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最近我們被客戶要求撰寫關于動態(tài)模型平均的研究報告，包括一些圖形和統(tǒng)計輸出。

本文提供了一個經濟案例。著重于原油市場的例子。簡要地提供了在經濟學中使用模型平均和貝葉斯方法的論據(jù)，使用了動態(tài)模型平均法（DMA），并與ARIMA、TVP等方法進行比較?（?點擊文末“閱讀原文”獲取完整代碼數(shù)據(jù)********?）?。

簡介

希望對經濟和金融領域的從業(yè)人員和研究人員有用。

動機

事實上，DMA將計量經濟學建模的幾個特點結合在一起。首先，最終預測是通過模型平均化從幾個回歸模型中產生的。其次，該方法是貝葉斯方法，也就是說，概率是以相信程度的方式解釋的。例如，對時間t的DMA預測只基于截至時間t-1的數(shù)據(jù)。此外，新數(shù)據(jù)的獲得直接導致參數(shù)的更新。因此，在DMA中，回歸系數(shù)和賦予模型的權重都隨時間變化。

貝葉斯方法不是現(xiàn)代計量經濟學的主流。然而，這些方法最近正獲得越來越多的關注。這其中有各種原因。首先，我們可以將其與研究中日益增多的數(shù)據(jù)量聯(lián)系起來。由于技術進步，人們通常面臨著許多潛在的解釋變量的情況。盡管大多數(shù)變量可能并不重要，但研究者通常不知道哪些變量應該被剔除。

當然，到某種程度上仍然可以使用常規(guī)方法。但由于缺乏足夠的信息，通常無法對參數(shù)進行精確估計。最簡單的例子是當解釋變量的數(shù)量大于時間序列中的觀察值的數(shù)量時。例如，即使在線性回歸的情況下，標準的普通最小二乘法估計也會出現(xiàn)一個奇異矩陣，導致不可能取其倒數(shù)。在貝葉斯框架下，仍然可以得出一個有意義的公式。貝葉斯方法似乎也能更好地處理過度參數(shù)化和過度擬合問題。

在最近的預測趨勢中可以發(fā)現(xiàn)各種方法。以原油價格為例，預測方法通?？梢苑譃闀r間序列模型、結構模型和其他一些方法，如機器學習、神經網絡等。一般來說，時間序列模型的重點是對波動的建模，而不是對現(xiàn)貨價格的建模。結構模型顧名思義包括因果關系，但它們通常在某些時期有很好的預測能力，而在其他時期則很差。另外，基于小波分解、神經網絡等的其他方法通常忽略了其他因素的影響，只關注單一時間序列。這些使得DMA成為從業(yè)者的一個有趣的方法。

DMA的下一個方面是，它允許回歸系數(shù)是隨時間變化的。事實上，在經濟出現(xiàn)緩慢和快速（結構性中斷）變化的情況下，計量經濟學模型的這種屬性是非?？扇〉?。當然，這樣的方法也存在于傳統(tǒng)的方法論中，例如，遞歸或滾動窗口回歸。

理論框架

我們將簡短地描述fDMA的理論框架。特別是，動態(tài)模型平均化（DMA）、動態(tài)模型選擇（DMS）、中位概率模型。

動態(tài)模型平均（DMA）

DMA在[1]的原始論文中得到了非常詳細的介紹。然而，下面是一個簡短的論述，對于理解fDMA中每個函數(shù)的作用是必要的。

假設yt是預測的時間序列（因變量），讓x（k）t是第k個回歸模型中獨立變量的列向量。例如，有10個潛在的原油價格驅動因素。如果它們中的每一個都由一個合適的時間序列來表示，那么就可以構建2^10個可能的線性回歸模型。每個變量都可以包括或不包括在一個模型中。因此，每個變量有兩種選擇，構成了2^10種可能性。這包括一個只有常數(shù)的模型。因此，一般來說，有潛在的有用的m個獨立變量，最多可以構建K=2^m個模型。換句話說，狀態(tài)空間模型是由以下幾個部分組成的

其中k = 1, ... . ，K，θt是回歸系數(shù)的列向量。假設誤差遵循正態(tài)分布，即e（k）t～N（0，V（k）t）和δ（k）t～N（0，W（k）t）。

在此請注意，有m個潛在的解釋變量，2m是構建模型的上限。然而，本文描述的所有方法（如果沒有特別說明的話）都適用于這些2m模型的任何子集，即K≤2m。

動態(tài)模型選擇(DMS)

動態(tài)模型選擇（DMS）是基于相同的理念，與DMA的理念相同。唯一的區(qū)別是，在DMA中進行的是模型平均化，而在DMS中是模型選擇。換句話說，對于每個時期t，選擇具有最高后驗概率的模型。這意味著，只需將公式修改為

其中HT表示k模型。

一個例子：原油市場

我們舉一個原油市場的例子。據(jù)此可以說，在哪些時間序列可以作為預測現(xiàn)貨原油價格的有用解釋變量方面，存在著不確定性。

xts對象crudeoil包含來自原油市場的選定數(shù)據(jù)，即。

-WTI代表WTI（西德克薩斯中質油）現(xiàn)貨價格，以每桶計。

• MSCI代表MSCI世界指數(shù)。

• TB3MS代表3個月國庫券二級市場利率（%）。

• CSP代表粗鋼產量，單位是千噸（可以作為衡量全球經濟活動的一種方式）。

• TWEXM代表貿易加權的指數(shù)（1973年3月=100）。

• PROD代表原油產品供應量，單位為千桶。

• CONS代表經合組織的原油產品總消費量。

• VXO代表標準普爾100指數(shù)的隱含波動率（即股票市場波動率）。

這些數(shù)據(jù)的頻率為每月一次。它們涵蓋了1990年1月至2016年12月的時期。

xts對象的趨勢包含來自谷歌的關于選定搜索詞的互聯(lián)網數(shù)量的數(shù)據(jù)。

• stock_markets代表Google Trends的 "股票市場"。

• interest_rate代表Google Trends的 "利率"。

• economic_activity表示 "經濟活動 "的Google趨勢。

• exchange_rate代表 "匯率 "的谷歌趨勢。

• oil_production表示 "石油生產 "的Google趨勢。

• oil_consumption代表 "石油消費 "的谷歌趨勢。

• market_stress代表Google Trends的 "市場壓力"。

這些數(shù)據(jù)也是以月度為頻率的。它們涵蓋了2004年1月至2016年12月這段時間，因為谷歌趨勢沒有涵蓋更早的時期。從經濟角度來看，考慮這些時間序列的對數(shù)差分是合理的

R>?drivers?<-?(lag(crudeoil[?,?-1],?k?=?1))[-1,?]R>?l.wti?<-?(diff(log(wti)))[-1,?]R>?l.drivers?<-?(diff(log(driv?)))[-1,?]

R>?archtest(ld.wti)

R>?descstat((ld))

除了PROD的一些問題，所有的時間序列都可以在5%的顯著性水平上被認為是平穩(wěn)的。對于WTI差分也存在ARCH效應。因此，在DMA中考慮指數(shù)加權移動平均（EWMA）估計方差似乎是合理的。此外，還可以測試一些遺忘因子。根據(jù)建議，對月度時間序列采取κ=0.97。所有的方差都小于1。因此，似乎沒有必要對時間序列進行重新標準化。在DMA的估計中，采取initvar=1似乎也足夠了。

?DMA(y?=?lwti,?x?=?ldrivers,+??alpha?=?ra,?lambda?=?rl,????meth?=?"ewma"?)

根據(jù)最小化RMSE，最佳DMA模型是α=0.99和λ=0.97的模型。因此，對這個模型稍作研究。

?plot(x$y,?type="l",?ylim=c(min(x$y,x$y.hat),max(x$y,x$y.hat)),???xlab="",?ylab="",?main="實際值和預測值",?axes?=?F)

比較圖1和圖2可以看出，在市場的動蕩時期，DMA迅速適應，對有更多變量的模型賦予更高的權重。事實上，這與圖3一致。在這一時期，所有解釋變量的相對變量重要性都在上升。我們還可以看到，自2007年以來，發(fā)達的股票市場的作用有所增加。然而，在2013年之后，這種作用變得越來越??；而其他變量的作用開始增加。這一點非常明顯，特別是對于匯率。

圖3應與圖4可以看出。雖然，相對變量的重要性可能很高，但這個變量的回歸系數(shù)的預期值可能在0左右。事實上，高的相對變量重要性同時觀察到MSCI、CSP和TWEXM的預期回歸系數(shù)不為零。所以，這個分析現(xiàn)在證實了這三個因素在2007年和2013年之間對原油價格起到了重要的預測作用。自2013年以來，股票市場的作用減少了，被匯率所取代。在2013年前后，最重要的作用是由發(fā)達股票市場發(fā)揮的。?

圖1

?for?(i?in?1:7)????{??????inc[i+1]?<-?floor(i?*?nrow(?post.incl)/7)????}????plot(?exp.var,?type="l"?ylim=c(0,ncol(x$models))???main="變量數(shù)量期望值?",?axes?=?F)

圖2

for?(i?in?1:(ncol(?post.incl)-1))plot(?post.incl[,i+1],?type="l",?col=col[i+1],?ylim=c(0,1),?xlab="",?ylab="",?main="后包含概率",?axes?=?F)

圖3

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R語言：EM算法和高斯混合模型的實現(xiàn)

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01

02

03

04

??for?(i?in?1:(ncol(?exp.coef.)))????{??????plot(?exp.coef.[,i],?type="l",?col=col[i]?)????}????plot(index(?exp.coef.[,i]),?rep(0,length(x$exp.coef.[,i])?????????????xaxt='n',?xlab="",?ylab="",?main="系數(shù)"

圖4

最后，可以懷疑有一些模型在某種意義上優(yōu)于其他模型。換句話說，模型的選擇會比模型的平均數(shù)更有優(yōu)勢。這可以通過分析DMS和中位概率模型來檢查。然而，從圖5可以看出，沒有一個模型的后驗概率超過0.5。其次，2007年之后和2013年之后，沒有一個模型似乎更有優(yōu)勢。

也可以質疑所應用的方法對不同的參數(shù)設置是否穩(wěn)健。例如，如果其他遺忘因子α和λ會導致不同的結論。圖6展示了來自對象g的所有模型的所有解釋變量的相對變量重要性，即α={1, 0.99, 0.98, 0.97, 0.96, 0.95}和λ={1, 0.99, 0.98, 0.97, 0.96, 0.95}的所有組合。確切的數(shù)值不同，但圖形在時間上遵循的路徑或多或少是相同的。這意味著給定解釋變量的作用遞增，對遺忘因素設置不同的值是穩(wěn)健的。

for?(i?in?1:(ncol(x$post.mod)-1))????{??????plot(x$post.mod[,i],?type="l"?????}????plot(x$post.mod[,i+1],?type="l"?ylab="",?main="后驗模型概率",?axes?=?F)

圖5

圖6

最后，可以將選定的模型與一些替代預測進行比較。

R>?altm

所選的DMA模型的RMSE比兩個基準預測要小，但與Auto ARIMA相當。MAE的情況也類似。然而，Auto ARIMA的MAE比選定的DMA模型小。另一方面，選定的DMA模型在所有競爭性預測中具有最高的命中率。更精確的比較可以通過Diebold-Mariano檢驗來進行。

DieMtest(y?=?(lwti))

假設5%的顯著性水平，可以拒絕簡單預測的原假設，也就是預測的準確性低于所選的DMA模型。換句話說，所選模型在某種意義上超過了簡單預測。

參考文獻

1. Raftery, A.; Kárny, M.; Ettler, P. Online Prediction under Model Uncertainty via Dynamic Model Averaging: Application to a Cold Rolling Mill. Technometrics 2010, 52, 52–66. [CrossRef] [PubMed]

2. Barbieri, M.; Berger, J. Optimal Predictive Model Selection. Ann. Stat. 2004, 32, 870–897. [CrossRef]

本文摘選?《?R語言經濟學：動態(tài)模型平均(DMA)、動態(tài)模型選擇(DMS)預測原油時間序列價格?》?，點擊“閱讀原文”獲取全文完整代碼、數(shù)據(jù)資料。

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