牛頓305、有界的定義；用定義判定；證明不等式2x≤1+x^2

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有界（百度百科）：…

…有、界、有界：見《牛頓304》…

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定義2

…定、義、定義：見《歐幾里得28》…

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設(shè)函數(shù)f（x）在數(shù)集A上有定義，如果存在常數(shù)M，使得對任意x∈A，有f（x）≤M，則稱函數(shù)f（x）在數(shù)集A上有上界，并稱M為f（x）在A上的上界。

…函、數(shù)、函數(shù)：見《歐幾里得52》…

…常、數(shù)、常數(shù)：見《歐幾里得132》…

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如果存在常數(shù)m，使得對任意x∈A，有f（x）≥m，則稱函數(shù)f（x）在數(shù)集A上有下界，并稱m為f（x）在A上的下界。

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顯然，若f（x）在A上有界，則f（x）在A必有上、下界。反之，若f（x）在A上有上、下界，則f（x）在A上必有界。

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由定義1可知，在集合A上，有界函數(shù)f（x）的圖形在A上，應介于平行于x軸的兩條直線y=±M之間，如圖所示：

…集、合、集合：見《歐幾里得31》…

注意點

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關(guān)于函數(shù)的有界性，應注意以下兩點：

…性：1.物質(zhì)所具有的性能；物質(zhì)因含有某種成分而產(chǎn)生的性質(zhì)：黏～。彈～。藥～。堿～。油～。2.后綴，加在名詞、動詞或形容詞之后構(gòu)成抽象名詞或?qū)傩栽~，表示事物的某種性質(zhì)或性能：黨～。紀律～。創(chuàng)造～。適應～。優(yōu)越～。普遍～。先天～。流行～…見《歐幾里得10》…

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（1）函數(shù)在某區(qū)間上不是有界就是無界，二者必屬其一；

（2）從幾何學的角度，很容易判別一個函數(shù)是否有界。

…幾、何、幾何：見《歐幾里得28》…

…學：見《歐幾里得4》…

如果找不到兩條與x軸平行的直線使得函數(shù)的圖形介于它們之間，那么函數(shù)一定是無界的，如y=tan x，x∈（-π/2，π/2）。

例題解析

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例1：討論下列函數(shù)的有界性：

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（1）y=sin x，x∈（-∞，+∞）；

…∈一般指屬于（數(shù)學術(shù)語）：見《牛頓303》…

（…數(shù)、學、數(shù)學：見《歐幾里得49》…

…術(shù)、語、術(shù)語：見《歐幾里得67》…）

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（2）y=tan x，x∈（-π/2，π/2）

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解:?（1）由于對一切x∈（-∞，+∞），都有|sin x|≤1，故y=sin x在（-∞，+∞）上是有界函數(shù)。

（用定義判定）

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（2）根據(jù)y=tan x，x∈（-π/2，π/2）的圖形容易看出，不論正數(shù)M多么大，不等式|tan x|≤1不可能對一切x∈（-π/2，π/2）均成立，因此y=tan x在（-π/2，π/2）上是無界函數(shù)。

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但如果在區(qū)間[-π/3，π/3]上討論函數(shù)y=tan x，因?qū)σ磺衳∈[-π/3，π/3]，不等式|tan x|≤√3（根號3）成立，故y=tan x在區(qū)間[-π/3，π/3]上是有界函數(shù)。

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例2：

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證明：函數(shù)y=2x/（1+x^2）是有界函數(shù)。

…證、明、證明：見《歐幾里得6》…

…^：乘方…

…x^2：x的平方…

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證明：y=2x/（1+x^2）的定義域為（-∞，+∞），又|y|=|2x/（1+x^2）|≤|（1+x^2）/（1+x^2）|=1。

因此y=2x/（1+x^2）是有界函數(shù)。

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附：證明2x≤1+x^2。

解：X2+1≥2X
x2-2x+1≥0
（x-1）2≥0
因為任何數(shù)的平方都大于等于0
因此上式成立。
所以X2+1≥2X成立。

（2x≤1+x^2等價于X^2+1≥2X等價于x^2-2x+1≥0等價于（x-1）^2≥0：2x≤1+x^2???X^2+1≥2X???x^2-2x+1≥0???（x-1）^2≥0）

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“y=x+6在［1，2]上有最小值7，最大值8，所以說它的函數(shù)值在7和8之間變化，是有界的，所以具有有界性。

請看下集《牛頓306、有界函數(shù)，無界函數(shù)》”

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