在一節(jié)數(shù)學(xué)課上，L老師正在講解點(diǎn)線對稱問題 “已知A（2，3），直線L：x-y-1＝0，求A關(guān)于L的對稱點(diǎn)A'的坐標(biāo)” 說罷，L老師用筆敲了敲黑板下沿的鐵皮，發(fā)出了清脆的撞擊聲，提醒同學(xué)們本節(jié)課的重點(diǎn)來啦 正在往后預(yù)習(xí)的Alice先抬起頭，看著眼前簡短的數(shù)學(xué)問題，她陷入了沉思，她的眼睛像那倒映滿月的深譚，雖僅能一窺浩瀚夜空中的一角，但卻能僅通過這一角看透無垠的夜空。就那么一瞬間，一顆流星劃過，那優(yōu)美的弧線化作她那微微上揚(yáng)的嘴角。她興奮地用手指戳了戳同桌Bob的腰，Bob沒忍住笑抬起頭來，與此同時L老師一邊問 “哪位同學(xué)能起來說說自己的思路”， 一邊用他犀利的目光掃過同學(xué)們困惑的雙眼，Bob剛從計(jì)算的海洋里抬起頭，他的目光與笑臉便于L老師的目光撞了個滿懷。 “Bob，你怎么看這個問題” Bob緩緩的站了起來，顯然，他才看到白板上的問題，同學(xué)們看到他那呆滯的目光與超長的反射弧，都忍俊不禁，但Bob呆了幾秒后，不緊不慢地開口說 “AA'關(guān)于L對稱，也就是說L是線段AA'的垂直平分線，設(shè)出A'坐標(biāo)，列出兩個方程就好了”一說完，同學(xué)們向Bob投來贊賞的目光， Alice一邊邪魅一笑地望著身旁1m8的Bob，一邊在桌下為Bob豎起了大拇指。 L老師推了推眼鏡，同時輕笑道 “很好，請坐，Bob同學(xué)的思路與一位數(shù)學(xué)家的方案不謀而和” Alice瞬間就想到了那句話，在老師繼續(xù)說之前，她已把數(shù)學(xué)書翻到那一頁， Alice小聲與L老師齊聲道：“把一切問題歸結(jié)為數(shù)學(xué)問題，把一切數(shù)學(xué)問題歸結(jié)為代數(shù)問題，把一切代數(shù)問題歸結(jié)為方程，最后得到關(guān)于一個未知數(shù)的方程” Bob盯著Alice，他能聽見她與老師的唱和，他能看到Alice波瀾不驚但閃著光的眼神，一股情感涌上Bob心間，不自然地，他在桌子下為Alice豎起了大拇指。說罷，Alice微笑著回答“我知道，是笛卡爾！”同學(xué)們再次將目光投向Bob方向，不過這次是對Alice，同學(xué)們都“Wow”“so sick”起來，Cauchy暗自“嘖嘖”稱贊“不愧是數(shù)學(xué)課代表！” “沒錯！”L老師微笑著對Alice點(diǎn)點(diǎn)頭，“大家可以把數(shù)學(xué)書翻到80頁，里面就介紹了笛卡爾和解析幾何，有興趣的可以下課去了解了解。言歸正傳，我想借這道題淺釋一下其背后的深層邏輯”L老師頓了頓，側(cè)了側(cè)身子開始在白板上寫，他在A'旁邊寫上了（x，y），寫完說道：“我們知道，要求A'坐標(biāo)就要先設(shè)出A'坐標(biāo)，這個時候出現(xiàn)了兩個變量——x和y，若沒有題目中的條件，這個A'點(diǎn)就可以在這個平面內(nèi)到處跑，你是無法抓住——確定它的，此時，我們稱A'有兩個'自由度'” 還沒說完，黑板上“自由度”三個字飄逸地呈現(xiàn)在同學(xué)們眼前，Bob將注意力從Alice轉(zhuǎn)向白板，在心中仔細(xì)揣度著這三個字，心里開始默念著“無條件，兩個自由度；一個條件，一個自由度；兩個條件，零自由度……”L老師接著說：“在此題中，當(dāng)我們利用垂直這個條件時——大家知道怎么用這個條件嗎？” Cauchy立馬回答到 “kk相乘等于-1” “C同學(xué)反應(yīng)很迅速，沒錯，兩條直線垂直，在斜率都存在條件下，他們的斜率相乘等于 -1，當(dāng)我們利用這個關(guān)系求出AA'的斜率時，A'所能夠存在的范圍瞬間從這個無限的平面坍縮到這條無限的直線上，這個時候——”L又頓了頓，準(zhǔn)備說下一句話時，Bob捷足先登——“還剩一個條件和一個自由度！”Bob自信地說，似乎他已經(jīng)窺探到其中的奧秘?？匆夿ob自信的笑臉，L老師心領(lǐng)神會，接著他的話說，我們用掉了一個條件得到了一個方程： 1·(y-3)/(x-2)＝-1 通過這個方程我們確立y與x之間的一個限制關(guān)系，在本題中這個限制關(guān)系將xy限制在了一個直線方程中，也就將A'限制在了過A點(diǎn)斜率一定的直線(作者說：這里要去一個點(diǎn))上，通過這個方程可知，每當(dāng)我們?nèi)∫粋€確定的x，我們就可以得到一個確定的y，這樣xy之間就建立了一個函數(shù)關(guān)系，這個函數(shù)是一次函數(shù)，又一次函數(shù)是線性的，因此我們可以稱這個方程為線性方程” 同學(xué)們聽上頭了：變量、自由度、限制關(guān)系、線性方程...這些簡單而又樸實(shí)的概念在同學(xué)們腦海中織起了一張嚴(yán)密的網(wǎng)，通過這張網(wǎng)，他們的思想可以迅速達(dá)到任何可及之處，暢通無阻，Cauchy反應(yīng)到 “還有一個平分條件” L老師繼續(xù)說“我們知道線段的中點(diǎn)平分這條線段，所以我們還可通過AA'的中點(diǎn)在L上來構(gòu)建另一個方程”： (x+2)/2-(x+3)/2-1＝0 “線段的中點(diǎn)平分這條線段”這看起來很顯然的事，Alice卻在心里把這句話好好品味了一遍，并點(diǎn)了點(diǎn)頭。看到L老師已經(jīng)把兩個方程列在了白板上，同學(xué)們紛紛開始算起來，而Bob的草稿紙上早已蜿蜒滿了跳動著的弧線，Bob抬起了頭，看見Alice和自己一樣，便左手表4，右手表1給Alice看，Alice瞥見，但微頷之，看見Bob的小動作，L老師看破不點(diǎn)破，等到大家都算的差不多，繼續(xù)說道 “大家應(yīng)該都算出答案了，”他左手表1，右手表4，“是這個吧”，同學(xué)們都點(diǎn)點(diǎn)頭，只有Bob看著自己的左右手，明白了自己哪里弄“錯”了... L老師說“我們通過兩個方程解出了唯一一組（x，y），最終確定了A'的坐標(biāo)，A'不再漫游于無限的平面內(nèi)，也不再在無限直線上滑行，而是成為了A關(guān)于L唯一的像，只要A在A'就在，A不動，A'就不動，A已知，A'就已知。此時A'的自由度為0，方程個數(shù)為2。”聽到這里Fermat同學(xué)發(fā)現(xiàn)了華點(diǎn) “恒為2！” 大家也都驚了一下，一個隱藏的恒等式屹立在同學(xué)們面前，不緊不慢地，L老師在白板上瀟灑地寫了起來： 利用條件的個數(shù)＋自由度＝2 “這是本題中蘊(yùn)含的一個恒等式，如F同學(xué)所說，左邊恒等于2，那么我想問大家，這個2有什么含義嗎？” C同學(xué)馬上反應(yīng)到“是x與y！” F同學(xué)跟著后面說“是垂直平分兩個條件” L老師說“都不是很準(zhǔn)確，確切地說，2是我們解決這個問題所在的維度，xy是我們設(shè)的兩個未知數(shù)，它代表我們所要解決的是二維問題，推而廣之，在所有這種問題里，一定有—— 利用條件的個數(shù)＋自由度＝n(維度)

恒成立。我們在解決這個問題的過程中，隨著利用的條件(方程)個數(shù)的增多，所求對象的自由度也就越來越低，從2到1再到0，這個過程我們可以這樣理解： 我們用方程的手段對A'進(jìn)行了數(shù)學(xué)上的降維打擊！

”

以上是up大膽創(chuàng)作的一則小故事，不能說是很好吧，但對我來說已經(jīng)不錯了，up初二的時候就想寫些類似的“小小說”，奈爾能力不夠，現(xiàn)在也只是勉強(qiáng)寫一寫，實(shí)際操作下來要花的時間對一個準(zhǔn)高三生來說還是太多了，主要是明天開學(xué)，假期作業(yè)還沒寫完了(可以說還沒碰，哭死)，所以三聯(lián)回一下血吧，看up時間多不多得寫出這個問題的中下篇[捂臉笑]，應(yīng)該比上面要精彩... ps：有什么好的建議可以在下面評論區(qū)分享，up第一次寫小說問題肯定多多 參考視頻： 【【官方雙語】Alice, Bob, 立方體的平均陰影面積-嗶哩嗶哩】 https://b23.tv/svw1NG9 [阿布高中數(shù)學(xué)-計(jì)算基本法_自由度、消元] https://b23.tv/XuIkaax