數(shù)是微積分中的重要概念：

????????導數(shù)另一個定義：當x=xo時，f′（xo）是一個確定的數(shù)。這樣，當x變化時，f′（x）便是x的一個函數(shù)，我們稱它為f（x）的導函數(shù)，簡稱倒數(shù)：y′=f′（x）=lim△→0[f（x+△x）-f（x）/△x]。y=f（x）的導數(shù)有時也記作y′

????????需要注意的是：

????????1、f′（x）＜0是f（x）為減函數(shù)的充分不必要條件，不是充要條件。

????????2、導數(shù)為零的點不一定是極值點。當函數(shù)為常值函數(shù)，沒有增減性，即沒有極值點，但導數(shù)為零。

求導數(shù)的方法：

????????1、利用定義求函數(shù)y=f（x）在xo處導數(shù)的步驟：（1）求函數(shù)的增量△y=f（xo+△x）-f（xo）。（2）求平均變化率。（3）取極限，求導數(shù)。

????????2、幾種常見的導數(shù)公式：（1）C′=0（C為常數(shù)函數(shù)）。（2）（sinx）′=cosx。（3）（sinhx）′=coshx。

????????注意：上面的公式只能代函數(shù)，不可以帶入常數(shù)函數(shù)。新學到熟的人往往忽略這一點，造成歧義，要多加注意。

導數(shù)公式及證明：

????????在推導的過程中有這幾個常見的公式要用到：

????????1、y=f[g（x）]，y′=f′[g（x）]·g′（x）f′[g（x）]中g(shù)（x）看做整個變量，而g′（x）中把x看做變量。

????????2、y=u/v，y′=（u′v-uv′）/v2。

????????3、原函數(shù)與反函數(shù)導數(shù)關(guān)系：y=f（x）的反函數(shù)是x=g（y），則有y′=1/x′。

????????證明過程：

????????1、顯而易見，y=c是一條平行于x軸的直線，∴處處的切線都是平行于x的，故斜率為0。用導數(shù)的定義也是一樣的：y=c，△y=c-c=0，lim△x→0△y/△x=0。

????????2、這個推到暫且不證，∵如果根據(jù)導數(shù)的定義來推導的話就不能推廣到n為任意實數(shù)的一般情況，只能證其為整數(shù)Q。主要應用導數(shù)定義與N次方差公式。在得到

y=e**xy′=

e**x和

y=lnxy′=

1/x

這兩個結(jié)果后能用復合函數(shù)的求導給予證明。

????????（后面省略N個字）

利用導數(shù)的符號判斷函數(shù)的單調(diào)性：

????????一般地，在某個區(qū)間（a，b）內(nèi)，如果f′（x）＞0，那么函數(shù)y=f（x）在這個區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增；如果f′（x）＜0，那么函數(shù)y=f（x）在這個區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減。如果在某個區(qū)間內(nèi)恒有f′（x）=0，則f（x）是常數(shù)函數(shù)。

求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的步驟：

????? ? （1）確定f（x）的定義域；（2）求導數(shù)f′（x）；（3）由f′（x）＞0或f′（x）＜0，解出x的相應范圍。當f′（x）＞0時，f（x）在相應區(qū)間上是增函數(shù)；當f′（x）＜0時，f（x）在相應區(qū)間上是減函數(shù)。

函數(shù)極值的判定：

????????（1）如果在兩側(cè)符號相同，則不是f（x）的極值點。（2）如果在附近的左右符號不同，那么是極大值或極小值。

求函數(shù)極值的步驟：

????????（1）確定函數(shù)的定義域。（2）求導數(shù)。（3）在定義域內(nèi)求出所有的駐點與導數(shù)不存在的點，即求方程的所有實根。（4）檢查在駐點左右的符號，如果左正右負，那么f（x）在這個根處取得極大值；如果左負右正，那么f（x）在這個跟出去的極小值。

求f（x）在[a，b]上的最大值和最小值的步驟：

????????（1）求f（x）在（a，b）內(nèi)的極值；（2）將f（x）的各級值與f（a），f（b）比較，其中最大的一個是最大值，最小的一個是最小值。

導數(shù)在生活中的優(yōu)化問題：

????????導數(shù)在生活中也可以發(fā)揮它的作用，生活中經(jīng)常遇到求利潤最大、用料最省、效率最高等問題，這些問題稱為優(yōu)化問題，優(yōu)化問題也稱最值問題。解決這些問題具有非常現(xiàn)實的意義。這些問題通?？梢赞D(zhuǎn)化為數(shù)學中的函數(shù)問題，進而轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題。

高階導數(shù)的求法：

????????1、直接法：由高階導數(shù)的定義逐步求高階導數(shù)，一般用來尋找解題方法。

????????2、間接法：利用已知的高階導數(shù)公式，通過四則運算，變量代換等方法。

中值定理：

????????函數(shù)與其導數(shù)是兩個不同的函數(shù)，而導數(shù)只是反映函數(shù)在一點的局部特征，如果要了解函數(shù)在其定義域上的整體性態(tài)，微分中值定理就是這種作用。微分中值定理，包括羅爾定理、拉格朗日定理、柯西定理、泰勒定理。是溝通到數(shù)值與函數(shù)值的橋梁，是利用導數(shù)的局部性質(zhì)推斷函數(shù)的整體性質(zhì)的工具。中值定理的主要作用在于理論分析和證明，同時又柯西中值定理還可以導出一個求極限的洛必達法則中值定理應用導數(shù)判斷函數(shù)上升、下降、取極值、凹形、凸形和拐點等項的重要形態(tài)。從而能把握住函數(shù)圖像的各種幾何特征。在極值問題上也有重要的實際應用。

????????????????????????????第四十七章：統(tǒng)計

簡單隨機抽樣：

????????一般地，設(shè)一個總體含有N個個體，如果通過逐個抽取的方法中抽取一個樣本，且每次抽取時各個個體被抽到的概率相等，則這樣的抽樣方法叫做簡單隨機抽樣。

直接抽選法：

????????直接抽選法，即從總體中直接隨機抽選樣本。如從貨架商品中隨機抽取若干商品進行檢驗，從農(nóng)貨市場攤位中隨意選擇若干攤位進行調(diào)查或訪問等。

抽簽法：

????????先將總體中的所有個體編號，并把號碼寫在形狀、大小相同的號簽上，號簽可以用小球等制作，然后將這些號簽放在同一個箱子里，進行均勻攪拌。抽簽時，每次從中抽取1個號簽，連續(xù)抽取幾次，就得到一個容量為一定數(shù)量的樣本。對個體編號時，也可以用這種方法。抽簽法簡單易行，當總體的個體數(shù)不多時，適宜采用這種辦法。

隨機數(shù)表法：

????????隨機數(shù)表法，即利用隨機數(shù)表作為工具進行抽樣。是將0至9的10個數(shù)字排列成表，以備查用。橫行、豎行、隔行讀均無規(guī)律。因此，利用此表進行抽樣，可保證隨機原則的實現(xiàn)，并簡化抽樣步驟。其步驟：（1）確定總體范圍，并編排單位號碼。（2）確定樣本容量。（3）抽選樣本單位，即從隨機數(shù)表的任意數(shù)碼開始按一定順序或間隔順序讀數(shù)，選取編號范圍內(nèi)的數(shù)碼，超出范圍、重復的數(shù)碼不選，直至達到預定的樣本容量為止。（4）排列中選數(shù)碼并列舉出相應的單位名稱。

系統(tǒng)抽樣：

????????系統(tǒng)抽樣又叫等距抽樣或機械抽樣，是依據(jù)一定的抽樣距離，從總體中抽取樣本。要從容量N的總體中抽取容量為n樣本，可將總體分成均衡的若干部分，然后按照預先規(guī)定的規(guī)則，從每一部分抽取一個個體，得到所需要的樣本的抽取方法。

????????由于系統(tǒng)抽樣操作簡便，實施起來不易出錯，因而在生產(chǎn)現(xiàn)場人們樂于使用它。如在某道工序上定時去抽一件產(chǎn)品進行檢驗，就可以看作是系統(tǒng)抽樣的一個例子。

系統(tǒng)抽樣的步驟：

????????1、編號：先將總體的N個個體編號。

????????2、分段：確定分段間隔k，對編號進行分段，當N/n（n是樣本容量）是整數(shù)時，取k=N/n。

????????3、確定第一個個體編號：在第一個用簡單隨機抽樣確定第一個個體編號l（l≤k）。

????????4、成樣：按照一定的規(guī)則抽取樣本，通常是將l加上間隔k得到第二個個體編號（l+k），再加上k得到第三個個體編號（l+2k），依次進行下去，直到獲取整個樣本。

分層抽樣：

????????分層抽樣，又稱類型抽樣，它是現(xiàn)將總體各單位按一定標準分成各種類型；然后根據(jù)各類型的單位數(shù)與總體單位數(shù)的比例，確定從各類型中抽取樣本單位的數(shù)量；最后，按照隨機原則從各類型中抽取樣本。?

頻數(shù)分布簡介：

????? ?頻率分布，?是指在統(tǒng)計分組的基礎(chǔ)上，將總體各單位按組歸類整理，按一定順序排列，形成的總體中各單位在各組間的分布。其實質(zhì)是，在各組按排序的基礎(chǔ)上，列出每個組的總體單位數(shù)，形成一個數(shù)列，稱次數(shù)分布數(shù)列，簡稱分配數(shù)列，各組的總體單位叫次數(shù)或頻數(shù)。一般用次數(shù)分布表和次數(shù)分布圖來表示。

頻率分布定義：

????????為了考察數(shù)據(jù)的分布情況，可以將數(shù)據(jù)按一定規(guī)則劃分為若干小組，落在各小組內(nèi)的數(shù)據(jù)的個數(shù)就叫做頻數(shù)，每一小組的頻數(shù)與數(shù)據(jù)總數(shù)的比值叫做頻率。從頻數(shù)或者頻率的大小可以知道每個小范圍內(nèi)數(shù)據(jù)出現(xiàn)次數(shù)的多少，這就是頻數(shù)分布。

????????反應一組數(shù)據(jù)的平均水平與波動大小的數(shù)字特征，可以用平均數(shù)、方差等，它們從某一項側(cè)面反映了一組數(shù)據(jù)的情況?，但是在實際生活當中，有時只知道這些情況還不夠，還需要數(shù)據(jù)在整體上的分布情況。

頻率分布表簡說：

????????頻率分布表亦稱頻數(shù)分布表，又稱次數(shù)分布表，是一種統(tǒng)計學數(shù)表?。頻率分布表指統(tǒng)計學中表示樣本數(shù)據(jù)頻率分布的表格。

頻率分布表講義：

????????對一組數(shù)據(jù)進行適當整理時，可以按照下面的步驟進行。

????????1、計算極差：找出數(shù)據(jù)中的最大值和最小值先對整個數(shù)據(jù)進行初步觀察，找出一個盡可能小的數(shù)據(jù)，然后按順序?qū)⑷M數(shù)據(jù)過一遍，將每個數(shù)據(jù)與找出來的數(shù)據(jù)比較，如果前者更小，就用它來取代后者，并繼續(xù)往下進行，從而獲得其中的最小值、最大值。最大值-最小值=極差。

????????2、決定組距：將一批數(shù)據(jù)分組，一般數(shù)據(jù)越多，分的組數(shù)也越多，經(jīng)驗法則是：當數(shù)據(jù)在100個以內(nèi)時，按照數(shù)據(jù)的多少，常分成5——12組，組距是指每個小組的兩個端點之間的距離。要說明，在分組的問題上，不是分這么多組就行，分那么多組就不行的問題，而是怎樣分組更合適的一些問題。

????????3、決定分點。

????????4、列分布表：再根據(jù)頻數(shù)累計的結(jié)果在表中填入相應的頻數(shù)后，要將各頻數(shù)相加，看看它們的和是否等于總個數(shù)，如果不相等，說明前面出了差錯，需要進行檢查。再根據(jù)各組的頻數(shù)算出相應的頻率之后，也要根據(jù)各自的頻率之和是否等于回來檢查求頻率的計算過程是否有錯。在列出頻率分布表后，應指出，這時就可以知道這些數(shù)據(jù)在各個小組內(nèi)所占的比的大小了。

頻率分布直方圖基本概念：

????????各組頻率之和的值為1，在頻率分布直方圖中表現(xiàn)為所有矩形的面積之和等于1。各組的平均密度是指各組頻率與組距的比值，是指該組內(nèi)單位距離上的頻率。以平均頻率密度為縱坐標，取代頻率分布直方圖中的頻率，所作的統(tǒng)計圖稱為平均頻率密度直方圖。平均頻率密度直方圖中所有的矩形面積之和為1。也就是平均頻率密度直方圖中所有矩形的頂邊與中直方圖兩邊界及橫軸圍成的圖形的面積等于?1。當樣本量不斷增加而組距不斷減小，每一處的平均密度就非常接近組中值處的頻率密度，此時頻率密度直方圖的矩形頂邊就非常接近一光滑曲線，該曲線就是頻率密度曲線。簡單來說：就是利用直方圖反映樣本的頻率分布規(guī)律，這樣的直方圖稱為頻率分布直方圖，簡稱頻率分布直方圖。

數(shù)據(jù)分析：

????????眾數(shù)：頻率分布直方圖中最高矩形的底邊中點的橫坐標。

????????算數(shù)平均數(shù)：頻率分布直方圖每組數(shù)值的中間值乘以頻率后相加。

????????加權(quán)平均數(shù)：加權(quán)平均數(shù)就是所有的頻率乘以數(shù)值后的和相加。

????????中位數(shù)：把頻率分布直方圖分成兩個面積相等部分的平行于Y軸的直線橫坐標。

畫直方圖的步驟：

????????1、找出所有數(shù)據(jù)的最大值和最小值，并算出它們的差（極差）。

????????2、決定組距和組數(shù)。

????????3、確定分點。

????????4、將數(shù)據(jù)以表格的形式列出來（列出頻率分布）。

????????5、畫出頻率直方圖（橫坐標為樣本資料、縱坐標是樣本頻率除以組距）。

兩個變量間的確定關(guān)系：

????????（1）函數(shù)關(guān)系：函數(shù)是研究兩個變量之間的依存關(guān)系的一種數(shù)量形式。對于兩個變量，如果當一個變量的取值一定時，另一個變量的取值被唯一確定，則這兩個變量之間的關(guān)系就是一個函數(shù)關(guān)系。

????????（2）正方形的邊長與面積之間的關(guān)系：

????????引言：在學校里，老師經(jīng)常對學生說過：“如果你的數(shù)學成績好，那么你的物理成績就沒有什么大問題?！卑凑者@種說法，似乎學生的物理成績與數(shù)學成績之間存在著一定的相關(guān)關(guān)系。這種說法有根據(jù)嗎？

????????下面我們考察下列問題中兩個變量間的關(guān)系：（2.1）商品銷售收入與廣告支出經(jīng)費；（2.2）糧食產(chǎn)量和施肥量；（2.3）人的身高與年齡之間的關(guān)系；（2.4）降雪量與交通事故的發(fā)生率之間的關(guān)系。

????????這些問題中的兩個變量之間的關(guān)系是函數(shù)關(guān)系嗎？

????????上述兩個變量之間的關(guān)系是一種非確定性關(guān)系，稱之為相關(guān)關(guān)系。

相關(guān)關(guān)系的概念：

????????如果兩個變量中一個變量的取值一定時，另一個變量的取值帶有一定的隨機性，那么這兩個變量之間的關(guān)系叫做相關(guān)關(guān)系。

兩個變量之間的關(guān)系的分類：

????????（1）確定性的函數(shù)關(guān)系，例如我們以前學習過的一次函數(shù)、二次函數(shù)等。

????????（2）變量間確實存在關(guān)系，但又不具備函數(shù)關(guān)系所要求的確定性，它們的關(guān)系是帶有隨機性的相關(guān)關(guān)系。

????????（3）不相關(guān)，即兩變量沒有任何關(guān)系。

兩個變量的線性相關(guān)：

????????引例：在一次對人體脂肪含量和年齡關(guān)系的研究中，研究人員獲取了一組樣本數(shù)據(jù)：

年齡????23? ? ? 27????? 39????? ?41? ? ? ?45???? ? 49

脂肪????9.5????17.8????21.2????25.9? ? 26.3????28.2

年齡????50? ? ? ?53? ? ? ?54? ? ??56? ? ? ? 57??????58? ?

脂肪????29.6????30.2????31.4????30.8????33.5????35.2?

年齡????60???????61

脂肪????35.2????34.6

????????問題1：做出散點圖，并指出上面的兩個變量是正相關(guān)還是負相關(guān)？問題2：觀察下面這兩幅圖，看看有什么特點？

????????發(fā)現(xiàn)：圖1很亂，兩個變量沒有相關(guān)關(guān)系；圖2呈上升趨勢，圖中點的分布呈條狀，所有點都落在某一處置線的附近，這樣由圖2自然地得出線性相關(guān)、回歸直線的概念。

回歸直線的定義：

????????如果從散點圖中的點的分布，從整體上看大致在一處直線附近，則稱這兩個變量之間具有線性相關(guān)關(guān)系，這條直線叫做回歸直線。注意，概念的前提是點的分布在一條直線的附近。

探索回歸直線的找法：

????????問題1：對一組具有線性相關(guān)關(guān)系的樣本數(shù)據(jù)，你認為其回歸直線是一條還是幾條？

????????回歸直線的條數(shù)只有一條。

????????問題2：回歸直線與散點圖中的各點的位置應具有怎樣的關(guān)系？

????????兩者整體上最接近。

????????問題3：那么在樣本數(shù)據(jù)的散點圖中，能否用直尺畫出回歸直線？

????????問題4：如果能求出回歸直線方程，那么我們就可以比較清楚的了解年齡與體內(nèi)脂肪含量的相關(guān)性。那么我們應當如何求出這個回歸方程呢？

????????方案一：采用測量的方法，先畫出一條直線，測量出各店與它的距離，然后移動直線，到達一個使距離和最小的位置，測出此時的斜率和截距，就是回歸方程了。

????????方案二：在圖中選兩點作直線，使直線兩側(cè)的點的個數(shù)基本相同。

????????方案三：如果多取幾對點，確定多條直線，再求出這些直線的斜率和截距的平均值作為回歸直線的斜率和截距，得回歸直線方程。

????????問題5：以上方法是不是真的可行？為什么？

????????可行。整體上散點圖中點到此直線的距離最小。

????????問題6：如何用數(shù)學的方法來刻畫“從整體上看，各點到此直線的距離??？”

????????將點到直線的距離轉(zhuǎn)化為自變量x取值一定時，縱坐標的偏差，這樣自然引出下面求回歸方程的方法。

????????問題7：結(jié)合以上分析，我們認為以“偏差”最小的直線作為回歸直線比較恰當，那你能從“代數(shù)式”來刻畫“從整體上看，各點到此直線的距離小”嗎？

????????幾何問題代數(shù)化，為下一步探究做好準備，經(jīng)歷“幾何直觀”轉(zhuǎn)化為“代數(shù)表達”過程，為引出“最小二乘法”做準備。

????????假設(shè)我們已經(jīng)得到兩個具有線性相關(guān)關(guān)系的一組：（x1，y1），（x2，y2），……（xn，yn）。當自變量x取xi（1，2，……，n）時，可以得到y(tǒng)回歸=bxi+a（1，2，……，n），它實際與收集到的yi之間的偏差是yi-y回歸i-（bxi+a）（1，2，……，n）。

????????問題8：比較下列三個模型，哪個模型比較可行？

????????模型一：n到i=1（yi-y回歸i）最小。模型二：n到i|yi-y回歸i|最小。模型三：n到i（yi-y回歸i）2最小。

????????模型一中（yi-y回歸i）可能有正有負，互相抵消怎么辦？一般會想到加絕對值。

????????模型二中|yi-y回歸i|去絕對值比較困難，是否有其他的方法，可以類比方差的處理方法。

????????最終得出模型三比較可行。

利用最小二乘法推到回歸系數(shù)公式：

????????問題9：通過上述問題的分析，我們可以知道用Q=n回歸i=1（yi-回歸yi）2=n回歸i=1（yi-bxi-a）2最小來表示偏差最小，那么在這個式子中，當樣本點的坐標（xi，yi）確定時，a，b等于多少，Q能取到最小值呢？

????????我們采用n個偏差的平方和Q=（y1-bx1-a）2+（y2-bx2-a）2+……+（yn-bxn-a）2表示n個點與相應直線在整體上的接近程度，記：Q=n回歸i=1（yi-bxi-a）2。通過化簡，得到的其實是關(guān)于a、b的二元二次函數(shù)求最值的問題，一定存在這樣的a、b，使Q取到最小值。

????????在此基礎(chǔ)上，視Q為b的二次函數(shù)時，根據(jù)有關(guān)數(shù)學原理分析，可求出使Q為最小值時的線性回歸方程系數(shù)公式：{回歸b=[n回歸i=1（xi-x加權(quán)）（yi-y加權(quán)）/n回歸i=1（xi-x加權(quán)）]2=

（n回歸i=1）xiyi-nx加權(quán)y加權(quán)/（n回歸i=1）xi2-nx加權(quán)2，回歸a=加權(quán)y-回歸b加權(quán)x。這樣，回歸方程的斜率為回歸b，截距為回歸a，即回歸方程為y回歸=b回歸x+a回歸。

????????（加權(quán)x，加權(quán)y）稱為樣本點的中心，可以證明回歸直線一定過樣本點的中心，∴可得回歸a=加權(quán)y-回歸b加權(quán)x。

最小二乘法：

????????通過這種上式的最小值而得到回歸直線的方法，即使得樣本數(shù)據(jù)的點到回歸直線的距離的平方和最小的方法叫做最小二乘法。

理解回歸系數(shù)公式：

????????思考1：線性回歸方程y回歸=b回歸x+a為何不記為y=bx+a？你能說明對于確定的x，根據(jù)y回歸=b回歸x+a計算出的y回歸的意義嗎？

????????y回歸只是y的一個估計值

????????思考2：這個公式不要求記憶，但要會運用這個公式進行運算，那么，要求b回歸，a回歸的值，你會按怎樣的順序求呢？

????????由于這個公式比較復雜，因此在運用這個公式求b回歸，a回歸時，必須要有條理，先求什么，再求什么。比如，我們可以按照xiyi、n、加權(quán)x、加權(quán)y、n回歸i=1xiyi、n回歸i=1xi2順序來求，再帶入公式。

兩個變量的線性相關(guān)講義：

????????有一個同學家開了一個小賣部，他為了研究氣溫對熱飲銷售的影響，經(jīng)過統(tǒng)計，得到一個買出的熱飲杯與當天氣溫的對比表：

攝氏溫度????-5????????0????????4????????7????????12????15

熱飲杯數(shù)????156????150????132????128????130????116

攝氏溫度????19????? 23????27????31????36????

熱飲杯數(shù)????104????89????93????76????54

????????（1）畫出散點圖；（2）從散點圖中發(fā)現(xiàn)氣溫與熱飲銷售倍數(shù)之間關(guān)系的一般規(guī)律；（3）求回歸方程；（4）如果某天的氣溫是2攝氏度，預測這天賣出的熱飲杯數(shù)。

????????（2）從圖中看到，各點散布在從左上角到右下角的區(qū)域里，因此，氣溫與熱飲的銷售倍數(shù)之間成負相關(guān)，即氣溫越高，賣出去的熱飲杯數(shù)越少

????????（3）從散點圖可以看出，這些點大致分布在一條直線的附近，因此利用公式1求出回歸方程的系數(shù)。Y=-2.352x+147.767。

????????（4）當X=2時，Y=143.063，因此，某天的氣溫為2攝氏度時，這天大約可以買出143杯熱飲。

事件、樣本數(shù)據(jù)、回歸直線方程的關(guān)系：

????????事件→樣本數(shù)據(jù)：選取代表、抽樣。樣本數(shù)據(jù)→回歸直線方程：決定?；貧w直線方程→事件：預測、統(tǒng)計意義上的反映。

????????????????????????????????第四十八章：統(tǒng)計案例

回歸分析的定義和步驟：

????????回歸分析是對于有相關(guān)關(guān)系的兩個變量進行統(tǒng)計分析的一種常用方法。其步驟：收集數(shù)據(jù)→做散點圖→求回歸直線方程→利用方程進行預報。

線性回歸模型與一次函數(shù)的不同：

????????一次函數(shù)模型是線性回歸模型的特殊形式，線性回歸模型是一次函數(shù)模型的一般形式。

殘差的定義：

????????樣本值與回歸值的差叫殘差，即e回歸i=yi-y回歸i。

殘差分析的定義：

????????通過殘差來判斷模型擬合的效果，判斷原始數(shù)據(jù)是否存在可疑數(shù)據(jù)，這方面的分析工作稱為殘差分析。

如何建立殘差圖：

????????以殘差為橫坐標，以樣本為編號，或身高數(shù)據(jù)，或體重估計值等為縱坐標，做出的圖形稱為殘差圖。觀察殘差圖，如果參差點比較均勻地落在水平的帶狀區(qū)域中，說明選用的模型比較合適，這樣的帶狀區(qū)域的寬度較窄，模型擬合精度越高，回歸方程的預報精度越高。

建立回歸模型的基本步驟：

????????（1）確定研究對象，明確哪個變量是解釋變量，哪個變量是預報變量。

????????（2）畫出確定好的解釋變量和預報變量的散點圖，觀察它們之間的關(guān)系。

????????（3）由經(jīng)驗確定回歸線性方程類型。

????????（4）按一定規(guī)則估計回歸方程類型。

????????（5）得出結(jié)果后分析殘差圖是否有異常，若存在異常，則檢查數(shù)據(jù)是否有誤，或模型是否合適等。

總偏差平方和的定義：

????????所有單個樣本值與樣本均之差的平方和，即SST=n回歸i=1（yi-y加權(quán)）2。

殘差平方和的定義：

????????回歸值與樣本之差的平方和，即SST=n回歸i=1（yi-y^i）2。

回歸平方和的定義：

????????相應回歸值與樣本均值差的平方和，即SSR=n回歸i=1（y^i-y加權(quán)）2。

相關(guān)指數(shù)的定義：

????????R2=1-[n回歸i=1（yi-y^i）2/（y^i-y加權(quán)）2]。

非線性回歸模型的方程的定義：

????????y=e**（bx+a）。

如何根據(jù)觀測數(shù)據(jù)判斷兩變量的相關(guān)性：

????????根據(jù)滾測數(shù)據(jù)計算由K2=[n（ad-bc）2][（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）]給出的檢驗隨機變量K2的值K，其值越大，說明“X與Y有關(guān)系”成立的可能性越大。

????????當?shù)玫降挠^測數(shù)據(jù)a，b，c，d都不小于5時，可以通過查閱表格確定斷言“X與Y有關(guān)系”的可信程度。

常用的臨界值：

????????得到K2的觀察值K常與以下幾個臨界值加以比較：如果k＞2.706，就有90%的把握，∵兩分類變量X和Y是有關(guān)系。如果k＞3.841，就有95%的把握，∵兩分類變量X和Y是有關(guān)系；如果k＞6.635，就有99%的把握，∵兩分類變量X和Y是有關(guān)系；如果低于k≤2.706，就認為沒有充分的證據(jù)說明變量X和Y是有關(guān)系。

????????????????????????????????第四十九章：走進線性代數(shù)

線性代數(shù)簡介：

????????線性代數(shù)是數(shù)學的一個分支，它的研究對象是向量，向量空間，線性變換和有限維的線性方程組。向量空間是現(xiàn)代數(shù)學中的一個重要課題；因而，線性代數(shù)被廣泛地應用于抽象函數(shù)和泛函分析中；通過解析幾何，線性代數(shù)得以被具體表示。線性代數(shù)的理論已被泛化為算子理論。由于科學研究中的非線性模型通?？梢员唤茷榫€性模型，使得線性代數(shù)被廣泛地應用與自然科學和社會科學中。

線性代數(shù)的概念：

????? ? 線性數(shù)學是代數(shù)學的一個分支，主要處理線性關(guān)系問題。線性關(guān)系以及數(shù)學對象之間的關(guān)系是以一次形式來表達的。例如，在解析幾何里，平面上直線的方程是二元一次方程，空間平面的方程是三元一次方程。而空間直線視為兩個平面相交，由兩個三元一次方程所組成的方程組來表示。含有n個未知量的一次方程稱為線性方程。關(guān)于變量是一次的函數(shù)稱為線性函數(shù)。線性關(guān)系問題簡稱線性問題。解線性方程組的問題是最簡單的線性問題。

????????所謂“線性”，指的就是如下的數(shù)學關(guān)系：f（x+y）=f（x）+f（y）。其中，f叫線性算子或線性映射。所謂“代數(shù)”指的就是用符號代替元素和運算，也就是說：我們不關(guān)心上面的x，y是實數(shù)還是函數(shù)，也不關(guān)心f是多項式還是微分，我們統(tǒng)一把它們都抽象成一個記號，或是一類矩陣。合在一起，線性代數(shù)研究的就是：滿足線性關(guān)系f（x+y）=f（x）+f（y）的線性算子f都有哪幾類，以及它們分別都有什么性質(zhì)。

線性代數(shù)相關(guān)定理：

????????每一個線性空間都有一個基。

????????對一個n行n列的非零矩陣A，如果存在一個矩陣B使AB=BA=E（E是單位矩陣），則A為非奇異矩陣，B為A的逆陣。

????? 矩陣非奇異當且僅當他的行列式不為零。

???????矩陣非奇異當且僅當它的每個特征值大于或等于零。

????????解線性方程組的克拉默法則。

????????判斷線性方程組有無非零實根的增廣矩陣和系數(shù)矩陣的關(guān)系。

矩陣簡說：

????????在數(shù)學中，矩陣是一個按照長方陣列排列的復數(shù)或是實數(shù)集合，最早來自于方程組的系數(shù)及常數(shù)所構(gòu)成的矩陣，這一概念由19世紀英國數(shù)學家凱里首先提出。

矩陣的定義：

????????由m×n個數(shù)aij排成的m行×n列的數(shù)表稱為m行×n列的矩陣，簡稱m×n矩陣。記作：

??????[a11? a12? ……? a1n ]

??????[a21? a22? ……? a2n ]

?A=?[a31? a32?……? ?a3n?]

??????[……? ……? ? ? ?……? ?]

????? [am1? am2? ……? amn]

????????這m×n個數(shù)稱為矩陣A的元素，簡稱為元，數(shù)aij位于矩陣A的第i行第j列，稱為矩陣A的（i，j）?元，以數(shù)aij為（i，j）元的矩陣可記為（aij）或?（aij）m×n，m×n矩陣A也記作Amn。

????????元素是實數(shù)的矩陣稱為實矩陣，元素是復數(shù)的矩陣稱為復矩陣。而行數(shù)與列數(shù)都等于n的矩陣稱為n階矩陣或n階方陣。

矩陣的運算：

????????加法：矩陣的加法滿足下列運算律（A，B，C都是同型矩陣）：A+B=B+A；（A+B）+C=A+（B+C）

????????減法：

????????[1? 4? 2]? -? [0? 0? 5]

? ? ? ? [2? 0? 0]? -? [7? 5? 0]

? ? ? ? =[1-0? 4-0? 2-5]

????????? [2-7? 0-5? 0-0]

? ? ? ? =[1? 4? -3 ]

??????????[-5? -5? 0]

????????數(shù)乘：矩陣的數(shù)乘滿足以下運算律：蘭姆達（米尤A）=米尤（蘭姆達A）；蘭姆達（米尤A）=（蘭姆達米尤）A；（蘭姆達+米尤）A=蘭姆達A+米尤A；蘭姆達（A+B）=蘭姆達A+蘭姆達B。矩陣的加減法和矩陣的數(shù)乘合稱矩陣的線性運算。

????????轉(zhuǎn)置：把矩陣A的行和列互相交換所產(chǎn)生的矩陣稱為A的轉(zhuǎn)置矩陣（A轉(zhuǎn)置T），這一過程稱為矩陣的轉(zhuǎn)置。矩陣的轉(zhuǎn)置滿足以下運算律：（A轉(zhuǎn)置T）轉(zhuǎn)置T=A；（蘭姆達A）轉(zhuǎn)置T=蘭姆達A轉(zhuǎn)置T；（AB）轉(zhuǎn)置T=B轉(zhuǎn)置TA轉(zhuǎn)置T。

????????共軛：就真的共軛定義為：（A）i，j=位值A(chǔ)i，j。復數(shù)的矩陣共軛（實部不變，虛部取負）。

????????共軛轉(zhuǎn)置：矩陣的共軛轉(zhuǎn)置定義為（A*）i，j=位值A(chǔ)i，j，也可以寫為：A*=（位值A(chǔ)）轉(zhuǎn)置T=位值A(chǔ)轉(zhuǎn)置T或者寫為A*H。

行列式的概念：

????????行列式在數(shù)學中，是一個函數(shù)，其定義域為det的矩陣A，取值為一個標量，寫作det（A）或|A|。無論是在線性代數(shù)、多項式理論，還是在微積分學中，行列式作為基本的數(shù)學工具，都有著重要的作用。

????????行列式可以看作是有向面積或體積的概念在一般的歐幾里得空間中的推廣?；蛘哒f，在n維歐幾里得空間中，行列式描述的是一個線性變換對“體積”所造成的影響。

行列式的定義：

????????設(shè)

?????????| a11? a12? …? a1n? |

? D=??| a21? a22 …???a2n? |?

? ? ? ?? | …? …? …? …? …? ?|

????????| an1? an2? …? ? ann |?

? ? ? 是由排列成n階方陣形式的n2個數(shù)aij（i，j=1，2，……，n）確定的一個數(shù)，其值為n！項之和D=方陣Σka1k1a2k2……ankn式中k1，k2，……，kn次所得到的是一個序列，Σ，號表示對k1，k2，……kn取遍1，2，……，n的一切排列求和，那么數(shù)D稱為n階方陣對應的行列式。例如，四階行列式是4！個形為（-1）轉(zhuǎn)置a1轉(zhuǎn)置1a2轉(zhuǎn)置2a3轉(zhuǎn)置3a4轉(zhuǎn)置4的項的和，而其中a13a21a34a42相應于k=3，即該項前端的符號應為（-1）3。

????? ?若n階方陣A=（aij），則A相應的行列式D記作D=|A|detA=det（aij）。

??????若矩陣A相應的行列式D=0，稱A為奇異矩陣。

????? 標號集：序列1，2，……，n中任取k個元素i1，i2，……，ik滿足1≤i1≤i2≤……≤ik≤n（1）?

??????i1，i2，……，ik構(gòu)成{1，2，……，n}??的一個具有k個元素的子列，{1，2，……，n} 的具有k個元素的滿足（1）的子列的全體記作C（n，k），顯然C（n，k）共有C（k，n）個子列。因此，C（n，k）是具有一個元素的標號集。C（n，k）的元素記作西格瑪，τ，……，西格瑪∈C（n，k），則西格瑪=τ表示i1=j1，i2=j2，……，ik=jk。

行列式的性質(zhì)：

????????（1）行列式A中的某行（或列）用同一數(shù)k乘，其結(jié)果等于kA。

????????（2）行列式A等于其轉(zhuǎn)置行列式A轉(zhuǎn)置T（A轉(zhuǎn)置T的第i行為A的第i列）。

????????（3）若n階行列式|aij|中的某行（或列）；行列式則|aij|是兩個行列式的和，這兩個行列式的第i行（或列），一個是b1，b2，……，bn；另一個是c1，c2，……，cn；其余各行（或列）上的元與|aij|的完全一樣。

????????（4）行列式A中兩行（或列）互換，其結(jié)果等于-A。

????????（5）把行列式A的某行（或列）中各元同乘一數(shù)后加到另一行（或列）中各對應元上，結(jié)果仍然是A。

行列式的算法：

????????若能把一個行列式經(jīng)過適當變換化為三角形，其結(jié)果為行列式主對角線元素的乘積。因此化三角形是行列式計算中的一個重要方法。

????????化三角形法是將原行列式化為上（下）三角形行列式或?qū)切涡辛惺接嬎愕囊环N方法。這是計算行列式的基本方法之一?！呃眯辛惺降亩x容易求得上（下）三角形行列式的性質(zhì)將行列式化為三角形計算。

????????原則上，每個行列式都可利用行列式的性質(zhì)轉(zhuǎn)化為三角形行列式。但對于階數(shù)較高的行列式，在一般情況下，計算往往較繁。因此，在許多情況下，總是先利用行列式的性質(zhì)將其作為某種保值變形，再將其轉(zhuǎn)化為三角形行列式。

線性方程組：

????????線性方程組是數(shù)學方程組的一種，它符合以下形式：

?a1，1x1+a1，2x2+……+a1，nxn=b1

a2，1x2+a2，2x2+……+a2，nxn=b2

……

am，1x1+am，2x2+……+am，nxn=bm

????????其中的a1，1，a1，2以及b1，b2等等是已知數(shù)的常數(shù)，而x1，x2等等則是要求的未知數(shù)。

????????如果用線性代數(shù)中的概念來表達，則線性方程組可以寫成：Ax=b。這里的A是m×n矩陣，x是含有n個元素列向量，b是含有m個元素列向量。

???? ? ? ?? [a1，1????a1，2????? …? ? ? ?a1，?n]

A=? ? ? ?[a2，1????a2，2????…????? ? ? a2，?n]? ，

????? ? ?? […????? ? ? ? ??…????? ? ???…? ? ? ? …? ? ]

????? ? ? ? [am，1????am，2????……????am，n]

????????????[x1]? ? ? ? ? ? ? [b1]

? X=??? ?[?x2]? ，????b=[b2]

???????????[x……]? ? ? ? ? [b3]

???????????[? ? ?xn]? ? ? ? ? [b4]

????????這是線性方程組的另一種記錄方法。在已知矩陣A和向量b的情況求得未知向量x是線性代數(shù)的基本問題之一。

線性方程組舉例：

????????以下是一個由兩個方程構(gòu)成的線性方程組：3x1+5x2=4，x1+2x2=1。方程組中有兩個未知數(shù)。以矩陣表示，這個方程組可以記錄為：

[3????5????4]

[1????2????1]

????????這個線性方程組有一組解：x1=3，x2=-1?？梢灾苯域炞C：3×3+5×（-1）=4，3+2×（-1）=1。

????????可以證明，這組解也是方程組唯一的解。

????????不是所有的線性方程組都有解。以下是一個沒有解的例子：x1+x2=2，2x1+2x2=1。

????????顯然，如果有x1和x2滿足了第一行的式子的話，它們的和等于2。而第二行則要求它們的和等于0.5，這不可能。

????????也有的線性方程組又不止一組解，例如x1+x2=2。

????????x1=1，x2=1是一組解，而x1=3，x2=-1也是一組解。事實上，解得個數(shù)有無限個。

判斷線性方程組是否有解：

????????當方程個數(shù)＜未知數(shù)個數(shù)時，線性方程組有無限個解。當方程個數(shù)=未知數(shù)個數(shù)^至少有兩個方程的每個系數(shù)擴大（縮?。┫嗤叮ū稊?shù)）時，線性方程組沒有解。當方程個數(shù)=未知數(shù)個數(shù)^所有方程的每個系數(shù)擴大（縮?。┒疾幌嗤谋叮ū稊?shù)）時，線性方程組有唯一解。

線性方程組的解法：

????????消元法：此法最為簡單，直接消掉只剩最后一個未知數(shù)，再回代求余下的未知數(shù)，但只適用于未知數(shù)個數(shù)等與方程的個數(shù)，且有解的情況。

????????克萊姆法則：如果行列式不為零，則用常數(shù)向量替換系數(shù)行列式中的每一行再除以系數(shù)行列式，就是解。

????????逆矩陣法：同樣要求系數(shù)矩陣可逆，直接建立Ax=b與線性方程組的關(guān)系，X=A**-1。b就是解。

其次方程和非其次方程的區(qū)別：

????????齊次方程指等號右邊為0（等號左邊的每一項顯含y或其導數(shù)），非齊次方程指等號右邊為x的函數(shù)f（x）。

線性方程組通解的求法：

????????高斯消元法：通過一系列的加減消元運算，也就是代數(shù)中的加減消去法，將方程組化為上三角矩陣；然后，再逐一回代求解出x向量。

????????LU分解法：求線性代數(shù)方程組的通解除了高斯消元法外，還有LU分解法（三角形分解法）。LU分解法的優(yōu)點是當方程組左端系數(shù)矩陣不變，僅僅是方程組右端列向量改變，即外加激勵信號變化時，能夠方便的求出線性方程組的通解。

非齊次線性方程組的特解的求法：

????????把非齊次線性方程組的增廣矩陣作初等行變換化成最簡形，就可以得到原方程組同解的方程組。非齊次線性方程組的所謂特解就是非齊次線性方程組的一個不含任意常數(shù)的解向量，因此，在同解方程組中確定了自由變量任意取一組值代入，注意的是自由變量可以任意取值！但是讓自由變量全取0是最簡單的也不容易出錯，∴通常在原方程組的通解方程組中讓自由變量全取0找到一個特解。

線性方程組的秩：

????????首先你認認真真化簡一下B，看看它的秩是不是3，這個B表示的是A要變成那個矩陣C（我直接編一個字母，你應該知道的是哪一個矩陣），中間所要經(jīng)過的變換，這你也是明白的。

????????但是！我上面寫了變換，沒寫出初等變換，∵B的秩不滿秩，∴B不是初等方陣，但是A可以是由一系列初等變換變成了C，這顯然有rank（C）=rand（B）了呀。

????????????????? 第五十章、微積分大揭秘

微積分簡介：

????????微積分，數(shù)學概念，是高等數(shù)學中研究函數(shù)的微分、積分以及有關(guān)概念和應用的數(shù)學分支。它是數(shù)學的一個基礎(chǔ)學科，內(nèi)容包括極限、微分學、積分學及其應用。微分學包括導數(shù)的運算，是一套關(guān)于變化率的理論。它使得函數(shù)、速度、加速度和曲線的斜率等可用一套通用的符號進行討論。積分學，包括求積分的運算，為定義和計算面積、體積等提供一套通用的方法。

????????微積分的基本概念包括微分學和積分學。微分學的主要內(nèi)容包括：極限理論、導數(shù)、微分等。積分學的主要內(nèi)容包括：定積分、不定積分等。

????????從廣義上說，數(shù)學分析包括微積分、函數(shù)論等許多分支學科，但是現(xiàn)在一般習慣于把數(shù)學分析和微積分等同起來，數(shù)學分析成了微積分的同義詞。一提數(shù)學分析就知道是指微積分。

定積分定義：

????????設(shè)一元函數(shù)y=f（x）在區(qū)間（a，b）內(nèi)有定義，將區(qū)間（a，b）分成n個小區(qū)間（a，x0）（x0，x1）（x1，x2）……（xi，xb）。設(shè)xi=xi-x（i-1），取區(qū)間△xi中曲線上任意一點記作f（ξi），作和式。

????????若記蘭姆達為這些小區(qū)間的最長者。當蘭姆達→0時，若此和式的極限存在，則稱這個和式是函數(shù)f（x）在區(qū)間下的定積分。

不定積分定義：

????????設(shè)F（x）是函數(shù)f（x）的一個原函數(shù)，我們把函數(shù)f（x）的所有原函數(shù)F（x）+C（C為任意常數(shù)），叫做函數(shù)的不定積分，即從不定到積分f（x）dx=F（x）+C。

微分的定義：

????????由函數(shù)B=f（A）得到A、B兩個數(shù)集，在A中當dx靠近自己時，函數(shù)在dx處的極限叫做函數(shù)在dx處的微分，微分的中心思想是無窮分割。微分是函數(shù)的改變量的線性主要部分，微積分的基本概念之一。

基本微積分計算公式：

????? ?dx^n=nx^（x-1）dx；dsinx=cosdx；dcosx=-sinxdx；dtanx=-（secx）^2dx；dcotx=-（cscx）?^2dx；dlogax=1/xinadx；da^x=a^xinadx；de^x=e^xdx；dlnx=1/xdx。

微分運算公式：

????????d（kf）=kdf；d（f+g）=df+dg；d（f-g）=df-dg；d（f*g）=dgf+fdg；d（f/g）=（gdf-fdg）/g^2。

積分運算公式：

????????積分實質(zhì)就是已知導數(shù)，求原函數(shù)，相對而言這相當難，而且答案不止一個。

特征方程：

????????特征方程是為研究相應的數(shù)學對象而引入的一些等式，包括數(shù)列特征方程、矩陣特征方程、微分特征方程、積分特征方程等等。

方程的單根和重根：

????????單根就是只有一個跟符合題目要求，重根就是有兩個相同的根。

數(shù)列特征方程的推導：

????????一個數(shù)列xn+2=c1xn+1+c2xn，設(shè)有r，s使xn+2-rxn+1=s(xn+1-rxn)，∴xn+2=(s+r)xn+1-srxn，得c2=-sr，消去s就導出特征方程式r2=c1r+c2。

用特征方程算數(shù)列的通項公式：

????????A（n+2）=p（A）+qAn，p，q為常數(shù)。（1）通常設(shè)?A（n+2）-mA（n+1）=k[A（n+1）-mAn]，則m+k=q，mk=-q。（2）特征根法：特征方程是y2=py+q（*）。注意：mn為*兩根。mn可以交換位置，但其結(jié)果或出現(xiàn)兩種截然不同的數(shù)列形式，但同樣都可以計算。

求通項的特征方程遇到虛根怎么辦：

????????如果前兩項都是1時，這個是fibonacci數(shù)列。

????????可以用矩陣的方法來求解，∵相鄰兩項間的變化矩陣是相同的，你只需要計算2×2的矩陣連乘即可。

特征值和特征向量怎么求：

????????根據(jù)n階矩陣A的定義可改寫為關(guān)系式（蘭姆達E-A）x=0，E為單位矩陣，要求向量x具有非零解，即求齊次線性方程組（蘭姆達E-A）x=0，有非零解的值蘭姆達，即要求行列式det（蘭姆達E-A）=0。

????????借此行列式獲得的蘭姆達值即為矩陣A的特征值。將此值回代入原始求得相應的x，即為輸入這個行列式的特征向量。

矩陣方程的解法：

????????設(shè)方程的系數(shù)矩陣為A，未知數(shù)矩陣為X，常數(shù)矩陣為B，即AX=B，求X，則等式兩邊同時乘A^（-1），有X=A^（-1）B。又∵（A，E）——（E，A^（-1）），∴可以求A^（-1），從而所有未知數(shù)都求出來了。

微分方程定義：

????????形如dy/dx+P（x）y=Q（x）（記為式1）的方程成為一階線性微分方程。其特點是它關(guān)于未知函數(shù)y及其一階導數(shù)是一次方程。這里假設(shè)P（x），Q（x）是x的連續(xù)函數(shù)。

????????若Q（x）=0，式1變?yōu)閐y/dx+P（x）y=0（記為式2）稱為一階齊次線性方程。

????????如果Q（x）不恒為0，式1稱為一階非齊次線性方程，式2也稱為對應于式1的齊次線性方程。

????????式2是變量分離方程，它的通解為y=Ce分離到P（x）dx，這里C是任意常數(shù)。

微分方程的通解求法：

????????一階線性微分方程的求解一般采用常數(shù)變易法，通過常數(shù)變易法，可求出一階線性微分方程的通解。

????????對于一階其次線性微分方程：dy/dx+P（x）y=0其通解形式為：y=Ce∫P（x）dx，其中C為常數(shù)，由函數(shù)的初始條件決定。

????????對于一階非齊次線性微分方程：dy/dx+P（x）y=Q（x）其對應齊次方程dy/dx+P（x）y=0，解為y=Ce∫P（x）dx，令C=u（X），得y=u（x）e∫P（x）dx。代入原方程得：u′（x）=Q（x）/e∫P（x）dx。對u′（X）積分得u（x）并帶入其通解形式為：y=Ce∫P（x）dx+Ce∫P（x）∫Q（x）e∫P（x）dxdx。

????????其中C為常數(shù)，由函數(shù)的初始條件決定。

????????注意到，上式右端的第一項是對應的其次線性方程式（式2）的通解，第二項是非齊次線性方程式（式1）的一個特解。由此可知，一階齊次線性方程的通解等于對應的其次線性方程的通解與非齊次線性方程的一個特解之和。

積分方程定義：

????????積分方程即為關(guān)于未知函數(shù)θ（x）的積分方程。形式為：f（x）=a∫bK（x）斐（t）dt。f（t）=a∫tK（t，s）x（s）ds。

替換為求積和式的積分方程求解方法：

????????在求解積分方程的數(shù)值方法理論中，研究如下典型問題，尋找?guī)讉€積分方程的解：第一個Gy=a∫bK（x，s）y（s）ds=f（x），y-蘭姆達a∫bK（x，s）y（s）ds=f（x），Gy=a∫xK（x，s）y（s）ds=f（x），y-蘭姆達Gy=y-蘭姆達a∫xK（x，s）y（s）ds=f（x），以及特征值問題Gu=蘭姆達u的解，在最后的問題中要找數(shù)蘭姆達使得問題具有非零解。

????????????????????第五十章：一元三次方程初步

一元三次方程簡介：

????????只含有一個未知數(shù)，未知數(shù)最高為3的整式方程叫做一元三次方程，標準形式為ax3+bx2+cx+d=0（a≠0）。一元三次方程的公式解法有卡單公式法和盛金公式法。

一元三次方程的一般解法：

????????對于一般的一元三次方程ax3+bx2+cx+d=0（a≠0），上式除以a，并設(shè)x=y-b/3a，則可轉(zhuǎn)化為如下形式：y3+py+q=0（1），其中p=（3ac-b2）/3a2，q=（27a2-9abc+2b3）/27a3。

????????（1）式的根為：y1=3次方根[-q/2+根號△]+3次方根[-q/2-根號△]；

y2=歐米茄3次方根[-q/2+根號△]+歐米茄23次方根[-q/2-根號△]；

y3=歐米茄23次方根[-q/2+根號△]+歐米茄3次方根[-q/2-根號△]；

其中歐米茄=（-1+根號3i）/2，△=（q/2）2+（p/3）3為根的判別式。

????????當△＞0，有3個不同的實根；當△=0，有2個相同的實根和1個復根；當△＜0，有1個實根和2個不同的復根。

有理根三次因式分解：

????????在分解三次因式時，要把它分解成一次二項式和二次三項式相乘的形式，這就需要用到多項式除以多項式。用原式除以一個代數(shù)式，如果沒有余式，則說明這個因式能分解，而找到的這個余式在用因式分解法解一元三次方程時，這個代數(shù)式就是有理根。

因式分解法解一元三次方程：

????????因式分解法解一元三次方程的前提是等號左邊能因式分解，右邊為0。第一步從三次降到二次，就用上面所說的有理根來因式分解，分解成一個一次二項式和二次三項式相乘的形式，這就完成一元三次方程的分解了，接下來二次降到一次，先解出一次二項式作為一個實根，在對另一個二次三項式降次，也就是一元二次方程的因式分解，解出另外兩個實根（或復根）。

一元三次方程根與系數(shù)的關(guān)系：

????????x1+x2+x3=-（b/a），1/x1+1/x2+1/x3=-（c/d），x1x2x3=-（d/a）

為什么我們不學一元三次方程：

????????第一是解一元三次方程難度非常大，第二是計算量非常大，遠遠大于一元二次方程，超出了我們學習數(shù)學的思維的限度。

一元三次方程與實際問題發(fā)明的猜想：

????????如果所有數(shù)學家都能輕而易舉地精通一元三次方程的解法，可能會有額外的思維去想如何發(fā)明一元三次方程與實際問題；否則這個問題可能甚至永久免談。