第十七章 中值定理（5）——泰勒公式

一、知識(shí)點(diǎn)

1. 泰勒公式背景：
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   第17講 泰勒公式 P1 - 02:24

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2. 如何得到一個(gè)函數(shù)f(x)在某一點(diǎn)x0的泰勒展開(kāi)？：
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   第17講 泰勒公式 P1 - 20:19

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3. 定理1：（拉格朗日余項(xiàng)的泰勒公式）（注意定理成立的條件）：
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   第17講 泰勒公式 P1 - 32:15

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4. 又稱(chēng)為泰勒中值定理
5. 內(nèi)容：見(jiàn)圖1
6. 為什么拉格朗日余項(xiàng)型需要n+1階可導(dǎo)？：
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   勘誤 P2 - 02:39

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7. 因?yàn)槔窭嗜沼囗?xiàng)型泰勒公式要展開(kāi)到n階，它的余項(xiàng)是一個(gè)n+1階導(dǎo)的多項(xiàng)式，因此需要n+1階可導(dǎo)。
8. （皮亞諾余項(xiàng)的泰勒公式）：
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   第17講 泰勒公式 P1 - 50:48

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9. 內(nèi)容：見(jiàn)圖2
10. 勘誤：皮亞諾余項(xiàng)的泰勒公式并不要求n階連續(xù)可導(dǎo)，只要n階可導(dǎo)即可。推導(dǎo)的最后一步可以用導(dǎo)數(shù)定義，而不用洛必達(dá)法則
11. 強(qiáng)調(diào)：
12. 皮亞諾余項(xiàng)型泰勒公式，只能在x0的一個(gè)鄰域內(nèi)成立。
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    第17講 泰勒公式 P1 - 01:03:36

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13. 為什么皮亞諾余項(xiàng)型只需要n階可導(dǎo)？：
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    勘誤 P2 - 02:54

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14. 皮亞諾余項(xiàng)型泰勒公式要展開(kāi)到n階，它的余項(xiàng)只要求是一個(gè)n階導(dǎo)的高階無(wú)窮小（這是一個(gè)定性的描述，并沒(méi)有給出具體的余項(xiàng)的式子），所以n階可導(dǎo)足夠。
15. 麥克勞林公式：
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    第17講 泰勒公式 P1 - 01:05:25

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16. 特別地，若x0=0時(shí)，稱(chēng)為麥克勞林公式
17. 需要熟記的麥克勞林公式（以皮亞諾余項(xiàng)型為例）（見(jiàn)圖3）：
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    第17講 泰勒公式 P1 - 01:05:54

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18. 靈活使用麥克勞林公式：
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    第17講 泰勒公式 P1 - 01:10:01

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19. 泰勒公式使用框架：
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    第17講 泰勒公式 P1 - 01:11:44

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20. 什么時(shí)候用泰勒公式？
21. 高階導(dǎo)數(shù)
22. 用哪個(gè)泰勒公式？
23. 兩個(gè)泰勒公式的特點(diǎn)：
24. 拉格朗日余項(xiàng)型：
25. 區(qū)間上使用（全局）
26. 給出了Rn(x)的表達(dá)式（包含中值ξ）
27. 皮亞諾余項(xiàng)型：
28. 鄰域內(nèi)使用（局部）
29. 沒(méi)有指出Rn(x)的表達(dá)式，Rn(x)只是一個(gè)比(x-x0)^n更高階的無(wú)窮小
30. 選擇：
31. 局部形態(tài)：皮亞諾余項(xiàng)型（極限、極值…）
32. 全局形態(tài)：拉格朗日余項(xiàng)（單調(diào)性、最值、不等式…）
33. 在哪個(gè)點(diǎn)上用泰勒？
34. x0通常選取與導(dǎo)數(shù)、極限信息有關(guān)的。
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    第17講 泰勒公式 P1 - 01:17:27

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圖1.拉格郎日余項(xiàng)的泰勒公式（整體用）：

圖2.皮亞諾余項(xiàng)的泰勒公式（局部用）：

圖3.需要熟記的麥克勞林公式（以皮亞諾余項(xiàng)型為例）：

二、證明

1. 證明拉格朗日余項(xiàng)的泰勒公式：
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   第17講 泰勒公式 P1 - 34:20

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2. 證明皮亞諾余項(xiàng)的泰勒公式：
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   第17講 泰勒公式 P1 - 54:01

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3. ?

   勘誤 P2 - 04:45

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4. 研究生考試的一道真題：
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   第17講 泰勒公式 P1 - 02:01:54

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   （多看幾遍）
5. 利用泰勒公式證明不等式：
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   第17講 泰勒公式 P1 - 02:39:26

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   （多看幾遍）
6. 證明第二問(wèn)時(shí)要把x=0或x=1帶入嘗試
7. 利用泰勒公式證明不等式：
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   第17講 泰勒公式 P1 - 02:48:15

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8. 分析：
9. 涉及f,f'''=>首選泰勒
10. 用哪個(gè)泰勒？=>證明不等式在區(qū)間上成立，用拉格朗日余項(xiàng)
11. 在哪個(gè)點(diǎn)展開(kāi)？=>給導(dǎo)數(shù)信息或極限信息比較多的點(diǎn)，本題是0點(diǎn)
12. 介值定理與導(dǎo)數(shù)介值定理：
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    第17講 泰勒公式 P1 - 02:57:30

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    （了解一下就行）
13. 零點(diǎn)定理與導(dǎo)數(shù)零點(diǎn)定理無(wú)關(guān)。（在費(fèi)馬引理那一節(jié)）
14. 由導(dǎo)數(shù)零點(diǎn)定理可以推出導(dǎo)數(shù)介值定理。
15. 導(dǎo)數(shù)介值定理：
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    第17講 泰勒公式 P1 - 03:01:15

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三、計(jì)算

1. 利用泰勒求極限：
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   第17講 泰勒公式 P1 - 01:19:60

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2. 展開(kāi)原則：
3. 上、下同階
4. 單看分子（或分母）：展開(kāi)至兩項(xiàng)之和（差）第一個(gè)未被抵消掉的最低次項(xiàng)
5. 已知極限求參數(shù)：
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   第17講 泰勒公式 P1 - 01:32:51

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6. 抓主要矛盾
7. 非常容易犯錯(cuò)的一道極限題：
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   第17講 泰勒公式 P1 - 01:39:20

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   （多看幾遍）
8. 第一次做不會(huì)處理e^[ln(1+x)/x]
9. 利用泰勒求函數(shù)在具體某一點(diǎn)的高階導(dǎo)數(shù)：
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   第17講 泰勒公式 P1 - 02:20:23

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10. 利用泰勒求抽象函數(shù)在具體某一點(diǎn)的高階導(dǎo)數(shù)：
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    第17講 泰勒公式 P1 - 02:32:26

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    （多看幾遍）