一文學(xué)會(huì)Eigen庫
添加微信：CV3d007,備注：SLAM，拉你入群。文末附行業(yè)細(xì)分群。
00 Eigen簡介
Eigen：基于線性代數(shù)的C ++模板庫，主要用于矩陣，向量，數(shù)值求解器和相關(guān)算法。SLAM中常用的Ceres、G2O等項(xiàng)目均是基于Eigen庫。
Eigen庫的優(yōu)點(diǎn)：
支持整數(shù)、浮點(diǎn)數(shù)、復(fù)數(shù)，使用模板編程，可以為特殊的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)提供矩陣操作。
OpenCV自帶到Eigen的接口。
支持逐元素、分塊、和整體的矩陣操作。
支持使用Intel MKL加速部分功能。
支持多線程，對稀疏矩陣支持良好。
支持常用幾何運(yùn)算，包括旋轉(zhuǎn)矩陣、四元數(shù)、矩陣變換、角軸等等。
即使不做SLAM，在3D視覺中，當(dāng)處理大量數(shù)學(xué)運(yùn)算時(shí)，我們也會(huì)用到Eigen庫，它幫我們優(yōu)化了性能。在安裝完成Eigen庫后，開始接下來的學(xué)習(xí)。
01 數(shù)據(jù)類型
Eigen庫的核心類是 Matrix，由6個(gè)參數(shù)構(gòu)成：
Matrix<????????typename?Scalar,????????int?RowsAtCompileTime,????????int?ColsAtCompileTime,????????int?Options?=?0,???????????????????????????????//?默認(rèn)（無需更改）????????int?MaxRowsAtCompileTime?=?RowsAtCompileTime,??//?默認(rèn)（最大行數(shù)，提前知道極限）????????int?MaxColsAtCompileTime?=?ColsAtCompileTime???//?默認(rèn)（最大列數(shù)，提前知道極限）>
其中：
前三個(gè)參數(shù)：需要我們指定
后三個(gè)參數(shù)：默認(rèn)即可，無需指定
因?yàn)榻?jīng)常需要實(shí)例化一些方陣、向量，因此Eigen庫也提供了很多直接使用的模板（利用C++的關(guān)鍵字：typedef），例如 Matrix4f 是 的float型矩陣：
typedef?Matrix<float,?4,?4>?Matrix4f;
還有例如列向量：Vector3f ，其本質(zhì)也是 Matrix 類：
typedef?Matrix<?float,?3,?1?>?Vector3f;
行向量RowVector：
typedef?Matrix<int,?1,?2>?RowVector2i;
靜態(tài)-動(dòng)態(tài)-矩陣
靜態(tài)矩陣：矩陣是靜態(tài)的，即編譯時(shí)候就知道運(yùn)行結(jié)果，例如Matrix3d：表示元素類型為double大小為3*3的矩陣變量，其大小在編譯時(shí)就知道。
動(dòng)態(tài)矩陣：有時(shí)候運(yùn)行完之后，才可以知道，這里使用MatrixXd：表示任意大小的元素類型為double的矩陣變量，其大小只有在運(yùn)行被賦值之后才能知道；
數(shù)據(jù)類型
Eigen中的矩陣類型一般都是用類似MatrixNX來表示，可以根據(jù)該名字來判斷其大?。?，3，4，或X，意思Dynamic）和數(shù)據(jù)類型，比如：
d：表示double類型
f：表示float類型
i：表示整數(shù)
c：表示復(fù)數(shù)；
舉例：Matrix2f，表示的是一個(gè)維的，其每個(gè)元素都是float類型。
02 新建矩陣
矩陣構(gòu)造
默認(rèn)構(gòu)造，分配了大小和內(nèi)存空間，但沒有初始化矩陣元素（里面的數(shù)值是隨機(jī)的，不能使用）：
Matrix3f?a;?//?3*3的元素，其中還有一個(gè)float[9]數(shù)組，其中的元素沒有初始化；MatrixXf?b;?//?動(dòng)態(tài)大小的矩陣，目前的大小是0*0，它的元素?cái)?shù)組完全沒有分配。
對于動(dòng)態(tài)數(shù)組，你也可以直接分配大?。ㄊプ饔昧耍瑯記]有初始化矩陣元素：
MatrixXf?a(10,?15);//?10x15動(dòng)態(tài)矩陣，數(shù)組內(nèi)存已經(jīng)分配，但是沒有初始化；VectorXf?b(30);???//?大小為30的向量，數(shù)組內(nèi)存已經(jīng)分配，但是元素沒有初始化。
或者更通用的：
Matrix<?float,?3,?1?>?Vector3f_def;
矩陣初始化
在構(gòu)造完后，我們需要對元素進(jìn)行初始化，常用的是直接賦值：
Eigen::Matrix3f?m;?m?<<?1,?2,?3,?????4,?5,?6,?????7,?8,?9;
它是逐行寫入的，這只適用于較小的矩陣：
Eigen::MatrixXd?m(3,3);m?<<1,2,3,?????4,5,6,?????7,8,9;
對于向量，還可以在構(gòu)造的時(shí)候初始化：
Vector3d?v(1,?2,?3);Vector3d?w(1,?0,?0);
還有一些特殊函數(shù)，函數(shù)：
MatrixXf::Zero(3,4);?????//?將矩陣3行4列初始化為0?MatrixXf::Ones(3,3);?????//?將矩陣3行3列初始化為1?Vector3f::Ones();????????//?將3行的縱向量初始化為1?MatrixXi::Identity(3,3);?//?單位矩陣?Matrix3d::Random();??????//?隨機(jī)矩陣
03 矩陣索引
當(dāng)前矩陣的行數(shù)、列數(shù)、大小可以通過rows()、cols()和size()來獲取。遍歷Eigen矩陣時(shí)最好通過rows和cols來限制訪問范圍，索引的方法如下：
1、矩陣訪問按照先行索引、后列索引方式進(jìn)行，索引下標(biāo)從0開始（與Matlab不同）；
2、矩陣元素的訪問可以通過**”( )”操作符完成。例如m(2, 3)**，矩陣m的第2行第3列元素；
3、針對向量還提供”**[ ]”操作符，注意矩陣則不可**如此使用。
resize：不同于matlab、Python，對于動(dòng)態(tài)矩陣雖然可以通過resize()函數(shù)來動(dòng)態(tài)修改矩陣的大小，但是需要說明的是，在Eigen中：
不能用：固定大小的矩陣是不能使用resize()來修改矩陣的大??；
數(shù)據(jù)會(huì)變：resize()函數(shù)會(huì)析構(gòu)掉原來的數(shù)據(jù)，變?yōu)?.，因此最好使用：conservativeResize()函數(shù)
大小修改：使用”=”操作符操作動(dòng)態(tài)矩陣時(shí)，如果左右兩邊的矩陣大小不等，則左邊的動(dòng)態(tài)矩陣的大小會(huì)被修改為右邊的大小。
利用block()函數(shù)，可以從Matrix中取出一個(gè)小矩陣來進(jìn)行處理，使用的語法為：
matrix.block<p,q>(i,j);
例如：
Eigen::MatrixXf?m(4,?4);m?<<?1,?2,?3,?4,????5,?6,?7,?8,????9,?10,?11,?12,????13,?14,?15,?16;cout?<<?"Block?in?the?middle"?<<?endl;cout?<<?m.block<2,?2>(1,?1)?<<?endl?????<<?endl;for?(int?i?=?1;?i?<=?3;?++i){????????cout?<<?"Block?of?size?"?<<?i?<<?"x"?<<?i?<<?endl;????????cout?<<?m.block(0,?0,?i,?i)?<<?endl?????????????<<?endl;}//?Output?is://?Block?in?the?middle//??6??7//?10?11//?Block?of?size?1x1//?1//?Block?of?size?2x2//?1?2//?5?6//?Block?of?size?3x3//??1??2??3//??5??6??7//??9?10?11單獨(dú)的列和行是塊的特殊情況。Eigen提供了可以輕松解決它們的方法：.col（）和.row（）：
Eigen::MatrixXi?m(2,?2);m?<<?1,?2,?3,?4;cout?<<?m.col(0)?<<?endl;//??1?3
04 數(shù)學(xué)運(yùn)算
Eigen幫我們重載了，直接運(yùn)算：
Vector3d?v(1,?2,?3);Vector3d?w(1,?0,?0);cout?<<?v?+?w?<<?endl;
除法：通常我們是除以標(biāo)量。對于矩陣除法，我們是求它的逆，再轉(zhuǎn)換為矩陣乘法。因此較為簡單：
Vector3d?v(1,?2,?3);Vector3d?r?=?v?/?3;cout?<<?r?<<?endl;
矩陣乘法：*
乘法，標(biāo)量非常簡單：
cout?<<?v?*?2?<<?endl;v?*=?2;??//?原地操作
Matrix2d?mat;mat?<<?1,?2,????3,?4;Vector2d?u(-1,?1),?v(2,?0);//?矩陣乘法?乘以矩陣std::cout?<<?"Here?is?mat*mat: "??????????<<?mat?*?mat?<<?std::endl;//?矩陣乘法?乘以向量std::cout?<<?"Here?is?mat*u: "??????????<<?mat?*?u?<<?std::endl;//?轉(zhuǎn)置之后，再矩陣乘法std::cout?<<?"Here?is?u^T*mat: "??????????<<?u.transpose()?*?mat?<<?std::endl;//?轉(zhuǎn)置之后，向量的矩陣乘法std::cout?<<?"Here?is?u^T*v: "??????????<<?u.transpose()?*?v?<<?std::endl;std::cout?<<?"Here?is?u*v^T: "??????????<<?u?*?v.transpose()?<<?std::endl;//?矩陣乘法std::cout?<<?"Let's?multiply?mat?by?itself"?<<?std::endl;mat?=?mat?*?mat;std::cout?<<?"Now?mat?is?mat: "??????????<<?mat?<<?std::endl;//Output?is://?Here?is?mat*mat://??7?10//?15?22//?Here?is?mat*u://?1//?1//?Here?is?u^T*mat://?2?2//?Here?is?u^T*v://?-2//?Here?is?u*v^T://?-2?-0//??2??0//?Let's?multiply?mat?by?itself//?Now?mat?is?mat://??7?10//?15?22
補(bǔ)充：轉(zhuǎn)置
向量、矩陣的乘法，因?yàn)樾枰?strong>size一致，因此需要用到轉(zhuǎn)置：
MatrixXcf?a?=?MatrixXcf::Random(2,?2);?//MatrixXcf?為復(fù)數(shù)矩陣cout?<<?"Here?is?the?matrix?a "?<<?a?<<?endl;//?矩陣轉(zhuǎn)置cout?<<?"Here?is?the?matrix?a^T "?<<?a.transpose()?<<?endl;//?共軛矩陣cout?<<?"Here?is?the?conjugate?of?a "?<<?a.conjugate()?<<?endl;//?共軛轉(zhuǎn)置矩陣cout?<<?"Here?is?the?matrix?a^* "?<<?a.adjoint()?<<?endl;
需要說明的是，在Eigen中，對于自身的操作，都有專門的函數(shù)，例如對自身的轉(zhuǎn)置：
?a.transposeInPlace();?//?直接在a上操作
點(diǎn)乘和叉乘
Vector3d?v(1,?2,?3);Vector3d?w(0,?1,?2);//?點(diǎn)乘cout?<<?"Dot?product:?"?<<?v.dot(w)?<<?endl;//?叉乘cout?<<?"Cross?product: "?<<?v.cross(w)?<<?endl;//?點(diǎn)成結(jié)果Dot?product:?8??//?1?*?0?+?2?*?1?+?3?*?2=8????Cross?product:??1??//?2?*?2?-?1?*?3?=??1-2??//?3?*?0?-?1?*?2?=?-2?1??//?1?*?1?-?0?*?2?=??1
在Eigen中，向量的叉乘只支持三維的向量，這是因?yàn)椴娉送ǔＳ糜谟?jì)算方向、夾角等，它的計(jì)算規(guī)則如下：
//?Eigen?also?provides?some?reduction?operations?to?reduce?a?given?matrix?or?vector?to?a?single?value//?such?as?the?sum?(computed?by?sum()),?product?(prod()),?or?the?maximum?(maxCoeff())?and?minimum?(minCoeff())?of?all?its?coefficients.Eigen::Matrix2d?mat;mat?<<?1,?2,???????3,?4;//元素和，元素乘積，元素均值，最小系數(shù)，最大系數(shù)，蹤cout?<<?"Here?is?mat.sum():???????"?<<?mat.sum()?<<?endl;cout?<<?"Here?is?mat.prod():??????"?<<?mat.prod()?<<?endl;cout?<<?"Here?is?mat.mean():??????"?<<?mat.mean()?<<?endl;cout?<<?"Here?is?mat.minCoeff():??"?<<?mat.minCoeff()?<<?endl;cout?<<?"Here?is?mat.maxCoeff():??"?<<?mat.maxCoeff()?<<?endl;cout?<<?"Here?is?mat.trace():?????"?<<?mat.trace()?<<?endl;//?可以返回元素位置Matrix3f?m?=?Matrix3f::Random();std::ptrdiff_t?i,?j;??//?std::ptrdiff_t?是二個(gè)指針相減結(jié)果的有符號整數(shù)類型float?minOfM?=?m.minCoeff(&i,?&j);cout?<<?"Here?is?the?matrix?m:
"?????<<?m?<<?endl;cout?<<?"Its?minimum?coefficient?("?<<?minOfM?????<<?")?is?at?position?("?<<?i?<<?","?<<?j?<<?")
";RowVector4i?v?=?RowVector4i::Random();int?maxOfV?=?v.maxCoeff(&i);cout?<<?"Here?is?the?vector?v:?"?<<?v?<<?endl;cout?<<?"Its?maximum?coefficient?("?<<?maxOfV?????<<?")?is?at?position?"?<<?i?<<?endl;//?Output?is://?Here?is?mat.sum():???????10//?Here?is?mat.prod():??????24//?Here?is?mat.mean():??????2.5//?Here?is?mat.minCoeff():??1//?Here?is?mat.maxCoeff():??4//?Here?is?mat.trace():?????5//?Here?is?the?matrix?m://??-0.444451???0.257742???0.904459//????0.10794??-0.270431????0.83239//?-0.0452059??0.0268018???0.271423//?Its?minimum?coefficient?(-0.444451)?is?at?position?(0,0)05 通用數(shù)組
Array類提供了通用數(shù)組。此外，Array類提供了一種執(zhí)行逐系數(shù)運(yùn)算的簡便方法，該運(yùn)算可能沒有線性代數(shù)含義，例如將常數(shù)添加到數(shù)組中的每個(gè)系數(shù)或按系數(shù)乘兩個(gè)數(shù)組。
注：Eigen計(jì)算三角函數(shù)等，Matrix并不支持，需要通過.array() 轉(zhuǎn)換到Array類，再計(jì)算！
m1.array().atan()；
常見數(shù)據(jù)類型
Array<float,Dynamic,1>???????????????????ArrayXfArray<float,3,1>?????????????????????????Array3fArray<double,Dynamic,Dynamic>????????????ArrayXXdArray<double,3,3>????????????????????????Array
常見操作：
//?逐元素操作Vectorized?operations?on?each?element?independently??//?Eigen???????????????????????//?Matlab????????//注釋??R?=?P.cwiseProduct(Q);?????????//?R?=?P?.*?Q????//逐元素乘法??R?=?P.array()?*?s.array();?????//?R?=?P?.*?s????//逐元素乘法（s為標(biāo)量）??R?=?P.cwiseQuotient(Q);????????//?R?=?P?./?Q????//逐元素除法??R?=?P.array()?/?Q.array();?????//?R?=?P?./?Q????//逐元素除法??R?=?P.array()?+?s.array();?????//?R?=?P?+?s?????//逐元素加法（s為標(biāo)量）??R?=?P.array()?-?s.array();?????//?R?=?P?-?s?????//逐元素減法（s為標(biāo)量）??R.array()?+=?s;????????????????//?R?=?R?+?s?????//逐元素加法（s為標(biāo)量）??R.array()?-=?s;????????????????//?R?=?R?-?s?????//逐元素減法（s為標(biāo)量）??R.array()?<?Q.array();?????????//?R?<?Q?????????//逐元素比較運(yùn)算??R.array()?<=?Q.array();????????//?R?<=?Q????????//逐元素比較運(yùn)算??R.cwiseInverse();??????????????//?1?./?P????????//逐元素取倒數(shù)??R.array().inverse();???????????//?1?./?P????????//逐元素取倒數(shù)??R.array().sin()????????????????//?sin(P)????????//逐元素計(jì)算正弦函數(shù)??R.array().cos()????????????????//?cos(P)????????//逐元素計(jì)算余弦函數(shù)??R.array().pow(s)???????????????//?P?.^?s????????//逐元素計(jì)算冪函數(shù)??R.array().square()?????????????//?P?.^?2????????//逐元素計(jì)算平方??R.array().cube()???????????????//?P?.^?3????????//逐元素計(jì)算立方??R.cwiseSqrt()??????????????????//?sqrt(P)???????//逐元素計(jì)算平方根??R.array().sqrt()???????????????//?sqrt(P)???????//逐元素計(jì)算平方根??R.array().exp()????????????????//?exp(P)????????//逐元素計(jì)算指數(shù)函數(shù)??R.array().log()????????????????//?log(P)????????//逐元素計(jì)算對數(shù)函數(shù)??R.cwiseMax(P)??????????????????//?max(R,?P)?????//逐元素計(jì)算R和P的最大值??R.array().max(P.array())???????//?max(R,?P)?????//逐元素計(jì)算R和P的最大值??R.cwiseMin(P)??????????????????//?min(R,?P)?????//逐元素計(jì)算R和P的最小值??R.array().min(P.array())???????//?min(R,?P)?????//逐元素計(jì)算R和P的最小值??R.cwiseAbs(P)???????????????????//?abs(P)????????//逐元素計(jì)算R和P的絕對值??R.array().abs()????????????????//?abs(P)????????//逐元素計(jì)算絕對值??R.cwiseAbs2()??????????????????//?abs(P.^2)?????//逐元素計(jì)算平方??R.array().abs2()???????????????//?abs(P.^2)?????//逐元素計(jì)算平方??(R.array()?<?s).select(P,Q);??//?(R?<?s???P?:?Q)?????????//根據(jù)R的元素值是否小于s，選擇P和Q的對應(yīng)元素??R?=?(Q.array()==0).select(P,A)?//?R(Q==0)?=?P(Q==0)?R(Q!=0)?=?P(Q!=0)??????//根據(jù)Q中元素等于零的位置選擇P中元素??R?=?P.unaryExpr(ptr_fun(func))?//?R?=?arrayfun(func,?P)?????//?對P中的每個(gè)元素應(yīng)用func函數(shù)
06 更多操作
對于Eigen，它適合一個(gè)簡單的數(shù)值計(jì)算庫，并沒有什么實(shí)用技巧。其實(shí)大多數(shù)時(shí)候，你只需要利用Google和百度去查詢你需要的操作即可！對于更多的操作，可以參考：Eigen 常用函數(shù)查詢，對比MatLab操作 。
—END—
目前工坊已經(jīng)建立了3D視覺方向多個(gè)社群，包括SLAM、工業(yè)3D視覺、自動(dòng)駕駛方向，細(xì)分群包括：[工業(yè)方向]三維點(diǎn)云、結(jié)構(gòu)光、機(jī)械臂、缺陷檢測、三維測量、TOF、相機(jī)標(biāo)定、綜合群；[SLAM方向]多傳感器融合、ORB-SLAM、激光SLAM、機(jī)器人導(dǎo)航、RTK|GPS|UWB等傳感器交流群、SLAM綜合討論群；[自動(dòng)駕駛方向]深度估計(jì)、Transformer、毫米波|激光雷達(dá)|視覺攝像頭傳感器討論群、多傳感器標(biāo)定、自動(dòng)駕駛綜合群等。[三維重建方向]NeRF、colmap、OpenMVS等。除了這些，還有求職、硬件選型、視覺產(chǎn)品落地等交流群。大家可以添加小助理微信: CV3d007，備注：加群+方向+學(xué)校|公司, 小助理會(huì)拉你入群。
