【小白教程】論積分為什么要加dx（深入理解積分）

2023-08-09 12:50 作者:Xuywuk1221 0人讀過(guò) | 我要投稿

經(jīng)常玩數(shù)學(xué)的都知道，任何積分都要加微分符號(hào)，但是，很少有人知道為什么我們學(xué)過(guò)的積分后面要加dx。尤其是不定積分。

一、定積分的意義（只針對(duì)實(shí)數(shù)）

我們要探究這個(gè)看起來(lái)復(fù)雜且晦澀的式子的意義，假設(shè)f(z)圖像是這樣的：

如圖，函數(shù)下面的區(qū)域被分成了T個(gè)小長(zhǎng)方形，我們使它們的寬一定，即(β-α)/T，長(zhǎng)為寬的區(qū)域內(nèi)的任意一點(diǎn)所對(duì)應(yīng)函數(shù)值，我們把第i個(gè)小長(zhǎng)方形寬上取到的那一點(diǎn)記作zi（i=1，2，3，...），則這個(gè)小正方形的面積是f(zi)*(β-α)/T。

我們都知道，定積分的幾何意義是函數(shù)在上下限所規(guī)定的區(qū)間內(nèi)其圖像下方的面積。我們現(xiàn)在對(duì)這些小正方形求和，便能得到總面積的近似值：

本up通過(guò)編程，來(lái)驗(yàn)證這個(gè)公式的正確性（這里e取的是2.718）：

真實(shí)的結(jié)果保留九位小數(shù)是后是7.741035471，我們發(fā)現(xiàn)，分的長(zhǎng)方形T越多，計(jì)算的值與真實(shí)值的誤差越小。于是，我們令T為無(wú)窮大（即無(wú)限逼近無(wú)窮大），則整個(gè)式子無(wú)限逼近于真實(shí)結(jié)果。（學(xué)過(guò)極限的都知道，無(wú)限逼近就可以看成等于）

此時(shí)的公式還可以寫(xiě)成：

這個(gè)求和符號(hào)指的是讓z跑遍[β,α]內(nèi)的所有實(shí)數(shù)，帶入到后面的式子中，再求和。

我們注意到T趨于無(wú)窮大（這個(gè)無(wú)窮大指的是[β,α]內(nèi)的所有元素的個(gè)數(shù)）時(shí)，(β-α)/T趨于0，這不就可以被看成是對(duì)自變量z的微分了嗎~于是式子更加簡(jiǎn)潔：

這里把求和的變量用t來(lái)表示，因?yàn)槿绻匀挥脄的話，那么dz就指的是對(duì)一個(gè)常數(shù)微分，所以不嚴(yán)謹(jǐn)，然而把求和中的z換成t。并不影響其和的變化。

于是積分有了代數(shù)定義：連續(xù)實(shí)數(shù)求和（普通的求和是對(duì)自然數(shù)求和）。

于是便有了以下記法：

接下來(lái)探討定積分的求法。

僅通過(guò)之前推出來(lái)的公式

能得到它的近似值，但是我們更希望求出它的代數(shù)表達(dá)形。

我們令f(z)=F'(z)

我們注意到式(3)僅僅是對(duì)函數(shù)F(z)的微分求定積分。一個(gè)函數(shù)在某處的微分即這個(gè)函數(shù)在這個(gè)地方的瞬時(shí)增量。對(duì)這個(gè)微分積分，便是兩處的函數(shù)值的差。

式2到式3我們用到了微分的定義f'(z)=df(z)，上面的求解中我們把F(z)看作微分定義中的f(z)，把f(z)看作微分定義中的f'(z)。

我們借助一個(gè)圖來(lái)直觀理解式3到式4的過(guò)程（這里看不懂可以跳過(guò)）：

把圖中的紅線當(dāng)作F(z),圖中的黃線段即是這個(gè)區(qū)間內(nèi)的自變量增量（我們將其記作Δz），黑線段是這個(gè)函數(shù)的增量（我們將其記作Δy）。如果我們使Δz→0，對(duì)Δy求和，可以把圖中的表示函數(shù)增量的黑色線段通通平移到右邊的藍(lán)線段。藍(lán)線段的長(zhǎng)度表示的就是從區(qū)間開(kāi)始的函數(shù)值與區(qū)間結(jié)束的函數(shù)值的差，即F(α)-F(β)。這是他的幾何解釋

使Δz→0，則Δy=dF(z)也就變成了F(z)的微分，區(qū)間的大小不能變，此時(shí)便有無(wú)限個(gè)增量Δy，所以對(duì)它在區(qū)間[β,α]內(nèi)的連續(xù)求和等同于對(duì)它從α到β積分。而對(duì)增量求和，便是其函數(shù)值的差：