第一章.???? 介紹

（翻譯不易，辛苦點(diǎn)贊）?

本章簡要地介紹了用戶自定義函數(shù)(UDF)及其在Fluent中的用法。在1.1到1.6節(jié)中我們會(huì)介紹一下什么是UDF；如何使用UDF，以及為什么要使用UDF，在1.7中將一步步的演示一個(gè)UDF例子。

1.1? 什么是UDF？

1.2? 為什么要使用UDF？

1.3? UDF的局限

1.4? Fluent5到Fluent6 UDF的變化

1.5? UDF基礎(chǔ)

1.6 ?解釋和編譯UDF的比較

1.7一個(gè)step-by-stepUDF例子

1.1什么是UDF？

?

用戶自定義函數(shù)，或UDF，是用戶自編的程序，它可以動(dòng)態(tài)的連接到Fluent求解器上來提高求解器性能。用戶自定義函數(shù)用C語言編寫。使用DEFINE宏來定義。UDF中可使用標(biāo)準(zhǔn)C語言的庫函數(shù)，也可使用Fluent Inc.提供的預(yù)定義宏，通過這些預(yù)定義宏，可以獲得Fluent求解器得到的數(shù)據(jù)。

UDF使用時(shí)可以被當(dāng)作解釋函數(shù)或編譯函數(shù)。解釋函數(shù)在運(yùn)行時(shí)讀入并解釋。而編譯UDF則在編譯時(shí)被嵌入共享庫中并與Fluent連接。解釋UDF用起來簡單，但是有源代碼和速度方面的限制不足。編譯UDF執(zhí)行起來較快，也沒有源代碼限制，但設(shè)置和使用較為麻煩。

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1.2為什么要使用UDF？

一般說來，任何一種軟件都不可能滿足每一個(gè)人的要求，F(xiàn)LUENT也一樣，其標(biāo)準(zhǔn)界面及功能并不能滿足每個(gè)用戶的需要。UDF正是為解決這種問題而來，使用它我們可以編寫FLUENT代碼來滿足不同用戶的特殊需要。當(dāng)然，F(xiàn)LUENT的UDF并不是什么問題都可以解決的，在下面的章節(jié)中我們就會(huì)具體介紹一下FLUENT UDF的具體功能?，F(xiàn)在先簡要介紹一下UDF的一些功能：

l? 定制邊界條件，定義材料屬性，定義表面和體積反應(yīng)率，定義FLUENT輸運(yùn)方程中的源項(xiàng)，用戶自定義標(biāo)量輸運(yùn)方程（UDS）中的源項(xiàng)擴(kuò)散率函數(shù)等等。

l? 在每次迭代的基礎(chǔ)上調(diào)節(jié)計(jì)算值

l? 方案的初始化

l? （需要時(shí)）UDF的異步執(zhí)行

l? 后處理功能的改善

l? FLUENT模型的改進(jìn)（例如離散項(xiàng)模型，多項(xiàng)混合物模型，離散發(fā)射輻射模型）

由上可以看出FLUENT UDF并不涉及到各種算法的改善，這不能不說是一個(gè)遺憾。當(dāng)然為了源代碼的保密我們還是可以理解這樣的做法的。其實(shí)，如果這些代碼能夠部分開放，哪怕就一點(diǎn)點(diǎn)，我想FLUENT會(huì)像LINUX一樣發(fā)展更為迅速，使用更為廣泛。遺憾的是，從目前來看，這只是一種幻想。什么時(shí)候中國人可以出自己的精品？

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1.3 UDF的局限

盡管UDF在FLUENT中有著廣泛的用途，但是并非所有的情況都可以使用UDF。UDF并不能訪問所有的變量和FLUENT模型。例如，它不能調(diào)節(jié)比熱值；調(diào)節(jié)該值需要使用求解器的其它功能。如果您不知道是否可以用UDF解決某個(gè)特定的問題，您可以求助您的技術(shù)支持。

1.4? ?Fluent5到Fluent6UDF的變化

如果你有FLUENT5的UDF編程經(jīng)驗(yàn)，請注意在FLUENT6種的下列變化：

·??????? FLUENT6中加入了大量的通用多相模型。When one of these general multiphase models is enabled, storage must be set aside for the mixture as well as the individual phases. This functionality is manifested in the code through the use of additional thread and domain data structures. Consequently, some predefined macros have been added that allow access to data contained within mixture-level and phase-level domain and thread structures. See Section? 3.11 for details on writing UDF for multiphase applications.

If you have a FLUENT 5 UDF with an external domain declaration that you want to use in FLUENT 6, then the extern statement must be replaced by a call to the Get_Domain utility and assignment to a Domain pointer as shown below. The Fluent-provided utility, Get_Domain(1), returns the pointer to the mixture-level domain. See Section? 6.5.1 for more details on Get_Domain.

Example

extern Domain *domain;?DEFINE_ON_DEMAND(my_udf){...}

is to be replaced by

DEFINE_ON_DEMAND(my_udf){Domain *domain;domain = Get_Domain(1);...}

The macro C_VOF accesses volume fraction values from the FLUENT solver. C_VOF(c, pt[i]) has two arguments, c and pt[i]. c is the cell identifier. pt[i] is the pointer to the corresponding phase-level thread for the ith phase, where i is the phase_domain_index. For example, C_VOF(c,pt[i]) can be used to return the volume fraction of the ith phase fluid at cell c. The pointer pt[i] can also be retrieved using THREAD_SUB_THREAD, discussed in Section? 6.5.4, using i as an argument.

• For compiled UDF, the makefile called Makefile.udf that was provided in previous ? ? ?FLUENT releases has been renamed to makefile.udf2. See Section? 7.3.2 ? ? ?for more details.

• For multiphase flow problems, you will ? ? ?need to supply your own user-defined scalar flux function instead of using ? ? ?the default function provided by FLUENT.

• DEFINE_PROPERTY is to be used to define UDF for ? ? ?particle or droplet diameter for the mixture model, previously the ? ? ?Algebraic Slip Mixture Model (ASMM), instead of the DEFINE_DRIFT_DIAM macro.

1.5? UDF基礎(chǔ)

• 1.5.1輸運(yùn)方程

• 1.5.2單元（Cells）,面，區(qū)域（Zones）和線（Threads）

• 1.5.3操作

• 1.5.4求解器數(shù)據(jù)

• 1.5.5運(yùn)行

1.5.1輸運(yùn)方程

FLUENT 求解器建立在有限容積法的基礎(chǔ)上，這種方法將計(jì)算域離散為有限數(shù)目的控制體或是單元。網(wǎng)格單元是FLUENT 中基本的計(jì)算單元，這些單元的守恒特性必須保證。也就是說普通輸運(yùn)方程，例如質(zhì)量，動(dòng)量，能量方程的積分形式可以應(yīng)用到每個(gè)單元：

(1.5.1)

此處， 是描述普通輸運(yùn)數(shù)量的變量（a general transportable quantity）,根據(jù)所求解的輸運(yùn)方程它可取不同的值。下面是在輸運(yùn)方程中可求解的的子集。

Transport Equation

Variable for

continuity

1

x momentum

velocity ( u)

y momentum

velocity ( v)

z momentum

velocity ( w)

energy

enthalpy ( h)

turbulent kinetic energy

k

turbulent dissipation rate

species transport

mass fraction of species ( Y i)

守恒與否需要知道通過單元邊界的通量。因此，需計(jì)算出單元和面上的屬性值（properties）。

1.5.2單元（Cells）,面，區(qū)域（Zones）和線（Threads）

單元和單元面被組合為一些區(qū)域（zones），這些區(qū)域規(guī)定了計(jì)算域（例如，入口，出口，壁面）的物理組成（physical components）。當(dāng)用戶使用FLUENT 中的UDF 時(shí)，用戶的UDF 可調(diào)用流體區(qū)域或是邊界區(qū)域的計(jì)算變量（solution variables）。UDF需要獲得適當(dāng)?shù)淖兞浚热缯f是區(qū)域參考（a zone reference）和單元ID，以便標(biāo)定各個(gè)單元。

區(qū)域（A zone）是一群單元或單元面的集合，它可以由模型和區(qū)域的物理特征（比如入口，出口，壁面，流體區(qū)域）來標(biāo)定。例如，一些被指定為面域（a face zone）的單元面可以被指定為velocity-inlet 類型，由此，速度也就可指定了。線（A thread）是FLUENT 數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)的內(nèi)部名稱，可被用來指定一個(gè)區(qū)域。Thread 結(jié)構(gòu)可作為數(shù)據(jù)儲(chǔ)存器來使用，這些數(shù)據(jù)對于它所表示的單元和面來說是公用的（The Thread structure acts as a container for data that is common to the group of cells or faces that it represents）。

1.5.3操作

多數(shù)的UDF任務(wù)需要在一個(gè)線的所有單元和面上重復(fù)執(zhí)行。比如，定義一個(gè)自定義輪廓函數(shù)（a custom profile function）則會(huì)對一個(gè)面線上（in a face thread）的所有單元和面進(jìn)行循環(huán)。 為了用戶方便， Fluent Inc.向用戶提供了一些循環(huán)宏工具（looping macro utilities）來執(zhí)行對單元，面，節(jié)點(diǎn)（nodes）和線（threads）的重復(fù)操作。例如，單元循環(huán)宏（Cell-looping macros ）可以對給定單元線上的所有單元進(jìn)行循環(huán)操作（loop over cells in a given cell thread allowing access to all of the cells）。 而面循環(huán)宏（Face-looping macros）則可調(diào)用所有給定面線（a given face thread）的面。Fluent提供的循環(huán)工具請見Chapter 6。

在某些情況下，UDF 需要對某個(gè)變量操作，而這個(gè)變量恰恰又不能直接被當(dāng)作變量來傳遞調(diào)用。比如，如果用戶使用DEFINE_ADJUST宏來定義UDF，求解器將不會(huì)向它傳遞thread指針。這種情況下，用戶函數(shù)需要用Fluent提供的宏來調(diào)用線指針（thread pointer）。見Chapter 6。

1.5.4求解器數(shù)據(jù)

通過FLUENT用戶界面將C 函數(shù)（它已被編譯和連接）連接到求解器上可實(shí)現(xiàn)調(diào)用求解器變量。一旦UDF和求解器正確連接，無論何時(shí)，函數(shù)都可調(diào)用求解器數(shù)據(jù)。這些數(shù)據(jù)將會(huì)被作為用戶變量自動(dòng)地傳遞給UDF。注意，所有的求解器變量，不管是求解器傳遞給UDF的，還是UDF傳遞給求解器的，都使用SI單位。

1.5.5運(yùn)行

UDF將會(huì)在預(yù)定時(shí)刻被FLUENT調(diào)用 。但是，也可對它們進(jìn)行異步執(zhí)行，使用DEFINE_ON_DEMAND宏，還可在需要時(shí)（on demand）執(zhí)行。詳情請見4.2.3

1.6 解釋和編譯UDF的比較

編譯UDF和FLUENT的構(gòu)建方式一樣。腳本Makefile 被用來調(diào)用C編譯器來構(gòu)建一個(gè)當(dāng)?shù)啬繕?biāo)代碼庫（a native object code library）。目標(biāo)代碼庫包含高級C語言源代碼的機(jī)器語言翻譯。代碼庫在FLUENT 運(yùn)行時(shí)由“動(dòng)態(tài)加載”（``dynamic loading''）過程連接到FLUENT上。連接后，與共享庫的聯(lián)系（the association with the shared library）將會(huì)被保存在用戶的case文件中,這樣，當(dāng)FLUENT以后再讀入case文件時(shí)，此編譯庫將會(huì)與FLUENT 自動(dòng)連接。這些庫是針對計(jì)算機(jī)的體系結(jié)構(gòu)和一定版本的FLUENT使用的。所以，當(dāng)FLUENT更新，或計(jì)算機(jī)操作系統(tǒng)改變，或是在不同類型的機(jī)器上運(yùn)行時(shí)，這些庫必須重新構(gòu)建。

而解釋UDF則是在運(yùn)行時(shí)，直接從C語言源代碼編譯和裝載（compiled and loaded directly from the C source code）。在FLUENT運(yùn)行中，源代碼被編譯為中介的獨(dú)立于物理結(jié)構(gòu)的使用C預(yù)處理程序的機(jī)器代碼（an intermediate, architecture-independent machine code）。當(dāng)UDF 被調(diào)用時(shí)，機(jī)器代碼由內(nèi)部仿真器（an internal emulator），或注釋器（interpreter）執(zhí)行。注釋器不具備標(biāo)準(zhǔn)C編譯器的所有功能；它不支持C語言的某些原理（elements）。所以，在使用 interpreted UDF 時(shí)，有語言限制（見3.2）。例如，interpreted UDF 不能夠通過廢棄結(jié)構(gòu)（dereferencing structures）來獲得FLUENT 數(shù)據(jù)。要獲得數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)，必須使用由FLUENT 提供的預(yù)定義宏。另一個(gè)例子是FLUENT interpreter 不能識別指針數(shù)組。這些功能必須由compiled UDF 來執(zhí)行。

編譯后，用戶的C函數(shù)名稱和內(nèi)容將會(huì)被儲(chǔ)存在case文件中。函數(shù)將會(huì)在讀入case文件時(shí)被自動(dòng)編譯。獨(dú)立于物理結(jié)構(gòu)的代碼的外層（This extra layer of architecture-independent code）可能會(huì)導(dǎo)致執(zhí)行錯(cuò)誤（a performance penalty），但卻可使UDF共享不同的物理結(jié)構(gòu)，操作系統(tǒng)，和Fluent版本。如果運(yùn)行速度較慢，UDF不用被調(diào)節(jié)就可以編譯代碼的形式（in compiled mode）運(yùn)行。FLUENT 中的compiled 和interpreted UDF 請見Chapter 7。

選擇interpreted UDF或是compiled UDF時(shí)，注意以下內(nèi)容：

·??????? Interpreted UDF

o?? 對其它平臺是便捷的（portable）。

• 可作為（compiled UDF）來運(yùn)行。

• 不需C編譯器。

• 比compiled UDF慢 。

• 需要較多的代碼。

• 在使用C語言上有限制。

• 不能與編譯系統(tǒng)或用戶庫（compiled system or user ? ? ? libraries）連接。

• 只能使用預(yù)定義宏來獲得FLUENT結(jié)構(gòu)中的數(shù)據(jù)。（見Chapters 5和6）。

• Compiled UDF

o?? 比interpreted UDF運(yùn)行快。

• 在使用C語言上不存在限制。

• 可用任何ANSI-compliant C 編譯器編譯。

• 能調(diào)用以其他語言編寫的函數(shù) (specifics are system- and ? ? ? compiler-dependent)。

• 機(jī)器物理結(jié)構(gòu)需要用戶建立FLUENT (2D or 3D) 的每個(gè)版本的共享庫（a shared library for each ? ? ? version of FLUENT (2D or 3D) needed for your machine architecture）。

• 如果包含有注釋器（interpreter）不能處理得C語言元素，則不能作為（interpreted UDF ）運(yùn)行。

總的來說，當(dāng)決定使用那種類型的UDF 時(shí)：

·??????? 使用interpreted UDF作為簡單的函數(shù)

• 使用compiled UDF作為復(fù)雜的函數(shù)，這些函數(shù)

o?? 對CPU有較大要求（例如每次運(yùn)行時(shí)，在每個(gè)單元上均須調(diào)用的屬性UDF（a property UDF）。

• 需要使用編譯庫（require access to a compiled ? ? ? library）。

1.7一個(gè)step-by-stepUDF例子

編輯UDF 代碼，并且在用戶的FLUENT 模型中有效使用它，須遵循以下七個(gè)基本步驟：

1. 定義用戶模型。

2. 編制C 語言源代碼。

3. 運(yùn)行FLUENT ，讀入，并設(shè)置case文件。

4. 編譯或注釋（Compile or interpret）C語言源代碼。

5. 在FLUENT中激活UDF。

6. 開始計(jì)算。

7. 分析計(jì)算結(jié)果，并與期望值比較。

在開始解決問題前，用戶必須使用UDF 定義希望解決的問題（Step 1）。例如，加入用戶希望使用UDF來定義一個(gè)用戶化的邊界條件（a customized boundary profile ）。用戶首先需要定義一系列數(shù)學(xué)方程來描述這個(gè)條件。

接下來用戶需要將這些數(shù)學(xué)方程（概念設(shè)計(jì)，conceptual design）用C語言寫成一個(gè)函數(shù)（Step 2）。用戶可用文本編輯器來完成這一步。以.c為后綴名來把這個(gè)文件保存在工作路徑下。

寫完C語言函數(shù)后，用戶即可運(yùn)行FLUENT并且讀入或設(shè)置case文件（Step 3）。對Ｃ語言源代碼進(jìn)行注釋，編譯，和調(diào)試（interpret, compile, and debug），并在FLUENT中激活用戶函數(shù) （Step 5）。最后， 運(yùn)行計(jì)算（Step 6），分析結(jié)果并與期望值比較。（Step 7）。根據(jù)用戶對結(jié)果的分析，可將上述整個(gè)過程重復(fù)幾次。具體如下。

Step 1: 定義用戶模型

生成和使用UDF 的第一步是定義用戶的模型方程。

如圖Figure1.7.1所示的渦輪葉片。模擬葉片周圍的流場使用了非結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格。計(jì)算域由底端的周期性邊界（ a periodic boundary on the bottom ）延伸到頂端的相同部分（an identical one on the top），速度入口在左邊，壓力出口在右邊。

Figure ? 1.7.1: The Grid for the Turbine Vane Example

?

文中對入口x速度為常數(shù)分布和拋物線分布的流場進(jìn)行了比較。分段線性的分布可由邊界場選項(xiàng)得到（the application of a profile using a piecewise-linear profile is available with the boundary profiles option），而多項(xiàng)式分布則只能使用用戶自定義函數(shù)得到。

進(jìn)口速度為常數(shù)（20 m/s）的結(jié)果如圖１．７．２和１．７．３所示。當(dāng)流動(dòng)沿著渦輪葉片進(jìn)行時(shí)，初始速度場被改變了。

Figure 1.7.2: Velocity Magnitude ? Contours for a Constant Inlet x Velocity

Figure 1.7.3: Velocity Vectors ? for a Constant Inlet x Velocity

假定現(xiàn)在要設(shè)渦輪葉片入口速度x不是一常數(shù)值，其分布如下

變量y 在入口中心處為０．０，在入口上部和下部則分別為0.0745?m 而入口中心處的x速度為20 m/s ，邊界上為０。

用戶可用UDF 描述這一分布，并將它應(yīng)運(yùn)到FLUENT模型中來解決這類問題。

Step 2: 編制C 語言源代碼。

選定方程定義UDF 后，用戶可用任意文本編輯器來書寫Ｃ語言代碼。以擴(kuò)展名.c 保存源代碼文件保存到工作路徑下。關(guān)于UDF 的書寫請參考Chapter?３。

下面是一個(gè)怎樣在UDF中應(yīng)用方程的例子。UDF的功能由主要的DEFINE 宏（the leading DEFINE macro）來定義。此處，DEFINE_PROFILE 宏用來表示下面的代碼旨在給求解器提供邊界的輪廓信息。書中將在以后部分討論其它的DEFINE宏。

/*************************************************************************//* udfexample.c????????????????????????????????????????????????????????? *//* UDF for specifying a steady-state velocity profile boundary condition *//*************************************************************************/#include "udf.h"DEFINE_PROFILE(inlet_x_velocity, thread, index){real x[ND_ND];????????????????????????? /* this will hold the position vector */real y;face_t f;begin_f_loop(f, thread){F_CENTROID(x,f,thread);y = x[1];F_PROFILE(f, thread, index) = 20. - y*y/(.0745*.0745)*20.;}end_f_loop(f, thread)}

DEFINE_PROFILE 宏的第一個(gè)變量inlet_x_velocity 用來定義速度入口面板中的函數(shù)。名稱可任意指定。在給定的邊界區(qū)域上的所有單元面（identified by f in the face loop）上將會(huì)使用函數(shù)的這個(gè)方程。當(dāng)用戶在FLUENT 用戶界面選定UDF作為邊界條件時(shí)，將會(huì)自動(dòng)定義線（thread）。下標(biāo)由begin_f_loop應(yīng)用程序自動(dòng)定義。UDF 中，begin_f_loop 被用來形成對邊界區(qū)域上所有單元面的循環(huán)（loop through all cell faces in the boundary zone）。對于每個(gè)面，面的質(zhì)心（the face centroid）的坐標(biāo)可由F_CENTROID 宏來獲得。拋物線方程中用到了y 坐標(biāo)y ，速度值通過F_PROFILE 宏來返回給面。 begin_f_loop宏和F_PROFILE宏都是FLUENT提供的宏。詳情請見Chapter?。怠?/p>

Step 3: 運(yùn)行FLUENT ，讀入，并設(shè)置case文件

建立UDF后，用戶開始設(shè)置FLUENT。

1. 在工作路徑下啟動(dòng)FLUENT。

2. 讀入（或設(shè)置）case文件（如果case文件以前設(shè)置過，請確認(rèn)它是否被保存在了工作路徑下）。

Step 4: 編譯或注釋（Compile or interpret）C語言源代碼

這部分將例中的源代碼作為interpreted UDF 來編譯。注意，這個(gè)例子不可應(yīng)用于Windows 的并行網(wǎng)絡(luò)（Windows parallel networks）。完整的編譯和連接UDF 請見Chapter?。贰?/p>

1. 確認(rèn)UDF 的case 文件（如果以前設(shè)置過）和C語言源代碼在工作路徑下。

2. 用Interpreted UDF面板編譯UDF (例如， udfexample.c) 。

Define User-Defined Functions Interpreted...

Figure 1.7.4: The Interpreted UDF Panel

(a) 在Source File Name下鍵入C語言源代碼文件 (例如， udfexample.c) 。

!! 如果用戶源代碼不在目前工作路徑下，則在編譯UDF時(shí)，需在Interpreted UDF面板中間如文件完整的路徑。

(b) 在CPP Command Name 一欄里，選擇C預(yù)處理器。

(c) Stack Size 缺省設(shè)置為10000。如果用戶函數(shù)的局部變量數(shù)目大于10000，將會(huì)導(dǎo)致堆棧溢出。這種情況下，應(yīng)將Stack Size設(shè)置為比局部變量大的數(shù)。

(d) 點(diǎn)擊Compile 編譯UDF。

存儲(chǔ)case文件時(shí)，C語言代碼的名稱和內(nèi)容將會(huì)儲(chǔ)存在case文件中。如果Interpreted UDF面板中的Display Assembly Listing選項(xiàng)被選中，當(dāng)編譯進(jìn)行時(shí)，控制臺窗口中將會(huì)顯示匯編語言代碼。另外，此選項(xiàng)將會(huì)被存儲(chǔ)在case文件中，當(dāng)以后用戶在執(zhí)行FLUENT任務(wù)時(shí)，控制臺窗口中將會(huì)編譯時(shí)一樣顯示匯編語言代碼。

inlet\_x\_velocity:.local.pointer thread (r0).local.int nv (r1)0??????? ???.local.end0?????????? save.local.int f (r3)1?????????? push.int 0.local.pointer x (r4)3?????????? begin.data 8 bytes, 0 bytes initialized:7?????????? save.???????????? ..???????????? .156?????????? pre.inc.int f (r3)158?????????? pop.int159? ?????????b .L3 (22).L2:161?????????? restore162?????????? restore163?????????? ret.v

!! 注意，如果編譯失敗，FLUENT 將會(huì)給出錯(cuò)誤信息，請調(diào)試程序。詳見7.2.3。

(e) 編譯結(jié)束后，點(diǎn)擊Close。

!! 此例中的UDF源代碼也可作為compiled UDF運(yùn)行。

Step 5: 在FLUENT中激活UDF

編譯連接完UDF后，F(xiàn)LUENT用戶界面面板中將會(huì)看到UDF。此例中，可在Velocity Inlet面板中選擇UDF。

Define Boundary Conditions...

在X-Velocity下拉列表中，選擇udf inlet_x_velocity，此名稱是由例中的函數(shù)給定的。一旦選中，UDF將會(huì)替代X-Velocity中的0 值進(jìn)行運(yùn)算。點(diǎn)擊OK接受新的邊界條件，關(guān)閉面板。

Step 6: 開始計(jì)算

運(yùn)算方式和以前一樣。

Solve Iterate...

Step 7: 分析計(jì)算結(jié)果，并與期望值比較

計(jì)算收斂后，獲得一個(gè)修正的速度場。Figure1.7.5為入口x速度為拋物線分布的速度等值線，可與（Figure 1.7.2）所示的入口速度為常數(shù)20 m/sec 的流場比較。常數(shù)條件下，流動(dòng)在渦輪葉片周圍變形（distorted）。入口拋物線分布，在入口中心處為最大值，邊緣上為0。

Figure 1.7.5: Velocity Magnitude Contours for a Parabolic Inlet x ? Velocity

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