??時(shí)不常會(huì)看到這樣的電阻網(wǎng)絡(luò)問題， 雖然沒有實(shí)際應(yīng)用，但令人琢磨起來還是蠻有意思的。 下面是12個(gè)10k歐姆的電阻焊接成電阻立方體網(wǎng)絡(luò)。 ?問題是求A-H 之間的電阻。

??當(dāng)所有的電阻都相同的時(shí)候， 如果在A,H 兩端施加電壓， 那么D,E,C,F 這四個(gè)點(diǎn)都應(yīng)該是A,H之間的中間電位， 所以連接在C,D 以及E,F 之間的電阻可以是省略。 電路則可以簡(jiǎn)化成下面右邊的形式。

??不難分析， 最終A-H 之間的電阻應(yīng)該是單個(gè)電阻的四分之三。 如果單個(gè)電阻為10kΩ，那么A-H 之間的電阻為應(yīng)該是7.5kΩ。

??實(shí)際上，這個(gè)電阻網(wǎng)絡(luò)總共有八個(gè)頂點(diǎn)， 任意兩者之間都存在阻抗。 如果詢問那兩點(diǎn)的阻抗最大， 估計(jì)大多數(shù)人都會(huì)承認(rèn)，應(yīng)該是立方體的對(duì)角線，比如A-G ， 之間的電阻最大。 那么A-G 之間的電阻有多大呢？

??Don Cross 在他的博客 Cubical Resistor Network[1] 對(duì)于這個(gè)問題進(jìn)行了討論。他假設(shè)在立方體對(duì)角線施加1V 激勵(lì)電壓， 通過分析格點(diǎn)之間的對(duì)稱性和等效電阻， 最終他得到立方體對(duì)角線的電阻等于單個(gè)電阻的六分之五。

??有趣的是，他還使用了實(shí)際電阻進(jìn)行了測(cè)試， 并且測(cè)量出網(wǎng)絡(luò)中所有節(jié)點(diǎn)之間的電阻。

??經(jīng)過測(cè)量， 可以看到整個(gè)網(wǎng)絡(luò)各節(jié)點(diǎn)之間的電阻總共分為三類：

• 對(duì)角線： 電阻大約為 5/6 R;

• 同面對(duì)角線：電阻大約為 3/4 R;

• 相鄰： 電阻大約 3/5 R；

??估計(jì)上述電阻網(wǎng)絡(luò)等效電阻計(jì)算還是課程心算出來的， 在 Infinite 2D square grid of resistors[2] 中給出了一個(gè)詢問無窮范圍中的二維電阻網(wǎng)絡(luò)中，兩個(gè)對(duì)角線之間的電阻問題。

??求解的方法中居然還是用到外傅里葉變換 的公示， 這一點(diǎn)的確讓我破防了。 上述無窮二維電阻網(wǎng)絡(luò)中，對(duì)角線節(jié)點(diǎn)之間的電阻居然是 ?！

參考資料

[1]

Cubical Resistor Network: http://cosinekitty.com/resistor_cube.html